6.2.1排列6.2.2排列數課件高二下學期數學人教A版選擇性

排列 排列數第六章計數原理人教A版

數學

選擇性必修第三冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標學習單元2

排列與組合排列與組合的核心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現的情況總數.排列的本質就是從給定個數的元素中取出指定個數的元素排成一列,需要將它們排序;組合的本質則是從給定個數的元素中取出指定個數的元素作為一組,但不考慮將它們排序.本學習單元是在計數原理的基礎上,將實際問題中抽取的對象抽象為元素,引入排列與組合的概念,然后用字母表示排列數和組合數,并給出計算排列數和組合數的公式.在此過程中,體會將實際問題轉化為排列與組合問題的數學抽象,將分類、分步的計數表示為排列數和組合數的數學模型,以及通過排列數與組合數公式便捷求出計算結果的數學運算.在此基礎上,我們提出本學習單元的研究內容:排列—概念—排列數公式—組合—概念—組合數公式—應用.這是學習本單元的知識明線,具體內容結構如下圖所示:本學習單元的最終目標是理解排列、組合的概念,能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式.在學習過程中,能將問題中抽取的具體對象抽象為元素,將具體問題歸納為一般問題,得到排列與組合的定義,并能利用定義判斷排列與組合問題,從而提高分析和解決問題的能力,發(fā)展數學抽象、邏輯思維、數學運算和數學建模等核心素養(yǎng).學習目標1.理解并掌握排列、排列數的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列.(數學抽象)2.掌握排列數公式及其變式,并能運用排列數公式熟練地進行相關計算.(數學運算)3.掌握有限制條件的排列應用題的一些常用方法,并能運用排列的相關知識解一些簡單的排列應用題.(數學抽象、邏輯推理、數學運算)基礎落實·必備知識一遍過知識點1

排列的相關概念1.排列:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一定的

排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個

.

指其中一種情況2.相同排列:兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.名師點睛理解排列應注意的問題(1)排列的定義中包括兩個基本內容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.(2)定義中的“一定順序”說明了排列的本質:有序.順序排列微思考1.如何判斷一個具體問題是不是排列問題?提示

(1)首先要保證元素互異性,即從n個不同元素中,取出m個不同的元素,否則不是排列問題.(2)要保證元素的有序性,即安排這m個元素時是有序的,有序就是排列,無序則不是排列.而檢驗它是否有序的依據是變換元素的位置,看結果是否發(fā)生變化,有變化是有序,無變化就是無序.2.同一個排列中,同一個元素能重復出現嗎?提示不能,因為給出的n個元素互不相同,且抽取的m個元素是從n個元素中不重復地抽取的.知識點2

排列數與排列數公式1.排列數的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的

,叫做從n個不同元素中取出m個元素的

,用符號_______

表示.

2.排列數公式:,這里m,n∈N*,并且m≤n.3.全排列和階乘:n個不同元素全部取出的一個排列,叫做n個元素的一個全排列.這時,排列數公式中m=n,即有

.也就是說,將n個不同的元素全部取出的排列數,等于正整數1到n的連乘積.正整數1到n的連乘積,叫做

,用

表示.于是,n個元素的全排列數公式可以寫成

.另外,我們規(guī)定,

.

個數

排列數

=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1n的階乘

n!0!=1微思考你認為“排列”和“排列數”是同一個概念嗎?它們有什么區(qū)別?提示

“排列”與“排列數”是兩個不同的概念,一個排列是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個數,而是具體的一個事件.“排列數”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數”,它是一個數.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1從n個不同元素取出m(m≤n)個元素進行排列,用分步乘法計數原理解決問題時,存在部分重復性工作.你能否對這類計數問題給出一種簡捷的方法呢?探究點一簡單的排列問題問題2我們已知排列的定義以及排列數公式.如何根據定義將問題抽象為排列問題,進而利用排列數公式求解?【例1】

(1)有5個不同的科研小課題,從中選3個課題由高二(6)班的3個學習興趣小組進行研究,每組一個課題,共有多少種不同的安排方法?(2)校園歌手大獎賽共有12名選手參加,比賽設一等獎、二等獎、三等獎各一名,每人最多獲得一種獎項,共有多少種不同的獲獎情況?解

從5個不同的科研小課題中選出3個,由3個學習興趣小組進行研究,對應于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列.因此不同的安排方法種數為

=5×4×3=60.解

從12名選手中選出3名獲獎并安排獎項,共有

=12×11×10=1

320種不同的獲獎情況.規(guī)律方法

對簡單的沒有限制條件的排列問題,在分清元素和位置的情況下,直接用排列數公式進行計算.探究點二排列數公式問題3我們已知排列的定義以及排列數公式.如何利用排列數公式及性質計算下列與排列相關的問題?∴2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),且n為正整數,整理可得2(2n-1)=5(n-2),解得n=8.規(guī)律方法

應用排列數公式時應注意的三個方面

探究點三“鄰”與“不鄰”問題問題4“鄰”與“不鄰”排列問題的特殊要求,即要求兩個特殊元素“相鄰”或“不相鄰”.“相鄰”時,我們應如何建模,使之變?yōu)楹唵蔚呐帕袉栴}?“不相鄰”時又應當如何建模?【例3】

7人站成一排.(1)甲、乙兩人相鄰的排法有多少種?(2)甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種?(3)甲、乙、丙三人必相鄰的排法有多少種?(4)甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種?規(guī)律方法

元素相鄰和不相鄰問題的解題策略

限制條件解題策略元素相鄰通常采用“捆綁”法,即把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列元素不相鄰通常采用“插空”法,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰元素插在前面元素排列的空中探究點四定序問題問題5定序問題是在排列時,某些特殊元素有順序要求.此時,應當如何建模,才能利用排列數公式解決問題?【例4】

用0,1,2,…,

9十個數字可組成多少個滿足以下條件且沒有重復數字的數?(1)五位奇數;(2)大于30000的五位偶數.解

(1)要得到五位奇數,個位數字應從1,3,5,7,9五個數字中取,有5種取法;取定個位數字后,萬位數字就有除這個數字和0之外的8種不同取法;個位數字和萬位數字確定后,十個數字還有八個數字可供中間的十位、百位與千位三個數位選取,共有

種不同的排列方法.因此由分步乘法計數原理知,共有5×8×=13

440個沒有重復數字的五位奇數.(2)要得偶數,個位數字應從0,2,4,6,8中選取,而要得比30

000大的五位偶數,可分兩類:規(guī)律方法

排列問題的本質是“元素”占“位置”問題,有限制條件的排列問題主要表現在某元素不排在某個位置上,或某個位置上不排某個元素.解決此類問題的方法主要按“優(yōu)先”原則,即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先考慮特殊位置,若一個位置安排的元素影響另一個位置的元素個數時,應分類討論.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)排列的定義、排列數公式;(2)利用排列數公式化簡與證明;(3)排列、排列數公式的簡單應用.2.方法歸納:直接法、間接法.3.常見誤區(qū):(1)排列的定義不明確;(2)易忽視

中“n,m∈N*”這個條件.學以致用·隨堂檢測促達標123456789101112A級必備知識基礎練1.從5本不同的書中選兩本送給2名同學,每人一本,則不同的送書方法的種數為(

)A.5 B.10 C.20 D.60C解析

此問題相當于從5個不同元素中取出2個元素的排列數,即共有

=20種不同的送書方法.123456789101112A.4 B.5 C.6 D.7B1234567891011123.某次演出共有6位演員參加,規(guī)定甲只能排在第一個或最后一個出場,乙和丙必須排在相鄰的順序出場,不同的演出順序共有(

)A.24種

B.144種 C.48種

D.96種D1234567891011124.6本不同的書擺放在書架的同一層上,要求甲、乙兩本書必須擺放在兩端,丙、丁兩本書必須相鄰,則不同的擺放方法有(

)A.24種

B.36種 C.48種

D.60種A1234567891011125.7個人排成一隊參觀某項目,其中A,B,C三人進入展廳的次序必須是先B再A后C,則不同的列隊方式的種數為(

)A.120 B.240

C.420

D.840D1234567891011126.不等式

-n<7的解集為

.

{3,4}得(n-1)(n-2)-n<7,整理,得n2-4n-5<0,解得-1<n<5.又n-1≥2且n∈N*,即n≥3且n∈N*,所以n=3或n=4.1234567891011127.某高三畢業(yè)班有40人,同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了

條畢業(yè)留言.(用數字作答)

1560解析

根據題意,得

=1

560,故全班共寫了1

560條畢業(yè)留言.1234567891011128.某一天上午的課程表要排入語文、數學、物理、體育共4節(jié)課,如果第一節(jié)不排體育,最后一節(jié)不排數學,那么共有不同排法

種.

14123456789101112B級關鍵能力提升練9.某班級從A,B,C,D,E,F六名學生中選四人參加4×100m接力比賽,其中第一棒只能在A,B中選一人,第四棒只能在A,C中選一人,則不同的選派方法共有(

)A.24種

B.36種 C.48種

D.72種B12345678910111210.由數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,