人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)學(xué)案：4 1 第二課時(shí) 數(shù)列的遞推公式

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE1第二課時(shí)數(shù)列的遞推公式課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解數(shù)列的遞推公式是數(shù)列的表示方法的一種形式.2.掌握由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法.通過(guò)由數(shù)列的遞推公式歸納或者推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).新知探究歷史上有一個(gè)有名的關(guān)于兔子的問(wèn)題：假設(shè)有一對(duì)兔子(一雄一雌)，長(zhǎng)兩個(gè)月它們就算長(zhǎng)大成年了.然后每個(gè)月都會(huì)生出1對(duì)兔子，生下來(lái)的兔子也都是長(zhǎng)兩個(gè)月就算成年，然后每個(gè)月也都會(huì)生出1對(duì)兔子.這里假設(shè)兔子不會(huì)死，且每次都是只生1對(duì)兔子.第一個(gè)月，只有1對(duì)兔子；第二個(gè)月，小兔子還沒(méi)長(zhǎng)成年，還是只有1對(duì)兔子；第三個(gè)月，兔子長(zhǎng)成年了，同時(shí)生了1對(duì)小兔子，因此有兩對(duì)兔子；第四個(gè)月，成年兔子又生了1對(duì)兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3對(duì)兔子；第五個(gè)月，成年兔子又生了1對(duì)兔子，第三月生的小兔子現(xiàn)在已經(jīng)長(zhǎng)成年了且生了1對(duì)小兔子，加上本身兩只成年兔子及上月生的小兔子，共5對(duì)兔子；問(wèn)題1過(guò)了一年之后，會(huì)有多少對(duì)兔子？〖提示〗我們可以把這些兔子的數(shù)量以對(duì)為單位列出數(shù)字就能得到一組數(shù)字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，過(guò)了一年之后，總共會(huì)有233對(duì)兔子.問(wèn)題2兔子的對(duì)數(shù)所組成的數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，…這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an，第n＋1項(xiàng)an＋1，第n＋2項(xiàng)an＋2有何關(guān)系？〖提示〗an＋an＋1＝an＋2.1.數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.2.數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和：把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.3.an與Sn的關(guān)系式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))拓展深化〖微判斷〗1.數(shù)列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，則a2＝2a1.(√)2.利用an＋1＝2an，n∈N*可以確定數(shù)列{an}.(×)〖提示〗只有給出a1的值，才可以確定數(shù)列{an}.3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝Sn－Sn－1.(×)〖提示〗an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))〖微訓(xùn)練〗1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝2an＋1，則數(shù)列的第5項(xiàng)a5＝________，由此歸納出{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______，可以求得a8＝________.〖解析〗∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，∴a5＝63.可以看出an＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511.〖答案〗63an＝2n＋1－15112.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n－3，則an＝________.〖解析〗當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－〖2(n－1)－3〗＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,2，n≥2.))〖答案〗eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,2，n≥2.))〖微思考〗1.利用數(shù)列的遞推公式確定一個(gè)數(shù)列，必須給出哪些條件？〖提示〗(1)“基礎(chǔ)”，即第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；(2)遞推關(guān)系，即遞推公式.2.數(shù)列的遞推公式與其通項(xiàng)公式有何異同？〖提示〗相同點(diǎn)不同點(diǎn)通項(xiàng)公式均可確定一個(gè)數(shù)列，求出數(shù)列中的任意一項(xiàng)給出n的值，可求出數(shù)列中的第n項(xiàng)an遞推公式由前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，通過(guò)一次(或多次)運(yùn)算，可求出第n項(xiàng)an題型一由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)〖例1〗若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，n∈N*，求a2021.解a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1＋a3,1－a3)＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋a4,1－a4)＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2＝a1，∴{an}是周期為4的數(shù)列，∴a2021＝a4×505＋1＝a1＝2.規(guī)律方法遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系.對(duì)于通項(xiàng)公式，已知n的值即可得到相應(yīng)的項(xiàng)，而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，才可依次求得其他的項(xiàng).若項(xiàng)數(shù)很大，則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律.〖訓(xùn)練1〗(多選題)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝－eq\f(1,an＋1)，能使an＝3的n可以為()A.22 B.24C.26 D.28〖解析〗由a1＝3，an＋1＝－eq\f(1,an＋1)，得a2＝－eq\f(1,4)，a3＝－eq\f(4,3)，a4＝3.所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，故a22＝a28＝3.〖答案〗AD題型二由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)〖例2〗(1)對(duì)于任意數(shù)列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.試根據(jù)這一結(jié)論，完成問(wèn)題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通項(xiàng)an；(2)若數(shù)列{an}中各項(xiàng)均不為零，則有a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)成立.試根據(jù)這一結(jié)論，完成問(wèn)題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n)(n≥2，n∈N*)，求通項(xiàng)an.解(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)a1＝1也符合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－1，n∈N*.(2)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝1×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×…×eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,n).a1＝1也符合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(1,n)，n∈N*.規(guī)律方法形如an＋1－an＝f(n)的遞推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通項(xiàng)公式；形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的遞推公式，可以利用a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通項(xiàng)公式.以上方法分別叫累加法和累乘法.〖訓(xùn)練2〗設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n∈N*)，則它的通項(xiàng)公式an＝________.〖解析〗法一(累乘法)：把(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0分解因式，得〖(n＋1)an＋1－nan〗(an＋1＋an)＝0.∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)，∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n)a1＝eq\f(1,n).法二(迭代法)：同法一，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，∴an＝eq\f(n－1,n)·an－1＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·an－2＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·eq\f(n－3,n－2)·an－3…＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·eq\f(n－3,n－2)·…·eq\f(1,2)a1＝eq\f(1,n)a1.又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n).法三(構(gòu)造特殊數(shù)列法)：同法一，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴(n＋1)an＋1＝nan，∴數(shù)列{nan}是常數(shù)列，∴nan＝1·a1＝1，∴an＝eq\f(1,n).〖答案〗eq\f(1,n)題型三由Sn與an的關(guān)系求an〖例3〗已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋eq\f(1,2)n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.解根據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，當(dāng)n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋eq\f(1,2)n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（n－1）2＋\f(1,2)（n－1）))＝2n－eq\f(1,2)，①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)，也滿足①式.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－eq\f(1,2)，n∈N*.〖遷移1〗把例3中數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和改為Sn＝n2＋eq\f(1,2)n＋1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2＋\f(1,2)n＋1))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（n－1）2＋\f(1,2)（n－1）＋1))＝2n－eq\f(1,2).①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(5,2)不符合①式.∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，n＝1，,2n－\f(1,2)，n≥2，n∈N*.))〖遷移2〗把例3中數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和改為Sn＝2n－1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解∵Sn＝2n－1，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1符合上式，∴an＝2n－1.規(guī)律方法已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an，先由n＝1時(shí)，a1＝S1求得a1，再由n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1求得an，最后驗(yàn)證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個(gè)〖解析〗式表示，不符合則分段表示.〖訓(xùn)練3〗已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2＋n＋3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解∵Sn＝2n2＋n＋3，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－〖2(n－1)2＋(n－1)＋3〗＝4n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1不符合上式，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,4n－1，n≥2.))一、素養(yǎng)落地1.通過(guò)學(xué)習(xí)由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)或通項(xiàng)公式，提升邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法有：(1)歸納法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.3.利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)所應(yīng)用公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))注意其步驟有三：①求n＝1時(shí)的項(xiàng)，即a1；②求n≥2時(shí)an的表達(dá)式；③驗(yàn)證a1是否滿足n≥2時(shí)的表達(dá)式.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.已知數(shù)列{an}中的首項(xiàng)a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，則此數(shù)列的第三項(xiàng)是()A.1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,8)〖解析〗由題知a2＝eq\f(1,2)×1＋eq\f(1,2)＝1，a3＝eq\f(1,2)×1＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).〖答案〗C2.數(shù)列2，4，6，8，10，…的遞推公式是()A.an＝an－1＋2(n≥2)B.an＝2an－1(n≥2)C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)〖解析〗A，B中沒(méi)有說(shuō)明某一項(xiàng)，無(wú)法遞推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合題意.〖答案〗C3.已知數(shù)列{an}中，an＋1＝2an對(duì)?n∈N*成立，且a3＝12，則a1＝________.〖解析〗∵a3＝2a2＝12，∴a2＝6，a2＝2a1＝6，∴a1＝3.〖答案〗34.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，an＋1＝eq\f(