人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)1：7 4 2　超幾何分布教案

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE17.4.2超幾何分布教學(xué)目標(biāo)1.理解超幾何分布.2.了解二項(xiàng)分布同超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系．教學(xué)知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)超幾何分布1．定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．2．均值：E(X)＝eq\f(nM,N).歸納領(lǐng)悟(1)超幾何分布，實(shí)質(zhì)上就是有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M(M≤N)件，從所有物品中任取n件，這n件中所含這類物品的件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為k時(shí)的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))①(k≤l，l是n和M中較小的一個(gè))．(2)在超幾何分布中，只要知道N，M和n，就可以根據(jù)公式①求出X取不同值時(shí)的概率P，從而寫出X的分布列．教學(xué)案例案例一超幾何分布的辨析例1.一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號(hào)碼；②Y表示取出的最小號(hào)碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，ξ表示取出的4個(gè)球的總得分；④η表示取出的黑球個(gè)數(shù)．這四種變量中服從超幾何分布的是________．〖解析〗依超幾何分布的數(shù)學(xué)模型及計(jì)數(shù)公式，知①②中的變量不服從超幾何分布，③④中的變量服從超幾何分布．〖答案〗③④反思感悟判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點(diǎn)(1)總體是否可分為兩類明確的對(duì)象．(2)是否為不放回抽樣．(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1．下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有________．(填序號(hào))①在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X；②從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)；③一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為隨機(jī)變量X.〖解析〗根據(jù)超幾何分布模型定義可知①中隨機(jī)變量X服從超幾何分布．②中隨機(jī)變量X服從超幾何分布．而③中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問(wèn)題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布．〖答案〗①②案例二超幾何分布的概率例2.某校高三年級(jí)某班的課外活動(dòng)小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的分布列．解：依題意隨機(jī)變量X服從超幾何分布，所以P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,6)C\o\al(4－r,4),C\o\al(4,10))(r＝0,1,2,3,4)．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,6)C\o\al(4,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(3,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(4,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(1,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(8,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(0,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,14).故X的分布列為X01234Peq\f(1,210)eq\f(4,35)eq\f(3,7)eq\f(8,21)eq\f(1,14)反思感悟求超幾何分布的分布列的步驟跟蹤訓(xùn)練2.從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試．試求出選3名同學(xué)中，至少有一名女同學(xué)的概率．解：設(shè)選出的女同學(xué)人數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2,3，且X服從參數(shù)為N＝10，M＝4，n＝3的超幾何分布，于是選出的3名同學(xué)中，至少有一名女同學(xué)的概率為：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,6)或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,6).案例三超幾何分布與二項(xiàng)分布間的關(guān)系例3.老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出2篇才能及格．某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列；(2)他能及格的概率．解：(1)設(shè)隨機(jī)抽取的3篇課文中該同學(xué)能背誦的篇數(shù)為X，則X服從超幾何分布，它可能的取值為0,1,2,3.P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,6)C\o\al(3－r,4),C\o\al(3,10))(r＝0,1,2,3)．∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，∴X的分布表如下.X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)該同學(xué)能及格表示他能背出2篇或3篇課文，故他能及格的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).反思感悟二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系在n次試驗(yàn)中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布．區(qū)別①當(dāng)這n次試驗(yàn)是n重伯努利試驗(yàn)時(shí)(如有放回摸球)，X服從二項(xiàng)分布；②當(dāng)n次試驗(yàn)不是n重伯努利試驗(yàn)時(shí)(如不放回摸球)，X服從超幾何分布聯(lián)系在不放回n次試驗(yàn)中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗(yàn)次數(shù)n很小，此時(shí)超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)分布如本例(3)跟蹤訓(xùn)練3.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字．求：(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)隨機(jī)變量X的概率分布；(3)計(jì)算介于20分到40分之間的概率．解：(1)法一：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,3).法二：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，則事件A和事件B是對(duì)立事件．因?yàn)镻(B)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).(2)由題意，X所有可能的取值為2,3,4,5.P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,15)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)；P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(8,15).所以隨機(jī)變量X的概率分布為X2345Peq\f(1,30)eq\f(2,15)eq\f(3,10)eq\f(8,15)(3)“一次取球得分介于20分到40分之間”的事件記為C，則P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(2,15)＋eq\f(3,10)＝eq\f(13,30).課堂小結(jié)1．知識(shí)清單：(1)超幾何分布的概念及特征．(2)超幾何分布的均值．(3)超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系．2．方法歸納：類比．3．常見(jiàn)誤區(qū)：超幾何分布與二項(xiàng)分布混淆，前者是不放回抽樣，后者是有放回抽樣．當(dāng)堂檢測(cè)1．一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則正好取到1件次品的概率是()A.eq\f(28,45)B.eq\f(16,45)C.eq\f(11,45) D.eq\f(17,45)〖答案〗B〖解析〗由題意10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45).2．設(shè)10件產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)從中抽取5件，用X表示抽得次品的件數(shù)，則X服從參數(shù)為_(kāi)_______(即定義中的N，M，n)的超幾何分布．〖答案〗10,3,53．某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，以便確定工資級(jí)別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求其員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對(duì)，則月工資定為3500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2800元；否則月工資定為2100元．令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù)．假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒(méi)有鑒別能力．(1)求X的分布列；(2)用Y表示新錄用員工的月工資，求Y的分布列．解：(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)C\o\al(4－k,4),C\o\al(4,8))(k＝0,1,2,3,4)．則X的分布列為X＝k01234P(X＝k)eq\f(1,70)eq\f(16,70