A全等三角形之手拉手模型倍長(zhǎng)中線截長(zhǎng)補(bǔ)短法

/手拉手模型要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)結(jié)論：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC變形：例1.如圖在直線的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）與之間的夾角為平分變式精練1：如圖兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）與之間的夾角為與的交點(diǎn)設(shè)為,平分變式精練2：如圖兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）與之間的夾角為與的交點(diǎn)設(shè)為,平分例2：如圖，兩個(gè)正方形與,連結(jié),二者相交于點(diǎn)問(wèn)：（1）是否成立？是否與相等？與之間的夾角為多少度？是否平分？例3：如圖兩個(gè)等腰直角三角形與，連結(jié),二者相交于點(diǎn)問(wèn)：（1）是否成立？（2）是否與相等？（3）與之間的夾角為多少度？（4）是否平分？例4：兩個(gè)等腰三角形與，其中,,連結(jié)與，問(wèn)：（1）是否成立？（2）是否與相等？（3）與之間的夾角為多少度？（4）是否平分？例5：如圖，點(diǎn)A.B.

C在同一條直線上，分別以AB、BC為邊在直線AC的同側(cè)作等邊三角形△ABD、△BCE.連接AE、DC，AE與DC所在直線相交于F，連接FB.判斷線段FB、FE與FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論?！揪?】如圖，三角形ABC和三角形CDE都是等邊三角形，點(diǎn)A,E,D,同在一條直線上，且角EBD=62°，求角AEB的度數(shù)倍長(zhǎng)與中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長(zhǎng)中線類?考點(diǎn)說(shuō)明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長(zhǎng)中線，倍長(zhǎng)中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的：將題中已知和未知條件集中在一對(duì)三角形中、構(gòu)造全等三角形、平移線段?！痉椒ňv】常用輔助線添加方法——倍長(zhǎng)中線△ABC中方式1：延長(zhǎng)AD到E，AD是BC邊中線使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長(zhǎng)作CF⊥AD于F，延長(zhǎng)MD到N，作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E使DN=MD，連接BE連接CD已知：中，是中線．求證：．【練1】在△中，，則邊上的中線的長(zhǎng)的取值范圍是什么？【練2】如圖所示，在的邊上取兩點(diǎn)、，使，連接、，求證：．【練3】如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD=CF，連結(jié)DF交BC于E．求證：DE=EF(倍長(zhǎng)中線、截長(zhǎng)補(bǔ)短)如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，，求證：．【練1】如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交于，求證：【練2】如圖，在△ABC中，AB>AC，E為BC邊的中點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，過(guò)E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長(zhǎng)線于G.求證：BF=CG.【練3】如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線．【練4】如圖所示，已知中，平分，、分別在、上．，．求證：∥【例3】已知為的中線，，的平分線分別交于、交于．求證：．【練1】在中，是斜邊的中點(diǎn)，、分別在邊、上，滿足．若，，則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)________．【練2】如圖，△ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD⊥AC，則∠BAC=______.【練3】在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，且．（1）若，以線段、、為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？（2）如果，求證．【例4】如圖，等腰直角與等腰直角，為中點(diǎn)，連接、.探究、的關(guān)系.（證角相等方法）【練1】如圖，兩個(gè)正方形和，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn).探究與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.（證角相等方法）【練2】如圖，在中，，，是邊的中線.求證：【例5】如圖所示，在中，，延長(zhǎng)到，使，為的中點(diǎn)，連接、，求證．【練1】已知中，，為的延長(zhǎng)線，且，為的邊上的中線．求證：【練2】如圖,CB、CD分別是鈍角△AEC和銳角△ABC中線,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求證CE=2CD.【例16】如圖，兩個(gè)正方形和，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn).探究與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.（倍長(zhǎng)中線與手拉手模型綜合應(yīng)用）【練1】已知：如圖，正方形和正方形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).⑴試說(shuō)明線段與數(shù)量關(guān)系和關(guān)系.⑵如圖，若將上題中正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)（），其他條件不變，上述結(jié)論還正確嗎？若正確，請(qǐng)你證明；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.★全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短：人教八年級(jí)上冊(cè)課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問(wèn)題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”又是解決這一類問(wèn)題的一種特殊方法(把長(zhǎng)邊截成兩個(gè)短邊或把兩個(gè)短邊放到一起；出現(xiàn)角平分線進(jìn)行翻折；有具體角的度數(shù)說(shuō)明要求角的度數(shù)，進(jìn)而得到角相等，全等)如圖所示，中，，AD平分交BC于D。求證：AB=AC+CD。【練1】如圖所示，在中，，的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O。求證：AE+CD=AC。【練2】已知中，，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【練2】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于點(diǎn)E，連接BE，且AE⊥BE，求證：AB=AD+BC.【練3】已知：如圖,在△ABC中,∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線。求證：BC=AB+AD.【練4】點(diǎn)M，N在等邊三角形ABC的AB邊上運(yùn)動(dòng)，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求證MN=MB+NC．【例11】已知如圖所示，在△ABC中,AD是角平分線,且AC=AB+BD,試說(shuō)明∠B=2∠C（不只是邊，倍角也適用）【練1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D．求證：∠DBC＝∠BAC．【例12】如圖所示，已知，P為BN上一點(diǎn)，且于D，AB+BC=2BD，求證：。【練1】如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：【例13】如圖所示，在中，AB=AC，，，CE垂直于BD的延長(zhǎng)線于E。求證：BD=2CE?！揪?】已知：如圖示，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分線．求證：CD=2AD．

【練2】如圖所示，在中，，AD為的平分線，=30，于E點(diǎn)，求證：AC-AB=2BE?！揪?】正方形ABCD,E是BC上一點(diǎn),AEEF,交∠DCH的平分線于點(diǎn)F，求證AE=EF【練4】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE【例14】如圖所示，已知//CD，的平分線恰好交于AD上一點(diǎn)E，求證：BC=AB+CD。【練1】如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．【練2】如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，且AF平分∠DAE，求證：AE=EC+CD．【練3】在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠B=2∠C．求證：CD=AB+BD．

【練4】如圖所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為三角形ABC外一點(diǎn),且AD＝BD,DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.試探求ED、AE和BC之間有何數(shù)量關(guān)系【練5】在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【例15】如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證：AB-AC＞PB-PCDAD12PBC【練1】已知為的中線，，的平分線分別交于、交于．求證：．如圖，E是的平分線上一點(diǎn)，，，垂足為C、D。求證：（1）OC=OD；（2）DF=CF。構(gòu)造等邊三角形1、如圖,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠ADB=60°，E是AD上一點(diǎn)，且有DE=DB.求證：AE=BE+BC.2、在等腰中，，頂角，在邊上取點(diǎn)，使，求.練習(xí)1、如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于A、2cmB、3cmC、4cmD、5cmABCDA'B'ABCDA'B'C'D'（倍長(zhǎng)中線）練習(xí)3、如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分線，AD⊥BE，垂足為D，求證：∠2=∠1+∠C練習(xí)4、如圖（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線，且B、C在A、E的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）試說(shuō)明：BD=DE+CE．（2）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)（BD＜CE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果；（3）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時(shí)（BD＞CE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，有過(guò)A的任一條直線AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求證：DE＝BD－CE．（思路：截長(zhǎng)補(bǔ)短法）如圖,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一點(diǎn),且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求證：∠ACD=60°.（截長(zhǎng)補(bǔ)短）1、如圖，等腰直角與等腰直角，為中點(diǎn)，連接、.探究、的關(guān)系.（輔助線的連法都一樣）2、已知：如圖，正方形和正方形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).⑴試說(shuō)明線段與數(shù)量關(guān)系和關(guān)系.（輔助線的連法都一樣）⑵如圖，若將上題中正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)（），其他條件不變，上述結(jié)論還正確嗎？若正確，請(qǐng)你證明；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.3、已知為的中線，，的平分線分別交于、交于．求證：．（輔助線的連法都一樣）【閱讀理解】

已知：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分線，交BC邊于點(diǎn)D．求證：AC=AB+BD證明：如圖1，在AC上截取AE=AB，連接DE，則由已知條件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）

∴∠AED=∠B=90°，DE=DB

又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形．

∴DE=EC．

∴AC=AE+EC=AB+BD．

【解決問(wèn)題】

已知，如圖2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分線，交BC邊于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E，若AB=2，則三角形DEC的周長(zhǎng)為