人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊第五章 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用章末復習課2

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊PAGEPAGE1章末復習課一、知識結構內容考點關注點章末復習導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程導數(shù)的運算復合函數(shù)求導函數(shù)的單調性函數(shù)單調性與導函數(shù)正負的關系函數(shù)的極值與最值極值與最值的關系應用問題將數(shù)學問題轉化為數(shù)學問題二、學法指導1．導數(shù)的幾何意義的應用：利用導數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明確“過點P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點．2．圍繞著切點有三個等量關系：切點(x0，y0)，則k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)滿足切線方程，在求解參數(shù)問題中經常用到．3．利用導數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時，要充分利用fx與其導數(shù)f′x之間的對應關系，然后結合函數(shù)的單調性等知識求解.求解參數(shù)范圍的步驟為：1對含參數(shù)的函數(shù)fx求導，得到f′x；2若函數(shù)fx在a，b上單調遞增，則f′x≥0恒成立；若函數(shù)fx在a，b上單調遞減，則f′x≤0恒成立，得到關于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍；3驗證參數(shù)范圍中取等號時，是否恒有f′x＝0.若f′x＝0恒成立，則函數(shù)fx在a，b上為常函數(shù)，舍去此參數(shù)值.4.求連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間〖a，b〗上的最值的方法(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間〖a，b〗上單調遞增或遞減，則f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值；(2)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間〖a，b〗內有極值，則要先求出〖a，b〗上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．5．已知函數(shù)的極值(最值)情況求參數(shù)的值(取值范圍)的方法根據(jù)極值和最值的關系，與最值有關的問題一般可以轉化為極值問題．已知f(x)在某點x0處有極值，求參數(shù)的值(取值范圍)時，應逆向考慮，可先將參數(shù)當作常數(shù)，按照求極值的一般方法求解，再依據(jù)極值與導數(shù)的關系，列等式(不等式)求解．6．解決優(yōu)化問題的步驟1要分析問題中各個數(shù)量之間的關系，建立適當?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域.2要通過研究相應函數(shù)的性質，如單調性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具.3驗證數(shù)學問題的解是否滿足實際意義.三、知識點貫通知識點一導數(shù)的幾何意義例題1.已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標；(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．知識點二函數(shù)的單調性與導數(shù)例題2.若函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,3)sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是()A．〖－1，1〗 B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))知識點三函數(shù)的極值、最值與導數(shù)例題3.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b的圖象上一點P(1，0)且在點P處的切線與直線3x＋y＝0平行．(1)求函數(shù)f(x)的〖解析〗式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間〖0，t〗(0＜t＜3)上的最大值和最小值．知識點四導數(shù)在生活中的應用例題4．如圖，曲線AH是一條居民平時散步的小道，小道兩旁是空地，當?shù)卣疄榱素S富居民的業(yè)余生活，要在小道兩旁規(guī)劃出兩塊地來修建休閑活動場所，已知空地ABCD和規(guī)劃的兩塊用地(陰影區(qū)域)都是矩形，AB＝144，AD＝150，CH＝30，若以AB所在直線為x軸，A為原點，建立如圖平面直角坐標系，則曲線AH的方程為y＝aeq\r(x)，記AM＝t，規(guī)劃的兩塊用地的面積之和為S(單位：米)．(1)求S關于t的函數(shù)S(t)；(2)求S的最大值．四、易錯點分析易錯點由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的范圍例.已知函數(shù)f(x)＝xex－a(lnx＋x)，a∈R.(1)當a＝e時，求f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．誤區(qū)警示由函數(shù)的零點求參數(shù)的范圍，要構造合適的函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，借助函數(shù)的單調性、最值解決參數(shù)問題.

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁三、知識點貫通知識點一導數(shù)的幾何意義例題1.〖解〗(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)設切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1，∴直線l的方程為y＝(3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＋x0－16.又∵直線l過點(0，0)，∴0＝(3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1)(－x0)＋xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＋x0－16.整理得，xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．(3)∵切線與直線y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切線的斜率k＝4.設切點坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1＝4，∴x0＝±1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18.))即切點為(1，－14)或(－1，－18)．切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.知識點二函數(shù)的單調性與導數(shù)例題2.〖答案〗C〖解析〗f′(x)＝1－eq\f(2,3)cos2x＋acosx＝1－eq\f(2,3)(2cos2x－1)＋acosx＝－eq\f(4,3)cos2x＋acosx＋eq\f(5,3)，f(x)在R上單調遞增，則f′(x)≥0在R上恒成立，令cosx＝t，t∈〖－1，1〗，則－eq\f(4,3)t2＋at＋eq\f(5,3)≥0在〖－1，1〗上恒成立，即4t2－3at－5≤0在〖－1，1〗上恒成立，令g(t)＝4t2－3at－5，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝4－3a－5≤0，,g－1＝4＋3a－5≤0，))解得－eq\f(1,3)≤a≤eq\f(1,3)，故選C.知識點三函數(shù)的極值、最值與導數(shù)例題3.〖解〗(1)因為f′(x)＝3x2＋2ax，曲線在P(1，0)處的切線斜率為f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函數(shù)過(1，0)點，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)由(1)得f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.=1\*GB3①當0＜t≤2時，在區(qū)間(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在〖0，t〗上是減函數(shù)，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.②當2＜t＜3時，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0，2)2(2，t)tf′(x)0－0＋f(x)2↘－2↗t3－3t2＋2f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個．f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，所以f(x)max＝f(0)＝2.知識點四導數(shù)在生活中的應用例題4．〖解〗(1)根據(jù)所建平面直角坐標系，可得點H(144，120)，所以120＝aeq\r(144)，解得a＝10，又AM＝t，所以P(t，10eq\r(t))，所以S關于t的函數(shù)關系式為S(t)＝t·(150－10eq\r(t))＋(144－t)·10eq\r(t)＝150t－20t·eq\r(t)＋1440·eq\r(t)(0＜t＜144)．(2)令m＝eq\r(t)，則S＝150m2－20m3＋1440m(0＜m＜12)，所以S′＝300m－60m2＋1440＝－60(m＋3)(m－8)，S′＝0?m＝8負值舍去；S′＞0?0＜m＜8；S′＜0?8＜m＜12；所以函數(shù)S在區(qū)間(0，8)上單調遞增，在區(qū)間(8，12)上單調遞減，所以當m＝8時，S取得最大值，為10880平方米．答：S的最大值為10880平方米．四、易錯點分析易錯點由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的范圍例.〖解〗(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，當a＝e時，f(x)＝xex－elnx－ex，f′(x)＝eq\f(1＋xxex－e,x)，令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)．(2)令t＝lnx＋x，則t＝lnx＋x在(0，＋∞)上單調遞增，且t∈R，∴f(x)＝xex－a(lnx＋x)＝et－at，令g(t)＝et－at.∴f(x)在(0，＋∞)上有兩個零點等價于g(t)＝et－at在t∈R上有兩個零點．①當a＝0時，g(t)＝et在R上遞增，且g(t)＞0，故g(t)無零點；②當a＜0時，g′(t)＝et－a＞0，g(t)在R上單調遞增，又g(0)＝1＞0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝－1＜0，故g(t)在R上只有一個零點；③當a＞0時，由g′(t)＝et－a＝0，可知t∈(－∞，lna)時，g′(t)＜0，g(t)為減函數(shù)；t∈(lna，＋∞)時，g′(t)＞0，g(t)為增函數(shù)，∴g(t)在t＝lna時有唯一的一個極小值g(lna)＝a(1－lna)．若0＜a＜e，則g(t)min＝g