2016-2017高三“三角函數(shù)”專題復(fù)習(xí)分析與指導(dǎo)(田正式版)

高三“三角函數(shù)”專題的復(fù)習(xí)分析與指導(dǎo)北京市第一0一中學(xué)田媛一、“三角函數(shù)”專題內(nèi)容分析（一）“三角函數(shù)”專題知識(shí)體系的梳理1、地位與價(jià)值在教學(xué)中，三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都較強(qiáng)，對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力都有很重要的作用。從三角函數(shù)的起源來(lái)看，三角函數(shù)起源于生活中的天文學(xué)，被廣泛應(yīng)用于解決航海通商問(wèn)題，此后在自動(dòng)控制、電子領(lǐng)域、工程領(lǐng)域等都有重要意義。從歷年高考的情況來(lái)看，三角恒等變換、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、正余弦定理與解三角形等都是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，并常與其他交匯以解答題的形式考查，難度適中。2、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖3、核心知識(shí)①研究三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，其突出特征是具有周期性的函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)具有邊界和零點(diǎn)；難點(diǎn)是函數(shù)的圖像變換，的確定：；的確定：；的確定：；的確定：初始角，與平移單位有關(guān).②三角恒等變換的綜合應(yīng)用，主要應(yīng)用于兩個(gè)方面：一是化簡(jiǎn)函數(shù)與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合；二是解三角形與正弦定理和余弦定理結(jié)合在平面幾何圖形中求解相關(guān)的幾何量，解三角形就是有條件的恒等變換.（二）“三角函數(shù)”專題中研究的核心問(wèn)題1、問(wèn)題類型①三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)綜合問(wèn)題，常涉及三角恒等變換、圖像變換、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性和最值等；②解三角形問(wèn)題，只要涉及兩角和與差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等；③三角函數(shù)性質(zhì)與解三角形的綜合問(wèn)題，其本質(zhì)是解決有條件的三角恒等變換問(wèn)題，因此注意角的范圍對(duì)變形過(guò)程的影響.2、問(wèn)題研究與解決①三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)的常用方法：弦切互化：包括“切割化弦”、“齊次式化切”等；和積互化：包括“平方關(guān)系”、“降冪公式”和利用進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化；巧用“1”的變換：②轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的基本類型：設(shè)，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)；借助輔助角公式轉(zhuǎn)化為；設(shè)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)（閉區(qū)間內(nèi)）；設(shè)，則，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；，設(shè)，當(dāng)時(shí)可用均值定理；③函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性及圖像變換對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)；由的圖像通過(guò)變換得到的圖像有兩種途徑：“先平移后伸縮”或“先伸縮后平移”，可用“五點(diǎn)法”作為突破口.④通過(guò)三角恒等變換解決三角求值問(wèn)題，做到三變：“變角——變名——變式”給角求值：關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成特殊角或消去非特殊角；給值求值：現(xiàn)變同角再求值；給值求角：轉(zhuǎn)化為“給值求值”，注意角的范圍.⑤利用正、余弦定理解三角形的兩種途徑：“化邊為角”通過(guò)三角恒等變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系；“化角為邊”通過(guò)解方程求邊；都要注意三角函數(shù)值的符號(hào)與角的范圍，防止出現(xiàn)增解、漏解.（三）“三角函數(shù)”專題蘊(yùn)含的核心觀點(diǎn)、思想和方法1、學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的主要困難（1）知識(shí)、技能方面：①解題時(shí)存在背景知識(shí)與技能的激活障礙；②解題時(shí)多知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系存在障礙；③三角函數(shù)核心概念及方法理解有誤.（2）方法、策略方面：①不能正確識(shí)別模式；②缺乏公式導(dǎo)致解題步驟增加，使可用的解題策略減少；③數(shù)形之間無(wú)法結(jié)合.（3）心理、習(xí)慣、態(tài)度方面：①解題差錯(cuò)無(wú)法自主發(fā)現(xiàn)；②方法知道但計(jì)算不對(duì).2、三角函數(shù)知識(shí)的核心觀點(diǎn)張景中院士認(rèn)為，在數(shù)學(xué)課程中三角函數(shù)至關(guān)重要，它是幾何與代數(shù)的一座橋梁，溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條通道，函數(shù)、向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)等許多重要數(shù)學(xué)知識(shí)與三角有關(guān)，大量實(shí)際問(wèn)題的解決要用到三角知識(shí).強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)中的函數(shù)思想，三角函數(shù)已經(jīng)不僅僅是解三角形的工具，而是一個(gè)重要的函數(shù)模型；數(shù)形結(jié)合解決三角函數(shù)的圖形變換；加強(qiáng)三角函數(shù)的應(yīng)用意識(shí)，特別是用于解三角形問(wèn)題.3、核心思想方法與核心技能“三種思想”+“三個(gè)技能”：函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合思想；運(yùn)算技能：對(duì)三角函數(shù)解析式的恒等變形以及轉(zhuǎn)化為型函數(shù)的運(yùn)算，正余弦定理公式的合理選擇和化簡(jiǎn)運(yùn)算等；作圖技能：根據(jù)任務(wù)需求繪制相應(yīng)要求精度的三角函數(shù)圖象，五點(diǎn)法畫圖等；推理技能：依據(jù)三角函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行推理判斷運(yùn)算方向，以及對(duì)三角形形狀的判斷二、“三角函數(shù)”專題的典型考題結(jié)構(gòu)（一）近年北京高考題中三角函數(shù)考察的內(nèi)容年份理科文科2016第7題：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第15題：三角形中余弦定理、三角恒等變換第13題：三角形中正弦定理第16題：三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)2015第12題：三角形中三角函數(shù)第15題：正弦型函數(shù)性質(zhì)第11題：解三角形第15題：正弦型函數(shù)性質(zhì)2014第14題：正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)第15題：解三角形第12題：解三角形第14題：正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)2013第3題：正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)第15題：解三角形第5題：解三角形第15題：恒等變形、正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)、特殊角的函數(shù)值2012第11題：解三角形第15題：恒等變形、正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)第11題：解三角形（姊妹題）第15題：同理科152011第9題：解三角形第15題：恒等變形、正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)第9題：解三角形（姊妹題）第15題：同理科15試題特點(diǎn)：試題總體比較平穩(wěn)，不管是位置還是考察的知識(shí)點(diǎn)和難度都是比較穩(wěn)定的，高考降低了復(fù)雜的三角恒等變形公式的考察，回歸到雙基和通性通法的考察上，文科基本小題考察解三角形，大題就是用三角公式變形為正弦型函數(shù)，在討論它的性質(zhì)（特殊值、周期、值域）。理科2013、2014、2016年考察有些求變；小題考圖象性質(zhì)（靈活性增強(qiáng)）而大題考察解三角形，2011、2012、2015年考察雙基和通性通法上。（二）海淀區(qū)三次統(tǒng)考中三角函數(shù)考察的內(nèi)容第二次第三次第四次14、新定義、理解與應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)“友好”三角形7、分段函數(shù)、函數(shù)的奇偶性、兩角和與差的正弦與余弦4、同角三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換15、三角恒等變換（求周期）、三角函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算能力（提斜公式）15、正弦定理、余弦定理、誘導(dǎo)公式、數(shù)學(xué)計(jì)算能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力15、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力（三）典型考題舉例（近年北京高考文、理科真題）1、（2016北京理7）將函數(shù)y=sin（2x）圖象上的點(diǎn)P（，t）向左平移s（s＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P′，若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，則（A）A．t=，s的最小值為 B．t=，s的最小值為C．t=，s的最小值為 D．t=，s的最小值為2、（2016北京理15）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大??；（B=）（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．（1）3、（2016北京文13）在△ABC中，，a=c，則=___1______.4、（2016北京文16）已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（）（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.（的單調(diào)遞增區(qū)間為（））5、（2015年北京文11）在中，，，，則．（）6、（2015年北京文15）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（）（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值．（）7、（2015年北京理科12）在中，，，，則 ．（1）8、（2015年北京理科15）已知函數(shù)．(Ⅰ)求的最小正周期；（）(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值．9、（2014年北京文16）函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分圖像如圖所示．(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))上的最大值和最小值．10、（2014·北京文12）在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4)，則c＝________；sinA＝________．11、（2014·北京理14）設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且，則f(x)的最小正周期為_(kāi)______．12、（2014·北京理15）如圖1-2，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長(zhǎng)．13、（2013北京文5）在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，則sinB＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(5,9)C．eq\f(\r(5),3)D．114、（2013北京文15）已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq\f(\r(2),2)，求α的值．15、（2013北京理3）“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件16、（2013北京理15）在△ABC中，a＝3，b＝2eq\r(6)，∠B＝2∠A．(1)求cosA的值；(2)求c的值．三、“三角函數(shù)”專題的教學(xué)目標(biāo)的分析與定位（一）高考考試要求考試內(nèi)容要求層次ABC三角函數(shù)任意角的概念和弧度制√弧度與角度的互化

√任意角的正弦、余弦、正切的定義√√誘導(dǎo)公式√同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式√周期函數(shù)的定義、三角函數(shù)的周期性√函數(shù)，，的圖象和性質(zhì)√函數(shù)的圖象√用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

√三角恒等變換兩角和與差的正弦、余弦、正切公式√二倍角的正弦、余弦、正切公式√簡(jiǎn)單的恒等變換√解三角形正弦定理、余弦定理√解三角形√（二）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)1、同角關(guān)系下的函數(shù)名的轉(zhuǎn)化——“齊次式”化切的訓(xùn)練例1、已知為三角形的內(nèi)角，且，則探究1：求探究2：求探究3：求探究4：求2、運(yùn)用函數(shù)思想解決三角問(wèn)題例2、①若，，則（C）A．B．C．D．②若，則與的大小關(guān)系（D）A．B．C．D．與的取值有關(guān)③已知函數(shù)，則的值為1④若函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)，使函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì)，下列函數(shù)具有T性質(zhì)的是（A）A．B．C．D．⑤若函數(shù)，時(shí)單增，則的取值范圍是（C）A．B．C．D．3、關(guān)注相位變換，研究的圖像與性質(zhì)例3、①若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖像的對(duì)稱軸為（B）A．B．C．D．②將函數(shù)的圖像上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖像上則（A）A．B．C．D．③已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖像的對(duì)稱軸，且在單調(diào)，則的最大值是（B）A．11B．9C．7D．5④已知，函數(shù)，在上是減函數(shù)，則的取值范圍是4、三角恒等變換的一般步驟：變角——變名——變式例4、①若是偶函數(shù)，則__0__②函數(shù)的最大值（B）A．4B．5C．6D．7③1④設(shè)，，且，則5、解三角形及其應(yīng)用例5、①在△ABC中，a2+c2=b2+ac．求cosA+cosC的最大值1．②在平行四邊形ABCD中，，，求的取值范圍是③在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知（1）求證：；（2）求的最小值.（=）四、“三角函數(shù)”專題的教學(xué)實(shí)施建議（一）復(fù)習(xí)課時(shí)參考1、角的概念的推廣及任意角的三角函數(shù)（1課時(shí)）2、同角基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式（1課時(shí)）3、兩角和與差的正弦、余弦和正切（1課時(shí)）4、二倍角公式（1課時(shí)）5、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（2課時(shí)）6、函數(shù)的圖象及性質(zhì)（1課時(shí)）7、利用正弦定理、余弦定理解三角形（1課時(shí)）8、三角函數(shù)綜合（2課時(shí)）（二）教學(xué)建議及示范注：由李老師提供五、“三角函數(shù)”專題的教學(xué)資源2015——2016海淀區(qū)四次統(tǒng)考試題（三角部分）理科文科第一次5.已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A.B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.的最小正周期為D.的值域?yàn)?.“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件13.已知函數(shù).若的圖像向左平移個(gè)單位所得的圖像與的圖像向右平移個(gè)單所得圖像位重合，則的最小值為