人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：習(xí)題課一 求數(shù)列的通項

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE1習(xí)題課一求數(shù)列的通項題型一利用累加、累乘法求數(shù)列的通項公式〖例1〗(1)數(shù)列{an}滿足a1＝1，對任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求數(shù)列{an}的通項公式；(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(2,3)，an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，求an.解(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式兩邊同時相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，n≥2.又a1＝1也適合上式，∴an＝eq\f(n（n＋1）,2)，n∈N*.(2)由條件知eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，分別令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得(n－1)個等式，累乘，即eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…·eq\f(n－1,n)(n≥2).∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n)，又∵a1＝eq\f(2,3)，∴an＝eq\f(2,3n)，n≥2.又a1＝eq\f(2,3)也適合上式，∴an＝eq\f(2,3n)，n∈N*.規(guī)律方法(1)求形如an＋1＝an＋f(n)的通項公式.將原來的遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).(2)求形如an＋1＝f(n)an的通項公式.將原遞推公式轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由eq\f(a2,a1)＝f(1)，eq\f(a3,a2)＝f(2)，…，eq\f(an,an－1)＝f(n－1)，累乘可得eq\f(an,a1)＝f(1)f(2)…f(n－1).〖訓(xùn)練1〗數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通項公式.解因為a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，故an＝eq\f(2（1－2n－1）,1－2)＋2＝2n，當(dāng)n＝1時，a1也符合上式，所以an＝2n.題型二構(gòu)造等差(比)數(shù)列求通項公式〖例2〗(1)在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，6anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*).①證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列；②求數(shù)列{an}的通項公式.(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.(1)①證明由6anan－1＋an－an＋1＝0，整理得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝6(n≥2)，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以3為首項，6為公差的等差數(shù)列.②解由①可得eq\f(1,an)＝3＋(n－1)×6＝6n－3，所以an＝eq\f(1,6n－3)，n∈N*.(2)解由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以數(shù)列{an－3}是首項為a1－3＝－1，公比為2的等比數(shù)列，則an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.規(guī)律方法(1)課程標(biāo)準(zhǔn)對遞推公式要求不高，故對遞推公式的考查也比較簡單，一般先構(gòu)造好等差(比)數(shù)列讓學(xué)生證明，再在此基礎(chǔ)上求出通項公式，故同學(xué)們不必在此處挖掘過深.(2)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項公式，步驟如下：第一步假設(shè)遞推公式可改寫為an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步由待定系數(shù)法，解得t＝eq\f(q,p－1)；第三步寫出數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))的通項公式；第四步寫出數(shù)列{an}的通項公式.〖訓(xùn)練2〗已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{bn}的首項為1，且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2).試求數(shù)列{bn}的通項公式.解∵Sn－Sn－1＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2)，∴(eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1))(eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1))＝eq\r(Sn)＋eq\r(Sn－1)(n≥2).又eq\r(Sn)>0，∴eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝1.又eq\r(S1)＝1，∴數(shù)列{eq\r(Sn)}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴eq\r(Sn)＝1＋(n－1)×1＝n，故Sn＝n2.當(dāng)n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.當(dāng)n＝1時，b1＝1符合上式.∴bn＝2n－1.題型三利用前n項和Sn與an的關(guān)系求通項公式〖例3〗(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，則an等于()A.2n＋1 B.2nC.2n－1 D.2n－2(2)已知數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(n＋2,3)·an，則eq\f(an,an－1)的最大值為()A.－3 B.－1C.3 D.1〖解析〗(1)因為Sn＝2an－4，所以n≥2時，Sn－1＝2an－1－4，兩式相減可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以eq\f(an,an－1)＝2.因為S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以數(shù)列{an}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則an＝4×2n－1＝2n＋1，故選A.(2)由Sn＝eq\f(n＋2,3)an得，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝eq\f(n＋1,3)an－1，兩式作差可得：an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)an－1，整理得eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)＝1＋eq\f(2,n－1)，由此可得，當(dāng)n＝2時，eq\f(an,an－1)取得最大值，其最大值為3.〖答案〗(1)A(2)C規(guī)律方法已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解題步驟：第一步利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)n≥2時，Sn－1的表達(dá)式；第二步利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；第三步若求出n≥2時的{an}的通項公式，則根據(jù)a1＝S1求出a1，并代入n≥2時的{an}的通項公式進(jìn)行驗證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.如果求出的是{an}的遞推公式，則問題化歸為例2形式的問題.〖訓(xùn)練3〗在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式an.解由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1，得當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝eq\f(n,2)an，兩式作差得nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1－eq\f(n,2)an，得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即數(shù)列{nan}從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故當(dāng)n≥2時，nan＝2×3n－2.于是an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(2×3n－2,n)，n≥2，n∈N*.))一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)數(shù)列通項公式的求法，提升數(shù)學(xué)運算與邏輯推理素養(yǎng).2.求數(shù)列通項的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)構(gòu)造法等，但總的思想是轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列(一般是等差或等比數(shù)列)求解.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.數(shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式可能是()A.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,an＋1＋n－1（n∈N*，n≥2）))B.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,an－1＋n（n∈N*，n≥2）))C.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,an－1＋n－1（n∈N*，n≥2）))D.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,an－1＋n＋1（n∈N*，n≥2）))〖解析〗由題意可得，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，……∴an－an－1＝n(n≥2)，故數(shù)列的遞推公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,an－1＋n（n∈N*，n≥2）))故選B.〖答案〗B2.數(shù)列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an＋2n，則a9＝()A.1024 B.1023C.510 D.511〖解析〗由題意可得an＋1－an＝2n，則a9＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a9－a8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.故選D.〖答案〗D3.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且aeq\o\al(2,n)－an－n2－n＝0，則an＝________.〖解析〗由aeq\o\al(2,n)－an－n(n＋1)＝0，得〖an－(n＋1)〗(an＋n)＝0.又an>0，所以an＝n＋1.〖答案〗n＋14.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，對于任意的n≥2，n∈N*，都有a1a2a3…an＝n2，則a10＝________.〖解析〗由a1a2a3…an＝n2，得a1a2a3…an－1＝(n－1)2(n≥2)，所以an＝eq\f(n2,（n－1）2)(n≥2)，所以a10＝eq\f(100,81).〖答案〗eq\f(100,81)5.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,an＋2)(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式.解由an＋1＝eq\f(an,a