高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修 第二冊(cè)第七章 復(fù)數(shù)7

必修第二冊(cè)7.1復(fù)數(shù)的概念同步練習(xí)

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=a+(a-4)i(awR)3為虛數(shù)單位)，若回42a,則實(shí)數(shù)。的值為

()

A.-2B.0C.1D.2

2.下列命題中，正確的是()

A.3+4i的虛部是4iB.3+4i是純虛數(shù)

C.|3-4i|=石D.(l-2i)2=-3-4i

3.若復(fù)數(shù)z=(x2_l)+(x+l)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)x的值為()

A.-1B.0C.1D.-1或1

4.復(fù)數(shù)4=27,若復(fù)數(shù)z?=-5,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)4對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)()

A.關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱B.關(guān)于虛軸對(duì)稱

C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱

5.非零復(fù)數(shù)Z1、Z2分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的向量9、0B，若|Z|+Z2l=|Z|-Z2I,則

A.OArOBB.\OA\^OB\C.OA=OBD.礪和麗共線

6.在復(fù)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，向量函對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)

為8,則向量而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

A.-2—iB.2+i

C.l+2zD.-1+2/

7.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z—i|=2,那么|z+i+l|的最小值是()

A.1B.IC.2D.y/5

(1+爐

8.)

(1)2

A.1+zB.1-/C.-l+ZD.-1-Z

9.已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yeR)為純虛數(shù)那么()

A.x=O,yHOB.x=0,y=0

C.x#0,y=0D.xx(),yKO

10.設(shè)z=(廠—4f+5)+(「+2f+2)i,其中feR,則下列命題中正確的是()

A.復(fù)數(shù)z可能為純虛數(shù)

B.復(fù)數(shù)z可能是實(shí)數(shù)

C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

11.已知復(fù)數(shù)z=a-4?僅<0),滿足|z卜1,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為乎，則復(fù)數(shù)z的虛部是

()

A.立B.--C.1D.--

2222

12.設(shè)“力為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)l+2i=(a3)+(a+6)i,則

31

A.a=一,b=—B.a=3,b=\

22

C.a=—,b=—D.a=l,b=3

22

13.復(fù)平面中的下列哪個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)()

A.OA=(1?2)B.OB=(-3,0)

C.沅=(o，g)D.OD=(-1,-2)

14.若復(fù)數(shù)z滿足|z-l+6i|=3,則忖的最大值為()

A.1B.2C.5D.6

15.設(shè)zeC,且|z+l|-|z—i|=O,則|z+i|的最小值為()

A.0B.1C.—D.：

22

二、填空題

16.已知d-y2+2xyi=2i,則實(shí)數(shù)乂N的取值分別為.

17.已知復(fù)數(shù)z=l-2mi(〃?eR),且|z|這2,則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是.

18.已知z/=—4。+1+(2解+3°)。Z2=2a+(a2+a)i,其中“GR,若z/>Z2,則。的

取值集合為.

三、解答題

19.ABC。為復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，向量扇對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為5,前對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

—2—3z,BC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為~^+4i.

（1）求點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；

（2）判斷A、B、C、。四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并證明你的結(jié)論.

20.若z=（/〃2-3機(jī)+2）+（機(jī)2-，〃-21（加€11）為實(shí)數(shù)，求出復(fù)數(shù)

4=（/_5"+6）+（優(yōu)+1儲(chǔ)并判斷復(fù)數(shù)4是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)，若是虛數(shù)，是純虛數(shù)嗎？

21.已知復(fù)數(shù)Z1=a+3i,Z2=2-ai（4wR,j是虛數(shù)單位）.

（1）若4-1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若虛數(shù)4是實(shí)系數(shù)一元二次方程X2-6X+“=0的根，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

22.已知復(fù)數(shù)z=（，〃2+5，〃+6）+（加2-2，〃一151（，〃€R）.

（1）若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)，”的值；

（2）若復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)小的取值范圍；

（3）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

參考答案:

1.D

利用復(fù)數(shù)模的定義建立不等式即可求得實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】

由題意z=a+(a-4)i(awR),2

可得也2+(/-4)2420,整理得(a—2)240,所以a—2=0,所以a=2,

故選：D.

2.D

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念判斷選項(xiàng)A、B；

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)的模，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C；

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方計(jì)算即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

A：復(fù)數(shù)3+4i的虛部為4,故A錯(cuò)誤；

B：復(fù)數(shù)3+4i不是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；

C：|3-4i|=732+(-4)2=5,故C錯(cuò)誤；

D：(l-2i)2=-3-4i,故D正確.

故選：D

3.C

根據(jù)純虛數(shù)的定義列出方程(組)求解.

【詳解】

晨2_j_Q

由已知得『,二,解得x=l,

x+1w0

故選：C

答案第1頁(yè)，共9頁(yè)

4.B

由條件求得Z2=二,化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)平面內(nèi)坐標(biāo)，判斷兩復(fù)數(shù)對(duì)稱性即可.

Z1

【詳解】

-5-5-5(2+i).._

由題知，Z?=—=K=.<=由復(fù)數(shù)Z1,z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)知，

其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱.

故選：B

5.A

根據(jù)復(fù)數(shù)加法幾何意義以及向量的模的含義得結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)長(zhǎng)+Z2耳Z1-Z2］，所以I西+。用=|礪-o川，即以。4、08為相鄰邊的平行四邊形的對(duì)

角線相等，即以。4、08為相鄰邊的平行四邊形為矩形，因此函_L礪，選A.

本題考查復(fù)數(shù)加法幾何意義以及向量的模，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

6.D

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由題中條件，先得出點(diǎn)A,推出點(diǎn)8的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】

由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,-2),則點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-1,2),

故向量而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-l+2i.

故選：D.

7.A

直接利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求出z的軌跡.然后利用數(shù)形結(jié)合求解即可.

答案第2頁(yè)，共9頁(yè)

【詳解】

解：-.iZ+i|+|Z-i|=2

點(diǎn)Z到點(diǎn)A(O,T)與到點(diǎn)8(0,1)的距離之和為2.

二點(diǎn)Z的軌跡為線段AB.

而IZ+i+11表示為點(diǎn)Z到點(diǎn)C(-1-D的距離.

數(shù)形結(jié)合，得最小距離為1

所以|z+i+1|min=1.

故選：A

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，直接對(duì)所求式子運(yùn)算即可得答案.

【詳解】

(1+03(l+i)(l+i)2(l+/)(l+?2+2jj_2+2z_1-Z_,.

(1-z)2-21-2i-2ii

故選：D.

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

根據(jù)純虛數(shù)的概念即可得出選項(xiàng).

【詳解】

復(fù)數(shù)z=x+爐(x,ye/?)為純虛數(shù),

答案第3頁(yè)，共9頁(yè)

貝Ijx=0,yw0.

故選：A

10.C

根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的符號(hào)可確定復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的特征，從而可得正確的

選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)楫a(chǎn)-4r+5=(r-2y+l>0,z2+2r+2=(r+l)2+l>0,

故ABD均錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

11.A

由復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為孝，結(jié)合|z|=l,由忖=］孝+(詢2=1求解.

【詳解】

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z的實(shí)部為變，

2

所以也，

2

因?yàn)殁?1,

解得b=,b=立~(舍去),

22

所以復(fù)數(shù)z的虛部立.

2

故選：A

12.A

答案第4頁(yè)，共9頁(yè)

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念得到相應(yīng)的參數(shù)值.

【詳解】

由l+2i=(a_b)+(a+b)i得解得a=|,6=g.

故答案為A.

復(fù)數(shù)。+4.與c+di相等的充要條件是且。=".復(fù)數(shù)相等的充要條件是化復(fù)為實(shí)的主

要依據(jù)，多用來求解參數(shù)的值或取值范圍.步驟是：分別分離出兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，

利用實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等列方程(組)求解.

13.C

結(jié)合純虛數(shù)概念判斷即可

【詳解】

向量反=(0,|)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為|i,是純虛數(shù).

故選：c

14.C

根據(jù)題意可知復(fù)數(shù)z的軌跡為以(1,-G)為圓心，廠=3為半徑的圓.由此則可求出忖的最大

值.

【詳解】

設(shè)z=〃+bi,。、beR.

則|z-l+8i|=3表示復(fù)平面點(diǎn)z(a,b)到點(diǎn)(1,-73)的距離為3.

則|z|的最大值為點(diǎn)(1,-6)到(0,0)的距離加上3.

即人、=而+3=5?

故選：C.

15.C

答案第5頁(yè)，共9頁(yè)

由復(fù)數(shù)模的幾何意義求解.

【詳解】

記4一1,0),8(0,1),。(0,-D,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為z,

則滿足|z+l|-|z-i|=0的點(diǎn)Z在線段A3的垂直平分線上，易知其方程為丫=-％,即

x+y=0,

|z+i|表示Z點(diǎn)到C點(diǎn)的距離，由點(diǎn)到直線距離公式得|CZ|n“n=卑1=亞.

,ninV22

故選：C.

16.1,1或-1,-1

X2—y2=0

由復(fù)數(shù)相等的定義，列出方程組《2肛［2,即得解

【詳解】

因?yàn)?-+2xyi=2i,

x2-y2=0,

所以

2xy=2,

x=-l,

解得

y=-l.

故答案為：1,1或-1,-1

叵

17.丁萬(wàn)

根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式結(jié)合條件同42可得出關(guān)于實(shí)數(shù)機(jī)的不等式，解出即可.

【詳解】

=且同=，1+4病?2,解得_冬機(jī).冬

答案第6頁(yè)，共9頁(yè)

因此，實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是一與，與.

依士：、1G6

故答案為：---.

本題考查利用復(fù)數(shù)的模求參數(shù)的取值范圍，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.{0}

由條件可知兩個(gè)數(shù)為實(shí)數(shù)，根據(jù)大小關(guān)系，列式求

【詳解】

2a2+3a=0,

由z/>Z2,得，/+。=0,解得a=0,

-4a+1>2a,

故a的取值集合為{0}.

故答案為：{0}

19.(1)z=-l+4z；(2)A、B、C、。四點(diǎn)共圓；證明見解析.

(1)將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量化為坐標(biāo)形式，根據(jù)向量運(yùn)算法則求得辦=&+/，

OC=OB+BC'再由啟=成■求得力點(diǎn)坐標(biāo)，寫成復(fù)數(shù)形式即可；

(2)由庭=()，得AB13C，故四邊形ABCD為矩形，從而有A、B、C、。四點(diǎn)

共圓.

【詳解】

解：⑴由題意知,OA=(5,0)，AB=(-2,-3)，8c=(-6,4)，

所以辦=&+6=(5,0)+(-2,-3)=(3,-3)，

-?—>—>

同理OC=OB+BC=(3,-3)+(-6,4)=(-3,1)，

答案第7頁(yè)，共9頁(yè)

由薪)=/，得。(T,4),

則點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=—l+4i.

⑵由蕊.詼=0，得6_L辰;，即A8L5C.

，四邊形ABCO為矩形

:.A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

20.當(dāng)機(jī)=2時(shí)，4=3i,4是虛數(shù)，且是純虛數(shù)；當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，4=12,z1是實(shí)數(shù).

根據(jù)復(fù)數(shù)的分類解出>n,再將m代入zi即可得到答案.

【詳解】

因?yàn)閦=(，〃2_3%+2)+(1-機(jī)-2](m61<)為實(shí)數(shù)，所以機(jī)2_m_2=0=加=_1或相=2.

機(jī)=2時(shí)，4=13i,是虛數(shù)，且是純虛數(shù)；

m=-1時(shí)，4=12,是實(shí)數(shù).

21.(1)(2,3)；(2)18.

(1)求出4-云=。-2+(3-a)i,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得不等式組，即可得到答案；

(2)將復(fù)數(shù)4=a+3i代入一元二次方程，可得:一?：+：一9=0,解方程組即可得到答

案；

【詳解】

解：(1)由題意得，Zj-z2=a-2+(3-a)i,

——i