新高考數學三輪沖刺通關練習10 導數（易錯點+九大題型）（原卷版）

秘籍10導數目錄【高考預測】概率預測+題型預測+考向預測【應試秘籍】總結?？键c及應對的策略【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點易錯點：對數單身狗、指數找基友【搶分通關】精選名校模擬題，講解通關策略【題型一】公切線求參【題型二】“過點”切線條數【題型三】切線法解題【題型四】恒成立求參【題型五】能成立求參【題型六】零點與隱零點【題型七】雙變量問題【題型八】構造函數求參【題型九】極值點偏移概率預測☆☆☆☆☆題型預測選擇題、填空題、解答題☆☆☆☆☆考向預測導數構造導數在新結構試卷中的考察重點偏向于小題，原屬于導數的壓軸題有所改變，但導數在高考中的考察依然屬于重點，題型很多，結合的內容也偏多，比如常出現的比較大小和恒成立問題等都結合著構造函數的思想，而如何構造就需要學生對出題人的出題思路再根據構造函數的思維從而進行推理，是不簡單的知識點。易錯點：對數單身狗、指數找基友在處理含對數的等式、不等式時，通常要將對數型的函數“獨立分離”出來，這樣再對新函數求導時，就不含對數了，從而避免了多次求導.這種讓對數“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程，俗稱之為“對數單身狗”.目標希望是這樣的：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；在處理含指數的等式、不等式時，通常要將指數型函數與其它函數（乘或除）結合起來，這樣再對新函數求導時，就避免了多次求導.俗稱之為“指數找朋友”或“指數常下沉”.乘法：SKIPIF1<0；除法：SKIPIF1<0.例已知當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是．變式1：已知函數SKIPIF1<0．⑴當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；⑵若當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【題型一】公切線求參(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數f(x)的導數f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組SKIPIF1<0得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．【例1】（2023·山西·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0若對任意SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0處的切線互相平行或重合，則實數SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例2】（2024·全國·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0的圖象上存在不同的兩點SKIPIF1<0，使得曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線都與直線SKIPIF1<0垂直，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2024·全國·模擬預測）曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線與曲線SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的值為.【變式2】（2024·四川瀘州·三模）設函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函數SKIPIF1<0的單調區(qū)間；(2)若總存在兩條直線和曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都相切，求SKIPIF1<0的取值范圍.【變式3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0.(1)求曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公切線的條數；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【題型二】“過點”切線條數導數運算及切線的理解應注意的問題：一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．【例1】（2024·山西呂梁·二模）若曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線過原點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【例2】（2024·北京海淀·一模）已知SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0的零點個數為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切的直線的條數為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值分別為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2024·全國·模擬預測）若曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）有兩條過坐標原點的切線，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線SKIPIF1<0的切線，則切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【題型三】切線法解題涉及到交點或者零點的小題題型，函數圖像通過求導，大多數屬于凸凹型函數，則可以用切線分隔（分界）思維來求解。切線，多涉及到“過點”型切線，【例1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0的圖象在點SKIPIF1<0處的切線與直線SKIPIF1<0垂直，求SKIPIF1<0的值;(2)討論SKIPIF1<0的單調性與極值.【例2】（2024·全國·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0，且曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0．(1)求實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)證明：函數SKIPIF1<0有兩個零點．【變式1】（2024·四川攀枝花·三模）已知函數SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)設函數SKIPIF1<0的導函數為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【變式2】（2024·廣東深圳·二模）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的導函數，且SKIPIF1<0．(1)若曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線為SKIPIF1<0，求k，b的值；(2)在（1）的條件下，證明：SKIPIF1<0．【題型四】恒成立求參不等式的恒成立求參數問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數SKIPIF1<0恒成立(SKIPIF1<0即可)或SKIPIF1<0恒成立（SKIPIF1<0即可）；②數形結合(SKIPIF1<0圖像在SKIPIF1<0上方即可)；③討論最值SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立.涉及到不等式整數解的問題時，要充分利用導數研究函數單調性，結合單調性考查整數解相鄰整數點函數值的符號問題，列不等式求解，考查運算能力與分析問題的能力.在研究函數時用導數求極值研究極值時，無法正常求出極值點，可設出極值點構造等式或者方程作分析，進行合適的等量代換或者合適的換元消元消參，考查了分析推理能力，運算能力，綜合應用能力，難度很大.【例1】（2024·全國·模擬預測）不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，則實數a的取值范圍是．【例2】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0是偶函數，不等式SKIPIF1<0恒成立，則b的最大值為．【例3】（2024·江蘇鹽城·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0．(1)討論SKIPIF1<0的單調性；(2)若不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍.【變式1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0．(1)若直線SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0交于點A，直線SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0交于點B，且函數SKIPIF1<0在點A處的切線與函數SKIPIF1<0在點B處的切線相互平行，求a的取值范圍；(2)函數SKIPIF1<0在其定義域內有兩個不同的極值點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，存在實數SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【變式2】（2024·全國·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【題型五】能成立求參對于利用導數研究函數的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．【例1】已知函數SKIPIF1<0．(1)二次函數SKIPIF1<0，在“①曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有1個交點；②SKIPIF1<0”中選擇一個作為條件，另一個作為結論，進行證明；(2)若關于x的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上能成立，求實數m的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【例2】已知函數SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)若關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上能成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．【變式1】已知函數SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；（2）若存在正實數t，使得當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0能成立，求SKIPIF1<0的值．【變式2】設函數SKIPIF1<0.（1）求在點SKIPIF1<0處的切線方程；（2）求函數SKIPIF1<0的單調區(qū)間；（3）當SKIPIF1<0時，使得不等式SKIPIF1<0能成立的實數SKIPIF1<0的取值范圍.【題型六】零點與隱零點隱零點問題是指對函數的零點設而不求，通過一種整體代換和過渡，再結合題目條件最終解決問題；極值點偏移是指函數在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數圖象不具有對稱性，隱零點與極值點偏移問題常常出現在高考數學的壓軸題中，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量較大，難度大．解題思路：(1)用函數零點存在定理判定導函數零點的存在性，列出零點方程f′(x0)＝0，并結合f′(x)的單調性得到零點的取值范圍．(2)以零點為分界點，說明導函數f′(x)的正負，進而得到f(x)的最值表達式．(3)將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡證明，有時(1)中的零點范圍還可以適當縮?。纠?】已知函數f(x)＝(x－1)ex－ax的圖象在x＝0處的切線方程是x＋y＋b＝0.(1)求a，b的值；(2)求證：f(x)有唯一的極值點x0，且f(x0)>－eq\f(3,2).【例2】已知f(x)＝ex＋1－eq\f(2,x)＋1，g(x)＝eq\f(lnx,x)＋2.(1)求g(x)的極值；(2)當x>0時，證明：f(x)≥g(x).【變式1】已知實數a滿足a≥eq\r(e)＋eq\f(1,\r(e))－2，且函數f(x)＝lnx＋eq\f(x2,2)－(a＋2)x恰有一個極小值m和極大值M，求m－M的最大值.【變式2】已知函數f(x)＝x－alnx－1(a∈R).(1)當a＝1時，求證：f(x)≥0；(2)若x＝1是f(x)唯一的零點，求f(x)的單調區(qū)間.【題型七】雙變量問題一般地，若SKIPIF1<0時，涉及到雙變量的不等式的證明，函數的最值問題可以使用比值換元，令SKIPIF1<0，將問題轉化為關于SKIPIF1<0的函數，利用導數進行求解.【例1】（2024·廣東佛山·二模）已知SKIPIF1<0.(1)當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的單調區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【例2】（2024·廣東·二模）已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的單調區(qū)間；(2)函數SKIPIF1<0的圖象上是否存在兩點SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），使得直線SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0的圖象在SKIPIF1<0處的切線平行？若存在，請求出直線SKIPIF1<0；若不存在，請說明理由.【例3】（2024·四川·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；(2)設SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的兩個零點，求證：SKIPIF1<0．【變式1】（2024·四川德陽·二模）已知函數SKIPIF1<0，(1)當SKIPIF1<0時，討論SKIPIF1<0的單調性；(2)若函數SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【變式2】（2024·全國·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0存在零點，求a的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的零點，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知函數SKIPIF1<0為實數.(1)討論函數SKIPIF1<0的極值；(2)若存在SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【題型八】構造函數求參1.構造函數法求解函數解析式，利用導數研究函數增減性，常用以下方法：（1）利用含導數方程還原原表達式需要結合導數四則運算特征，如本題中同乘SKIPIF1<0移項后就得到除法對應導數公式；（2）利用導數研究函數增減性,如遇導數不能判斷正負的情況下，往往需要再次求導，通過二階導數判斷一階導數的正負，再通過一階導數的正負判斷原函數的增減.2.幾種導數的常見構造：對于SKIPIF1<0，構造SKIPIF1<0若遇到SKIPIF1<0，構造SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0，構造SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0，構造SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，構造SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0，構造SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0，構造SKIPIF1<0【例1】（2024·浙江嘉興·二模）已知定義在SKIPIF1<0上的函數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例2】（23-24高二下·四川宜賓·階段練習）已知函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，對任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）已知SKIPIF1<0為函數SKIPIF1<0的導函數，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（23-24高二下·四川眉山·期中）已知函數SKIPIF1<0的導函數為SKIPIF1<0，對任意的正數SKIPIF1<0，都滿足SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型九】極值點偏移(1)(對稱化構造法)構造輔助函數：對結論x1＋x2>(<)2x0型，構造函數F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；對結論x1x2>(<)xeq\o\al(2,0)型，構造函數F(x)＝f(x)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通過研究F(x)的單調性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過代數變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝eq\f(x1,x2)化為單變量的函數不等式，利用函數單調性證明．【例1】（2024·湖南邵陽·一模）已知函數SKIPIF1<0.(1)討