求數(shù)列的通項(xiàng)公式(人教A版2019選擇性必修第二、三冊(cè))

求數(shù)列的通項(xiàng)公式

模塊導(dǎo)圖

她知識(shí)剖析

求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考?？嫉囊粚ｎ}，形式多樣，解題方法很多，常見的有累加法、累乘法、待定系數(shù)法、

迭代法、取倒數(shù)法等，課外延申的還有不動(dòng)點(diǎn)法等，不管什么方法，一定要理解解題方法的本質(zhì)，清楚每種

方法的適用范圍，避免出現(xiàn)“看得懂，模仿做還行，獨(dú)立思考就含糊'’的情況.

經(jīng)典例題

【方法一】觀察法

適用范圍：給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜測通項(xiàng)公式；

方法：通過觀察，得知數(shù)列各項(xiàng)之間數(shù)值的關(guān)系（比如數(shù)值之間的差或商成一定規(guī)律）或數(shù)值結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（比如數(shù)

值的正負(fù)，分式，平方)從而求得通項(xiàng)公式.

【典題1】寫出下列數(shù)列｛即｝的一個(gè)通項(xiàng)公式

(1)-7,14,-21,28,...；(2)p白，］…；

O1O34

(3)2,5,10,17,26,...；(4)32,332,3332,33332,

(5)1,2,2,3>3>4>4,....

【解析】分解結(jié)構(gòu)法：注意數(shù)值的結(jié)構(gòu)，看其是否可視為兩個(gè)或多個(gè)數(shù)列組合而成.

(1)數(shù)列—7,14，-21,28,…每項(xiàng)可分解成符號(hào)和項(xiàng)的絕對(duì)值相乘得到，

序號(hào)1234.....n

符號(hào)—+—+(-l)n

絕對(duì)值71421287n

項(xiàng)(-l)n7n

n

故an=(-l)7n；

(2)數(shù)列;，"搭，5…每項(xiàng)可分解成分子和分母相除得到,

481632

序號(hào)1234.....n

分子13572n—1

分母4816322n+1

項(xiàng)(2n-l)2n+1

故斯=(2n-l)2n+1；

變形法：數(shù)列本身特點(diǎn)不明顯，但通過加減乘除某個(gè)數(shù)之類方式變形成“規(guī)律感更強(qiáng)”的數(shù)列.

(3)數(shù)列2,5,10,17,26，…中若每項(xiàng)減去1,則變成1,4,9,16,25，…，

這些數(shù)都是完全平方數(shù)，易想到數(shù)列的通項(xiàng)是十，

2

則原數(shù)列只需要在這基礎(chǔ)上加回1便可，即an=n+1.

(4)數(shù)列2,32,332,3332,33332，….中若每項(xiàng)加上1,則變成3,33,333,3333,33333再每項(xiàng)乘以

3,變成9,99,999,9999,99999

其中9=10-1,99=102-1,999=103-1,9999=104-1,99999=105-1,

則其通項(xiàng)勾=10n+1-1,

要求原數(shù)列的通項(xiàng)公式，

貝『‘逆回去"，除以再減可得=與一=紀(jì)廣=岑二

310n1-1

分奇偶項(xiàng)

（5）數(shù)列1,2,2,3,3,4,4，…，相鄰每項(xiàng)之間沒什么關(guān)系，若分奇偶性來看，就簡單多廣，

可得奇數(shù)項(xiàng)為1,2,3,4，…，可得即=等.偶數(shù)項(xiàng)為2,3,4，…，可得即=等.

傳1,兀為奇數(shù)

則該數(shù)列通項(xiàng)公式斯=1京？

I等，n為偶數(shù)

【點(diǎn)撥】觀察法主要是依靠“數(shù)感”，以上講解的“分解結(jié)構(gòu)法”“變形法”可有助于觀察，它對(duì)后面講到的利用

數(shù)學(xué)歸納法求解通項(xiàng)公式有用.

鞏固練習(xí)

1（★）數(shù)列1,—4J，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）

2244

A.（一|尸B.（一丹c.（-1）“（令-1D.（-1產(chǎn)（守t

【答案】D

【解析】依題意，數(shù)列｛即｝的符號(hào)正負(fù)項(xiàng)間隔出現(xiàn)，故符號(hào)為（-1），且每項(xiàng)為（竽），

故數(shù)列｛斯｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為Cln=（-l）n+1*^y）,

故選：D.

2（刈下列可作為數(shù)列1,2,1,2,1,2的通項(xiàng)公式的是（）

?an=2—sin—D.an=2—cos[(n-1)TT]

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，數(shù)列1,2,1,2,1,2,...

其奇數(shù)項(xiàng)為1,可以看作當(dāng)2偶數(shù)項(xiàng)為2,可以看作七2

其通項(xiàng)公式可以為：卅=與丫

故選：B.

3（**）寫出以下各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

(1)1/-I，…；(2)10,9,8,7,6，…；(3)0,3,8,15,24,...；

Z4o

1S111941

(4)-q，石'…；(5)4,44,444,4444,....

2

［答案］(1)即=x器(2)?n=11-71(3)an=n-1

(4居=1-京用(5)an=ix(10"-l).

【方法二】即與％的關(guān)系公式法

適用范圍：若得知%或an與右的關(guān)系式，求數(shù)列通項(xiàng)公式.

方法：利用即與無的關(guān)系即=/1_“J；'注意分類討論，最后確定的是否滿足即

f(n),n>2.

【典題1］已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和右,滿足關(guān)系lg(S”+1)=n.求｛an｝的通項(xiàng)公式.

n

【解析】???lg(Sn+l)=n,Sn=10-l

-1

當(dāng)n22時(shí)，的=5n-Sn_］=9xIO"

當(dāng)n=l時(shí)，%=Si=9滿足a.=9x10"T,(確定a1是否滿足上式)

1

an=9xIO"-(neN*).(最后等式才由n>2變成neAT)

【典題2】已知數(shù)列｛a3的前n項(xiàng)和為%,%=1,滿足下列條件

①VzieN*,即>0；②點(diǎn)(a0，Sn)在函數(shù)f(x)=子的圖象上；

求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)與及前n項(xiàng)和立.

【解析】由題意治=粵，

當(dāng)n>2時(shí)即=Sn-S“T=-尤月吐工,

整理,得(a九+a九一1)3-Qn-i-1)=。，(因式分解)

又Vn€N*,冊(cè)>0,所以即+an_iHO

艮|Jan—Qn_i=1,

又為=1,??.數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1,公比為1的等差數(shù)列，

【典題3]已知｛czn｝中，%=1,an=：?(n>2),求冊(cè).

【解析】當(dāng)九22時(shí)，an=Sn-Sn_x

兩邊同除以SnSn_],得機(jī)-『一=2(該變式技巧了解下)

(上兩題是“消去“S”得到數(shù)列｛斯｝遞推公式，該題“消去”/得到數(shù)列｛S”｝的遞推公式)

數(shù)列｛《｝為等差數(shù)列，公差為2,首項(xiàng)為1.

1

~=1+2(n-1)=2n—1?解得Sn=,

Sn271-1

i=Sn-Sx=全-氏=百擊與(n>2)(不要漏了大前提42)

?！?1不滿足斯=(2吁蔡2小3),

(1,n=1

(2n-l)(2n-3)

【點(diǎn)撥】當(dāng)題中得知又或a”與Sn的關(guān)系式，則可利用公式即=-1<消去即或%，得

I^71-171—乙

到對(duì)應(yīng)的遞推公式進(jìn)而求解即，但最后都要注意確定的是否滿足冊(cè)=f(n)n>2.

鞏固練習(xí)

I(★)已知數(shù)歹羽心；｝的前幾項(xiàng)和%滿足％=層+八一1,求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

l,n=1

【答案】a=

n2n,n>2

【解析】當(dāng)九>2時(shí)，an=Sn-Sn_]=2n

當(dāng)n=1時(shí)，%=Si=1不滿足an=2n,

2(★★)已知無窮數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和S九，并且an+Sn=l,求｛an｝的通項(xiàng)公式.

【答案】an=g)"

【解析】??,Qn+Sn=1,當(dāng)71=1時(shí)，Qi

7a

n+i=Sn+i—Sn=an—an+i?：?a?i+i=乂的=H0,

｛斯｝是以首項(xiàng)為右公比為9的等比數(shù)列，

，an=馱

3(★★)已知數(shù)列｛a九｝的前n項(xiàng)和Sn,滿足g=一4，2Sn=n(an-7).求的和數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

【答案】an=3n-10(nGAf*)

【解析】⑴在2sn=n(an—7)中，

當(dāng)？i=1時(shí)，2sl=a1-7==a1-7=a1=-7.

由2sH=n(an-7)得，2Sn+1=(n+l)(an+1-7),

兩式相減得，2an+1=(n+l)an+1~nan—7,

所以(n—1)an+1—nan=7,

當(dāng)n22時(shí)，有照!一￡!!；=/；=7(9-3，

nn-1n(n-l)n-1n，

所以號(hào)1一號(hào)=(整一含)+(含一器)+……+?一節(jié)

=73—+7信-占+……+7(：-》=7(1一？=舁，

所以四±1=”+生父=-4+豈巴3=乎」，

n1nnn

=

所以ctn+i3n—7(n>2),

故斯=3n—10(n>3),

又的=~~7,a2=—4也都符合上式，

所以Qn=3n—10(nGN*).

4(★★★)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知%=2,a2=8,Sn+14-4Sn_x=5Sn(n>2),求數(shù)列｛%｝的通

項(xiàng)公式；

【答案】即二22z

【解析】由%+1+4Sn_i=5sH(n>2)可得Sn+1一Sn=4(Sn—Sn_i)5>2),

冊(cè)+i=4Q九，(n>2)>

=2,Q.2=8,?gzij,Qn+i=4a八，

7121

所以數(shù)列｛冊(cè)｝是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列，故an=2x4T=Z^.

【方法三】累加法

適用范圍：遞推式為an+i=冊(cè)+f(兀).

方法:得到冊(cè)+1-即=/(九)，利用累加的形式求出an.

【典題1】已知數(shù)列｛an｝滿足％=2，。九+i=an+伍(1+，)，求a6

【解析】由條件知：a7H.i-/1=)(1+，)="手二仇(九4-1)-Inn

???n>2時(shí)

，an—an_t=Inn—ln(n—1)

an-i-an-2=in(n-1)-ln(n-2)

<a4—a3=ln4—ln3'

=

a3—a2/幾3—ln2

<。2—Qi=ln2—Ini

把以上ri一1個(gè)式子累加得冊(cè)-a1=Inn-Ini=Inn,

???0^=611+Inn=Inn+2(n>2),

%=2也滿足an=Inn+2,

:.an=Inn+2(nGN*).

【典題2】已知數(shù)列滿足an+i=+2x3"+l,4=3,求數(shù)列｛Q工的通項(xiàng)公式.

rl

【解析】由Qn+i=Qn+2x3+1得心+1-an=2X3久+1

??.n>2時(shí)，

an=(an一an-l)+Can-1-an-2)+…+(a3-a2)+(。2-)+al

=(2x3nT+1)+(2x3n-2+1)+…+(2x32+1)+(2x31+1)+3

n1n

=2(3-+3-2+…+32+31)+(n-一+3

3(1-3nT)

=2</+(…)+3

i-j

=3n+n—1

n

而=3也滿足Qn=34-n—1?

n

Aan=3+n—1(n6N*).

鞏固練習(xí)

I(★)數(shù)列｛an｝滿足的=3,an+1-an=2n-8(n6N"),則他=

【答案】3

【解析】數(shù)列｛&J中，Q1=3,0n+1-Q九=2幾一8(neN*),

an-。九_(tái)1=2n_10,

CLn-i—Qn—2=2n-12,

a3—a2=-4,

a2-Qi=-6>

(九一】)[一九-

/.an—%=—6—4—...+(2n—12)+(2n—10)=6；(2io)]=(九一1)(九—8),

??

?an=(n—l)(n—8)+3,

??€LQ—3.

2(**)將正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)陣.根據(jù)這個(gè)排列規(guī)則，數(shù)陣中第20行從左至右

的第3個(gè)數(shù)是.

1

47

101316

19222528

3134374043

【答案】577

【解析】設(shè)各行的首項(xiàng)組成數(shù)列{Q},則。2一%。3一。2=

n=3,6,…,an—an-i=3(n—1)

疊加可得：an—%=3+6+…+3(n—1)=辿尸2

3…t)+],

3X20X19,.

*?。20=~F1=571

???數(shù)陣中第20行從左至右的第3個(gè)數(shù)是571+2x3=577

故答案：577.

3(★★)已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足%=|,an+1=an+總求

【答案】Q…

【解析】由條件知：an+1-an=^=-^—=

1n2+nn(n+l)nn+1

1111111

????Q]=1-]，%一02=2-3*a4-a3=§-“…，Qn-1-an-2=九二2一71—]，%1一。〃一1

11

~-------------

n—1n

把以上n-l個(gè)式子累加得到

4(★★★)已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn，Sn+an=n+2,nGN\

(1)證明：數(shù)列｛an-l｝為等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛匕｝滿足：an=%+i—%+l，瓦=1,證明:bn<2.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】⑴???數(shù)列①｝的前n項(xiàng)和為%,Sn+an=n+2,n&N\

n之2時(shí)，Sn_x+an_j=n+1,

兩式相減得2%,—an_!=1,n>2,

-2(a—1)=a-i-1>(n>2),???=(n>2),

nna廣n-l：-12

乂S]+=3,

-1=：R0,???數(shù)列｛an-1｝是首項(xiàng)為右公比為[的等比數(shù)列.

(2)由⑴知：M一1=聯(lián)，得&=1+表，

,,,即-1=bfi+l—"n=

h

?1?b”=瓦+(b2-與)+(b3-b2)H---F(6n-^n-i)=1+：+喜---

【方法四】累乘法

適用范圍：遞推式為an+1=/（n）an.

方法：得到皿=f（7l）,利用累乘的形式求出Q.

ann

【典題1】已知｛an｝中，滿足的=1,an=%+2a2+3%+…+（九一1）即-1（九22）,求an.

【解析】由已知，得an+i=Qi+202+3。3+…+5-1)%IT+nan,

用此式減去已知式，得

當(dāng)日之2時(shí)，an+i—an=nan>即冊(cè)+1=。1+1)an=?=n4-1,

又。2==1,

(-^=n

an-i

^=n-l

an-2

色=3

a2

%=2

IQl

將以上？1一1個(gè)式子相乘，得色=?(n>2),

Q12

????n=V("N2),

1,n=1

A%=惇,nN2-

【典題2］設(shè)數(shù)列｛即｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+l)a"i—n碌+an+1an=0,求通項(xiàng)公式即

【解析】由(m+1)成+i—九嫌+冊(cè)+iQn=0,

可得n(成+1-成)+(碌+1+Qn+g)=0，

即有n(On+ian+1+an)+an+1(an+1+an)=0,

即有［S+l)an+i-九即］Sn+i+Q九)=0

由｛即｝是正項(xiàng)數(shù)列，可得(幾+1)QTI+I=幾冊(cè)=Qn+i=三7。小

4=1也滿足

**?Q"=-?71€N?

n

鞏固練習(xí)

1(★★)已知數(shù)列的,也，也，…，工是首項(xiàng)為8,公比為;的等比數(shù)列，則等于

%a2an-i2

【答案】64

【解析】數(shù)列的，血，自，…，衛(wèi)?是首項(xiàng)為8,公比為1的等比數(shù)列，

?n-i2

則￡=8X(|)3=1.

ax—x—x—=8x4x2x1=64.

4=aiQ1。2%

2(★★)在數(shù)列｛a｝中，=a=1,a=2,且數(shù)列｛皿｝為等比數(shù)列，則％=―

nai23an

■(n-2)(n-i)

【答案】2—2-

【解析】由題意可得，%=1,歿=2,

ala2

故數(shù)列｛皿｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

an

所以皿=2廣1即上=2時(shí)1x3=2n-2,

anan-i2

"=1,些=2,...工=2"?

aia2an-l

以上n—l個(gè)式子相乘可得，=1x2x22x...x2n-2=21+2+-+n-2=2—；—.

的

(71-2)5-1)

故答案為：2—2—.

3(★★)已知a1=3,即+1=張|④1(7121),求斯.

【答案】3舟

w4-Ca3c3—13x2-13(7l—2)—13(zi—1)—16

n1

aia2an-13+23x2+23(n-2)+23(n-l)+23n-l

4(★★)已知%=1,an=n(an+1-an)(neN*),求數(shù)列｛an｝通項(xiàng)公式.

【答案】an=n

【解析】an=n(%+i-an),.-.吃=等，

an71

又有即=dj,—?—=1X-X-X...X——=n,

“aja2Hn-i12n-1

當(dāng)n=1時(shí)a1=1,滿足％=n,?1?an=n.

【方法五】構(gòu)造法

對(duì)于一些不是等差等比數(shù)列的數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，通過構(gòu)造等差或等比數(shù)列來求其通項(xiàng)公式是一種很好的

思路，其中的情況多樣，方法有待定系數(shù)法、階差法、取倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法等.我們要理解其中構(gòu)造的技巧，

做到舉一反三.

情況1遞推公式為cin+1=pan+q(p,q為常數(shù)，pH1,pq0)

待定系數(shù)法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：a+t=p(a+t),其中t=V，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列｛冊(cè)+

n+1nPT

t｝求解；

a

逐項(xiàng)相減法(階差法)：由即+1=p?n+q得出1=Pn-1+q，兩式相減得％1+1-=p(an-an-i)-BP｛an+1-

%｝是等比數(shù)列，再用累加法求解.

【典題1】已知數(shù)列｛。九｝中，%=1,an+1=2an+3,求an.

【解析】方法一待定系數(shù)法

設(shè)遞推公式an+i=2an+3可以轉(zhuǎn)化為+t=2(即+t)(￡是個(gè)常數(shù))，

即Q九+i=2a月+t,

與已知條件Qn+i=2冊(cè)+3比較可知￡=3,(比較系數(shù)可求參數(shù)t)

故遞推公式為每+i+3=2(an+3),

所以｛a九+3｝是首項(xiàng)為4+3=4,公比為2的等比數(shù)列，(構(gòu)造等比數(shù)列)

則冊(cè)+3=4x2nT=2n+L

n+1

??.0n=2—3.

方法二逐項(xiàng)相減法

???。八+1=2Q〃+3,?'?—2。八一1+3

兩式相減得冊(cè)+i-an=2(an-an,1)(n>2)

二數(shù)列｛an+i-Qn｝是以。2-&=5-1=4為首項(xiàng)，公比q=2的等比數(shù)列，(構(gòu)造等比數(shù)列)

n

an+1-an=2+1，(形如冊(cè)+i-。月=/(n)用累加法)

???an+l=(an+l-an)+(an-an-l)+…(。2一。1)+al

=2n+1+2n+…+4+1=2n+2-3

n

:.an=2+i—3.

情況2遞推公式為0n+i=pa九+/m+b(p,/c為常數(shù)，pWl,pk0)

Aa

待定系數(shù)法：an+1=pan++b可化為冊(cè)+i+Ax(n+1)+%=[n+入1九+乙]的形式，得到等比數(shù)列

｛an+Xxn+%｝求出Qn.

a

逐項(xiàng)相減法(階差法)：由Qn+1=Pn+k九+匕得a九=pan-i+k(n-1)+b,兩式相減得an+i-Qn=p(an-

an_x)+k,即令%=/i+i-QTI得bn=pbn_i+k,再用遞推公式形如Qn+i=pan+q的方法求解.

【典題1】設(shè)數(shù)列｛an｝：%=4,61n=3an_i+2九一1(九Z2),求an.

【解析】方法一待定系數(shù)法

令a九+Xrn+&=3[an_i+A(n—1)+A2]

化簡得:an=3冊(cè)—1+22/+2%-3人

與已知條件an=3an_i+2n—1比較系數(shù)，

所以解得IM;,(比較系數(shù)可求參數(shù)兒，冬)

所以即+n+1=3(即_1+n)

數(shù)列｛an+n+1｝是以%+2=6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

n-1

???an+n+1=6X3=2x3”,

n

an=2x3—n—1.

方法二逐項(xiàng)相減法(階差法)

an=3冊(cè)_1+2n-l(n>2)@an+1=3an+2n+1②

a=

由②—Q)得an+i~n3(a〃—an-i)+2

令=冊(cè)+1-an,則b=3%_1+2(回歸遞推公式形如即=POn-i+<7的形式)

???bn+l=3(b"_i+1)

???數(shù)列｛b+1｝是以首項(xiàng)瓦+1=a2-^+1=15-4+1=12,公比q=3的等比數(shù)列，

n_1nn

則+1=12x3=4x3=>bM=4x3-1

n

???an+1-an=4x3-l

?n+l=(即+1—an)+(,an~an-l)+…(。2—al)+?1(累加法)

=(4x3n-1)+(4x371T-l)+-+(4x31-l)+4

=2x3n+1-n—2

an=2x3"—n—1.

【點(diǎn)撥】二種方法比較還是待定系數(shù)法過程顯得簡潔些，形如與+1=pan+q和即+1=pan+kn+b都可用

待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求斯，那是否形如冊(cè)+1=pan+/(n)都可行呢？那形如“冊(cè)+i=pan+二次函數(shù)”

2

如何？試試題目：已知的=6,an+1=2an-n+n+2,求答案：an=+/+n).

情況3遞推公式為a”=-^4-(p,q,t為常數(shù))

t?an_1+c

取倒數(shù)法：遞推公式兩邊取倒數(shù)，工=竺叱1竺=2+J_L,令b=工，若p=3則問題b是等差數(shù)列；

anpan-1PP?n-lanL

若pKt,問題轉(zhuǎn)化為遞推公式為：an+i=p1an+q1的方法處理.

【典題1】已知數(shù)列｛斯｝中，%=1，即=45；522),求通項(xiàng)公式的.

5。九—1+2

兩邊取倒數(shù)，得：-=^^=2--+5

anan-lan-l

令砥=:，則匕=2bn-i+5

an

???%+5=2(%1+5)

???數(shù)列區(qū)+5｝是首項(xiàng)為瓦+5=2+5=6,公比為2的等比數(shù)列，(構(gòu)造了等比數(shù)列)

al

n-1n

■-+5=6x2=3x2=>bn=3x2"-5

11

【典題2】已知｛a,J中，%=1,Sn是數(shù)列的前71項(xiàng)和，且Sn+i=V%(n-1)，求a%

【解析】遞推式%+1=缶

(可利用取倒數(shù)法求出數(shù)列｛Sn｝的通項(xiàng)S”，再用小與S”的關(guān)系式求an)

兩邊取倒數(shù)可變形為「一=3?白+4(1)

則有9+2=3(白+2).

3n+l3n

故數(shù)列｛《+2｝是以5+2=3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

snS1

.?--+2=3-3"T=3%;S=；

nn

Sn3-2

，,n2,

-“八=Sn-Sn_i=-布與二筋彘》記R

(1，(九=1)

所以數(shù)列｛@n｝的通項(xiàng)公式是即=j-2.3n..

(32"—8,3九+12，5-N)

nn

情況4遞推公式為冊(cè)+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù)，pq(p-l)(q-1)。0).(或a九+i=pan4-rq，其

中p,q,r均為常數(shù)).

方法一在原遞推公式兩邊同除以好+i,得需=巳?餐+匕令“=甘，得%+1=B力+巳再待定系數(shù)法解決;

qqqqqqq

方法二在原遞推公式兩邊同除以p"+】，得：豁=黃+;《廣令%=自得垢+1=%+1(3"再用累

加法求解；

n+1n71

方法三待定系數(shù)法^an+1+Aq=p(an+Xq),通過比較系數(shù)，求出；I,構(gòu)造出等比數(shù)列｛斯+Aq｝再

求解，此時(shí)要求pRq,否則該法失效.

【典題1］已知數(shù)列｛0｝滿足的i+i=2an+4x3",%=9,求數(shù)列｛%；｝的通項(xiàng)公式.

【解析】方法一（兩邊同除以P+1）

an+1=2an+4x3”兩邊同除以3"】,得黑=,一+%

（轉(zhuǎn)化為遞推公式為a“+i=pan+q的情況）

令*=引則匕+i=|匕+%

???匕+1-4=2萍-4）

?/一4=（瓦一4）.（|廣=一（|廣:勾=4一（|廠

a?=4-3n-3-2n-1.

方法二（兩邊同除以2"i）

展】=2an+4x3n兩邊同除以2"i,得貌=愛+2?,

令bn=愛,則為+1=bn+2?仔）,

???bn=（bn-hn-i）+（bn-i-%々）+…（小一瓦）+瓦（累加法）

=2?（廣+2?（曠"-+2?+*.（曠—（n.2）

???瓦=［也滿足上式

n1

-bn=6-（|）-|（neN）,

nnn-1

an=2-bn=4-3—3-2.

方法三待定系數(shù)法

nn

設(shè)%+i+A-3"i=2（an+X-3）,化簡得冊(cè)+i=2an-A-3,

與已知條件的+1=2即+4x371比較可知2=-4,

nn

則斯+i-4-3+T=2（an-4-3）

n

an-4-3=（a1-12）-2“T=-3-2時(shí)】，

nn-1

an=4-3-3-2.

【點(diǎn)撥】方法技巧主要都是體現(xiàn)在通過構(gòu)造等差等比數(shù)列和把問題轉(zhuǎn)化為前面“已知模型”去.

情況5遞推公式為a”+i=p嫉型

方法?對(duì)數(shù)變換法：該類型是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類型，然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等比

數(shù)列求出通項(xiàng).

兩邊取對(duì)數(shù)得

lga-n+1=S（pa。）=Iga-n+i=Igp+rlgan

設(shè)bn=lgan

二原等式變?yōu)?+i=rbn+Igp即變?yōu)榛拘?

方法二迭代法，反復(fù)迭代使用an+i=pa=一直推到句,

rr+1r+12r2+r+1

an=paJi-1=P（pan-2）=P?n-2=P（pa?-3y=Pfln-3=-=/（rjaf*.

【典題1]設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝滿足%=1，an=3碌一式n>2）,求通項(xiàng)公式a”.

【解析】方法一對(duì)數(shù)變換法

?n=3W_i（n>2）

將等式兩邊取對(duì)數(shù)得log3an=1+2log30n_]=>log3+1=2（log30n+1）

（為了計(jì)算簡便取對(duì)數(shù)log3X）

則｛嗨％+1｝是以log3al+1=1為首項(xiàng),公比為2等比數(shù)列，

10g3On+1=2"T,

21-1

:.an=3".

方法二迭代法

lilan=3a^_1（n>2）可迭代得

2224

an=3忌_]=3（3a^_2）2=3-3a^2=3-3（3a^_3）2=3.32.3a^3=

=3?32?34?,32n-2ar-1=32"-1-1.

（在迭代的過程中，逐一保持“原始數(shù)值”，找到數(shù)值變化的規(guī)律，比如指數(shù)與下標(biāo)的關(guān)系之類的）

鞏固練習(xí)

1(★★)數(shù)列｛即｝中，%=1,即+1=與缶6N*),則上是這個(gè)數(shù)列的第____項(xiàng).

an+NlU1

【答案】100

【解析】由即+i=/(neN*),兩邊取倒數(shù)可得：—=-+i,即二――-=i

Qn+2、'an+lan2an+1an2

數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，

an

..._L=±+(n-1)d=1+^=-

令三=三，解得n=100-

101n+1

???總是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).

★★若數(shù)列｛。九｝中，的=且冊(cè)+(九是正整數(shù))，則它的通項(xiàng)公式是

2()31=Wan=.

【答案】

Qn=322

【解析】由題意知a>0,將a+i=成兩邊取對(duì)數(shù)得匈與+1=2lga,即警出=2,

nnnigan

所以數(shù)歹iJUga"是以e%=Zg3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

n-12nl即時(shí)=2?，1

lgan=Iga1?2=lg393.

★★已知數(shù)列｛｝滿足%=，味1求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式.

3()anIQn=3+l(?iZ2,nGAf*).

【答案】n

an=3-1

【解析】數(shù)列｛｝滿足的=|,即=即_整理得斯_+》,

an31+1,0n+,=3(1

設(shè)%=即+%所以數(shù)列列｛%｝為是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

???bn=3n則a”=%—；3"一|.

★★已知數(shù)列｛七｝中，當(dāng)時(shí)，牛=求通項(xiàng)公式

4()nN2二;,at=1,a%

3an_i+i

【答案】…表

【解析】即=缶

兩邊取倒數(shù)得-=^^=3+—,—=3-^-|+1=3+—

anan-lan-lnn(1

unun-\un-\

｛上｝是等差數(shù)列,

0n

...±=±+3(n-l)=3n-2.?./=*

5(★★)已知數(shù)歹ij｛a?｝滿足%=p%i+i=3an-4n+2.求通項(xiàng)公式即.

n2

【答案】an=3-+2n

【解析】???Qn+1=3an—4n+2，???an+i—2n—2=3an—6n,

即0n+1—2(n4-1)=3(an—2n).

7i

—2=可—2=于???Q"-2nH0,

.?.數(shù)列｛斯-2n｝是首項(xiàng)為/公比為3的等比數(shù)列.

nn2

:.an—2n=□x3t，:.an=3-+2n.

已知數(shù)列｛冊(cè)｝中，al=an+l=+(；)，求0

6(**)O3\Z/n.

【答案】an=3-gy_2-G)n

【解析】On+i=3?n+Q，

n+1n

兩邊乘以2"1得：2an+1=1(2an)+l

令b=2nOn，則b+1=|b+1,解之得：兒=3-2.(|)

所以即=票=3,(丁一2?(丁

7(★★)數(shù)列｛5｝前n項(xiàng)和S.=4-an-泰.求通項(xiàng)公式a%

【答案】每=合

【解析】由Sn=4-即一￡工得：Sn+1=4-的1+1—，二

a

于是Sn+l-Sn=(an-n+l)+(白一/)

所以a?i+l=(an-an+l)+"an+l=之。我+7?

nnn171

兩邊同乘以2得，2an+1=2-an+l,則20n+1―2n-1的=1,

｛2-1即｝是公差為1的等差數(shù)列，

Sn=4—an—當(dāng)n=l時(shí)，Si=4—%—2,[%=1,

n-1

???2an=1+1-(n-1)=n,?-an=

8(★★★★)已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足劭=1,an+1=|an(4-an)fnEN.

(1)證明。九<an+1V2,71EN(2)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式%

【答案】⑴見解析(2)an=2+b=2-弓)2口1

1Q

【解析】(1)1°當(dāng)n=1時(shí)，即=1,的=2%(4—即)=2，

***CLQ<6Z]<2,命題正確.

2°假設(shè)n=k時(shí)有a"i<ak<2.

則n=k+l時(shí)，ak~ak+1=|ak_i(4-afc_x)-1ak(4-ak)

=2(a/c-i-a/c)-1(afc_i一或)

1

=2(afc-i—aQ(4—a/c-i一仇).

而以一1一Q/cV0，4—Qk一1一Qk〉0,二Q^—Qk+i〈0.

[12

又以+1=2以(4-afc)=2[4.?12)]<2

n=fc4-1時(shí)命題正確.

由1°、2°知，對(duì)一切?i€N時(shí)有anVQ九+iV2.

11/、2

(2)Q幾+1=2每(4—即)2)+4],

2

所以2(0n+i-2)=-(an—2)

22221+2++2

令b“=an-2,則既=-1bn-i=-1(-1/?n-2)=-1(1)^n-3=…=~(1)">

又b()=—1,所以匕=一8)2"-1,即即=2+%=2-8)2"T.

【方法六】分般奇偶討論法

在有些數(shù)列問題中，有時(shí)要對(duì)71的奇偶性進(jìn)行分類討論以方便問題的處理.

形如斯+1+an=f(n)型

(1)若%+1+%1=或4是常數(shù))，則數(shù)列｛即｝為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2,其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和

偶數(shù)項(xiàng)來討論.

(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時(shí)，方法一是構(gòu)造轉(zhuǎn)化為即+1-即=/(71)型，再通過累加法來求出通項(xiàng)；方法

二是用逐差法得an+i-an_i=/(n)-f(n-1),分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論.

【典題I】數(shù)列｛%｝中,%=0且％+%+1=2n,求通項(xiàng)公式.

【解析】方法一構(gòu)造轉(zhuǎn)化為即+1-%=/(X)型

n

令bn=(-l)an

+1n+1

則%+in=(-iran+1-(-l)?an=(-1嚴(yán)1(聯(lián)1+an)=(-l)-2n

(成功把遞推公式轉(zhuǎn)化為a“+i-an=/(n)型，接著用累加法)

n>2時(shí)，得

n

bn-bn-1=(-l),2(n-1)

bn-匕_2=(一D"T'2(n-2)

2

b2-b1=(-1)-2

把以上n—1個(gè)等式累加得，

n2

bn=2[(-l)-(n-1)+(-I)一】?(n-2)+-??+(-1)](出現(xiàn)(—1)”可分n奇偶數(shù)討論)

①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，

bn=2{[-(n-1)+(n-2)]+…+[-2+1]}(*)

=2x[(—1)+…+(-1)]=2?(-1x=l—n,

(注意到和式(*)中共有項(xiàng)，當(dāng)n是奇數(shù)，每相鄰兩個(gè)數(shù)之和為-1,共有一組)

此時(shí)匕=-an,則即=n-I；

%=0也滿足上式，故當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an=n-1：

②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，由與+an+1=2n得出1=2n-an+1=2n-n=n；

(求出n是奇數(shù)時(shí)an=nT,再利用已知條件=2n求出n是偶數(shù)時(shí)的小,不對(duì)和式(*)討論，這會(huì)

簡單些)

_(n-l,n為奇數(shù)

0n=In,兀為偶數(shù).

方法二逐差法

+fln+1=2n

???n>2時(shí)，cin-i+an=2n-2

兩式相減得On+1-an-i=2

ax,a3,a5構(gòu)成以巴=0為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；

a2,a4，a6，…，構(gòu)成以a2=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；

???a2k-i=%+2(k-1)=2k-2=(2fc—1)—1,

a2k=02+2(k—1)=2fc

(對(duì)奇數(shù)項(xiàng)。2仆1和偶數(shù)項(xiàng)。2人用等差數(shù)列公式求出表達(dá)式)

故冊(cè)4nT，江為：?.(最后還是要用n表達(dá)回的)

In,n為偶數(shù)

形如即。?+1=/(n)型

(1)若與即+1=d(d是常數(shù))，則數(shù)列｛冊(cè)｝為“等積數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2,其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和

偶數(shù)項(xiàng)來討論.

(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時(shí)，可用逐商法得皿=興？分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論.

一1/\Tl1)

【典題1】已知數(shù)列｛即｝中，的=1且即即+1=2-&)",求通項(xiàng)公式.

/l、7lzix71+1

【解析】由冊(cè)冊(cè)+1=2,(J及％1+1。九+2=2，,

兩式相除，得皿=：,(逐商法)

an4

則內(nèi),的，…，31.1，…和。2，@4，…，Q2n，…是公比為［的等比數(shù)列，

乂=1,。2=a，

則。2&-1=al-0=4~k,即71為奇數(shù)時(shí)，冊(cè)=21-n;

k-112k

a2k=a2-g)=2-,即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即=2】、；

綜合得即=21F.

鞏固練習(xí)

1(★★★)已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和S"滿足Sn-Sn_2=3?(-J(n>3),且?=1,

S2=—|,求數(shù)列｛a“｝通項(xiàng)公式.

4-3-(j),n為奇數(shù)

【答案】an=

一4+3為偶數(shù)

【解析】依題意易求%=1,a2=-|,a3=j

S吁2=