《復(fù)數(shù)的幾何表示》教學(xué)課例

《復(fù)數(shù)的幾何表示》教學(xué)課例魏春華【教學(xué)設(shè)計】一、教材分析本節(jié)課選自高二《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2》的《復(fù)數(shù)的幾何表示》，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念和四則運算的基礎(chǔ)上，進一步讓學(xué)生感受形與數(shù)之間的和諧與統(tǒng)一。本節(jié)課主要向?qū)W生呈現(xiàn)本教材的最大特色之一是以向量為主線，把代數(shù)，幾何聯(lián)系起來，把向量引進復(fù)數(shù)體系，通過引進復(fù)數(shù)的向量表示，再由向量的加減法的幾何意義順理成章的獲得復(fù)數(shù)加減法的幾何意義其中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想。本節(jié)課的教學(xué)指導(dǎo)思想是努力挖掘教材的內(nèi)涵美妙之處，充分發(fā)揮其功能，復(fù)數(shù)的概念來自數(shù)學(xué)內(nèi)部對運算與解方程的需要，它的幾何表示則來自數(shù)形結(jié)合思想與坐標(biāo)方法，這使得復(fù)數(shù)必然奠基于代數(shù)中運算、方程、直角坐標(biāo)系、集合等知識之上，而且必然與平面幾何、平面解析幾何之間有著密切的聯(lián)系．這不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示及其加（減）運算，與向量、向量的坐標(biāo)表示及其加（減）運算完美地統(tǒng)一了起來．使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)知識發(fā)生與發(fā)展過程中的思想方法和數(shù)學(xué)的和諧美、簡潔美，培養(yǎng)精益求精的治學(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。二、教學(xué)目標(biāo)（一）知識與能力：1．了解復(fù)平面的概念，理解復(fù)數(shù)z=a+bi兩種幾何表示：點P(a,b)及向量；2．了解復(fù)數(shù)加減法運算的幾何意義；3．了解共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的定義，并會簡單的運用；（二）過程與方法：通過復(fù)數(shù)運算的幾何表示，復(fù)數(shù)加法與減法運算的幾何意義的學(xué)習(xí)認(rèn)識過程，讓學(xué)生感受形與數(shù)之間的和諧與統(tǒng)一，體會思考問題的方式和方法，提高實踐動手操作能力。（三）情感、態(tài)度與價值觀：通過對復(fù)數(shù)的代數(shù)語言與幾何語言相互轉(zhuǎn)換的情境學(xué)習(xí)，體會解決復(fù)數(shù)問題的手段，培養(yǎng)學(xué)生用于創(chuàng)新的精神。三、教學(xué)重點與難點重點：1．復(fù)數(shù)的幾何表示點P(a,b)及向量2．復(fù)數(shù)加（減）法運算的幾何意義難點：1．復(fù)平面概念的建立2．復(fù)數(shù)加（減）法運算的幾何意義四、教學(xué)方法通過類比啟發(fā)學(xué)生的思維，探究復(fù)數(shù)的幾何表示，運用轉(zhuǎn)化的思想解決問題。五、教學(xué)過程【創(chuàng)設(shè)問題情景】在之前的學(xué)習(xí)過程中我們對復(fù)數(shù)的相關(guān)概念已經(jīng)有了一定的了解，知道復(fù)數(shù)可以分為實數(shù)與虛數(shù)，而實數(shù)可以由一條數(shù)軸上的點來表示。比如我們?nèi)∫粭l規(guī)定了方向的直線，在直線上取定一點o作為原點，取定一個單位長，則這條直線便成為一條數(shù)軸，而每個實數(shù)由數(shù)軸上的唯一一個點P來表示，當(dāng)記為沿著數(shù)軸的正方向，長度等于單位的向量，則數(shù)軸上的點P與它所表示的實數(shù)的關(guān)系為，也就是說：每個實數(shù)都可以用平行于數(shù)軸的向量來表示一一對應(yīng)實數(shù)點P(a,b)一一對應(yīng)一一對應(yīng)平面向量師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念．什么是復(fù)數(shù)？生：形如a＋bi的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（學(xué)生有不同意見，小聲議論）師：誰有補充？生：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（教師給予肯定）師：a，b∈R的條件很重要，實際上我們是用實數(shù)來定義的復(fù)數(shù)，雖然我們知道了復(fù)數(shù)的定義，但是復(fù)數(shù)對于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實數(shù)，任何一個實數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個點與它對應(yīng)，那么復(fù)數(shù)到底在哪里呢？那我們知道復(fù)數(shù)由實數(shù)和虛數(shù)構(gòu)成，那我們是否可以類比得到復(fù)數(shù)的幾何表示呢？（讓學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知識的同時引入新的問題，讓學(xué)生帶著問題開始新知識的學(xué)習(xí)。）【導(dǎo)入新課】師：從之前的學(xué)習(xí)中我們了解到根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可知，任何一個復(fù)數(shù)都可以由一個有序的實數(shù)對來唯一確定。一一對應(yīng)復(fù)數(shù)有序數(shù)對而有序數(shù)對，又像我們所學(xué)的什么呢？生：像直角坐標(biāo)系上的點。師：是的，這樣我們有可以把復(fù)數(shù)與直角坐標(biāo)系中的點一一對應(yīng)起來，一一對應(yīng)復(fù)數(shù)平面直角坐標(biāo)系中的點P(a,b)一一對應(yīng)一一對應(yīng)有序數(shù)對知識點1：復(fù)平面的概念，實軸，虛軸。例1：（1）寫出在復(fù)平面內(nèi)的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)。（2）在復(fù)平面中畫出所對應(yīng)的點P1,P2,P3,P4。（通過這兩道題，不僅鞏固了復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點之間一一對應(yīng)的關(guān)系，而且還為后面的教學(xué)打下了一個鋪墊）（二）小試牛刀1.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R）a,b須滿足什么條件，能使復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點位于：(1)x軸上(2)y軸上（不含原點）(3)第二象限(4)在直線2x+y-3=0上變式：已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限，求實數(shù)m允許的取值范圍。（通過這兩題的練習(xí)，讓學(xué)生會把復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點所在象限問題轉(zhuǎn)化成不等式的代數(shù)問題進行解決，在此灌輸給學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。）【類比】由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面的點被唯一的確定，那么由原點出發(fā)的向量也就唯一的確定了，在此我們就可以類似得到了：一一對應(yīng)復(fù)數(shù)點P(a,b)一一對應(yīng)一一對應(yīng)平面向量師：那我們回頭看剛才的例1的第二小題，請畫出這四個復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量，并根據(jù)向量模的概念求出向量的模。生：知識點2：復(fù)數(shù)的模的定義任意復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對應(yīng)的向量的模稱為復(fù)數(shù)的模，也稱為z的絕對值，記作|z|,即點P(a,b)到原點的距離。 【觀察】師：請同學(xué)們再觀察z3，z4，這兩個復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量之間有什么關(guān)系？（學(xué)生在老師的提醒下很快可以發(fā)現(xiàn)他們關(guān)于x軸對稱，兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)）知識點3：共軛復(fù)數(shù)的概念以及一些重要結(jié)論對于任意復(fù)數(shù)，如果保持實部a不變，虛部b變成相反數(shù)-b，得到復(fù)數(shù)稱為原來復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)。所以重要結(jié)論：（1）（2）（3）【自主探究】1.設(shè)Z∈C滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？(1)∣Z∣=4(2)2<∣Z∣<4通過圖形讓以及向量的運算法則讓他們認(rèn)識到復(fù)數(shù)加減法的集合意義可以由所對應(yīng)的向量的加減法來表示。知識點4：復(fù)數(shù)的加法，減法的幾何意義1.兩個復(fù)數(shù)的加法由對應(yīng)的向量的加法來表示2.兩個復(fù)數(shù)的減法由對應(yīng)的向量的減法來表示3.復(fù)數(shù)與任一實數(shù)K的乘法由對應(yīng)向量與K的乘法表示復(fù)數(shù)的運算轉(zhuǎn)化為對應(yīng)向量的運算例2、已知OPSQ為平行四邊形，若P,Q分別表示復(fù)數(shù)1+4i，4+i，M是OS,PQ的交點，PQ平行且等于于OD分別求S,D,M表示的復(fù)數(shù)。變式1：已知復(fù)平面上正方形的三個頂點A，B，C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為求第四個點D的復(fù)數(shù)變式2：已知復(fù)平面上梯形的三個頂點A，B，C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，且CD平行且等于2AB求第四個點D的復(fù)數(shù)課時小結(jié)：一、數(shù)學(xué)知識：(1)復(fù)數(shù)的兩種幾何表示(2)復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)(3)復(fù)數(shù)運算的幾何意義二、數(shù)學(xué)思想：(1)類比的思想(2)轉(zhuǎn)化的思想(3)數(shù)形結(jié)合的思想【教學(xué)片段實錄】類比學(xué)習(xí)同學(xué)們在之前的學(xué)習(xí)過程中我們對復(fù)數(shù)的相關(guān)概念已經(jīng)有了一定的了解，知道復(fù)數(shù)可以分為實數(shù)與虛數(shù)，而實數(shù)可以由一條數(shù)軸上的點來表示。比如我們?nèi)∫粭l規(guī)定了方向的直線，在直線上取定一點o作為原點，取定一個單位長，則這條直線便成為一條數(shù)軸，而每個實數(shù)由數(shù)軸上的唯一一個點P來表示，當(dāng)記為沿著數(shù)軸的正方向，長度等于單位的向量，則數(shù)軸上的點P與它所表示的實數(shù)的關(guān)系為，也就是說：每個實數(shù)都可以用平行于數(shù)軸的向量來表示一一對應(yīng)實數(shù)點P(a,b)一一對應(yīng)一一對應(yīng)平面向量師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念．什么是復(fù)數(shù)？生：形如a＋bi的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（學(xué)生有不同意見，小聲議論）師：誰有補充？生：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（教師給予肯定）師：a，b∈R的條件很重要，實際上我們是用實數(shù)來定義的復(fù)數(shù)，雖然我們知道了復(fù)數(shù)的定義，但是復(fù)數(shù)對于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實數(shù)，任何一個實數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個點與它對應(yīng)，那么復(fù)數(shù)到底在哪里呢？(生好奇)那我們知道復(fù)數(shù)由實數(shù)和虛數(shù)構(gòu)成，那我們是否可以類比得到復(fù)數(shù)的幾何表示呢？（生好奇）【導(dǎo)入新課】師：從之前的學(xué)習(xí)中我們了解到根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可知，任何一個復(fù)數(shù)都可以由一個有序的實數(shù)對來唯一確定。一一對應(yīng)復(fù)數(shù)有序數(shù)對而有序數(shù)對，又像我們所學(xué)的什么呢？生：像直角坐標(biāo)系上的點。師：是的，這樣我們有可以把復(fù)數(shù)與直角坐標(biāo)系中的點一一對應(yīng)起來，一一對應(yīng)復(fù)數(shù)平面直角坐標(biāo)系中的點P(a,b)一一對應(yīng)一一對應(yīng)有序數(shù)對（師演繹課件）知識點1：復(fù)平面的概念，實軸，虛軸。師：我們把這個用直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的這個平面叫做復(fù)平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸例1：（1）寫出在復(fù)平面內(nèi)的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)。（2）在復(fù)平面中畫出所對應(yīng)的點P1,P2,P3,P4。（通過這兩道題，不僅鞏固了復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點之間一一對應(yīng)的關(guān)系，而且還為后面的教學(xué)打下了一個鋪墊）(學(xué)生動手練習(xí)，老師巡視)師：由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面的點被唯一的確定，那么由原點出發(fā)的向量也就唯一的確定了，在此我們就可以類似實數(shù)得到了：(師演繹課件)一一對應(yīng)復(fù)數(shù)點P(a,b)一一對應(yīng)一一對應(yīng)平面向量【教學(xué)反思】本節(jié)課的教學(xué)指導(dǎo)思想是努力挖掘教材的內(nèi)涵美妙之處，充分發(fā)揮其功能，復(fù)數(shù)的概念來自數(shù)學(xué)內(nèi)部對運算與解方程的需要，它的幾何表示則來自數(shù)形結(jié)合思想與坐標(biāo)方法，這使得復(fù)數(shù)必然奠基于代數(shù)中運算、方程、直角坐標(biāo)系、集合等知識之上，而且必然與平面幾何、平面解析幾何之間有著密切的聯(lián)系．所以學(xué)習(xí)這部分知識，將是對代數(shù)、平面幾何、平面向量、平面解析幾何中有關(guān)內(nèi)容的一次復(fù)習(xí)、鞏固和應(yīng)用．復(fù)數(shù)的加法、減法運算還可以通過向量加法、減法的平行四邊形成三角形法則來進行，這不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示及其加（減）運算，與向量、向量的坐標(biāo)表示及其加（減）運算完美地統(tǒng)一了起來．使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)知識發(fā)生與發(fā)展過程中的思想方法和數(shù)學(xué)的和諧美、簡潔美，培養(yǎng)精益求精的治學(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。這節(jié)課的課題是：類比探究，自主學(xué)習(xí)，想讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了類比推理的情況下從已有的舊知識類比得到今天的新知識。通過類比實數(shù)的幾何性質(zhì)來得到復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)。本節(jié)課設(shè)計的亮點：1．新的課改理念倡導(dǎo)學(xué)生的“合作探究”意識與教師的“開放式”教學(xué)意識，在這兩種基本理念下，在教師引導(dǎo)下由學(xué)生自己去添加條件或改變條件演變成新的題情，環(huán)環(huán)相扣，步步為營。2．通過PPT的演示，同學(xué)們對問題有一個較為直觀的視覺感受，從而掃清了在這一知識形成過程中的思維障礙，整個思維和知識形成過程構(gòu)成了一個完美的統(tǒng)一體。這種教學(xué)氛圍的營造，使學(xué)生在舊知識溫故中，發(fā)現(xiàn)了打開新知識寶庫大門的鑰匙。3．想達到的目的：通過師生共同探索復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、坐標(biāo)表示、向量表示及其應(yīng)用，既能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合這一重要思想，同時也能體會數(shù)系發(fā)展的必要性。在此過程中還滲透了類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。4．不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把復(fù)數(shù)、向量、解析幾何完美地統(tǒng)一了起來.本節(jié)課通過教學(xué)讓學(xué)生進一步了解了復(fù)數(shù)數(shù)系擴充的意義，知道了復(fù)數(shù)的兩種幾何表示，以及復(fù)數(shù)模和共軛復(fù)數(shù)的幾何表示，還有復(fù)數(shù)加減法的幾何表示。在整堂課的教學(xué)中我一直以類比實數(shù)的幾何表示為主線，讓學(xué)生探究得到今天所要學(xué)習(xí)的知識。實現(xiàn)了我在課題中所提到了類比探究的這部分亮點，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時比較容易接受。教學(xué)中的不足：1．我們總是在講要突出重點分散難點，可是如果不知道重點和難點具體是什么，如何采取行之有效的方法來突出重點和分散難點？最后進行課堂總結(jié)的學(xué)生對復(fù)數(shù)的幾何意義，不能夠一針見血地指出來，我問自己，這個問題有沒有復(fù)雜到學(xué)生當(dāng)堂不能夠理解記憶呢？是不是有什么方法讓學(xué)生對復(fù)數(shù)的幾何意義一目了然呢？后來我試驗了一下，z=a+bi(a,b為實數(shù))注明代數(shù)形式，而Z(a,b)和向量OZ用同色的彩筆注明幾何意義，再小結(jié)的時候?qū)W生就可以很容易得到答案了。2.課堂節(jié)奏。在這次公開課的點評中，有老師提到我的上課節(jié)奏太快，顯得很緊湊，但是顯得課容量偏大了，所以一開始也是自己怕上不完，有點趕，節(jié)奏上偏快。3．在文字語言的敘述特別是連接詞上要加強，數(shù)學(xué)語言，尤其要注重準(zhǔn)確嚴(yán)密，一針見血，要么不說，要么就說在點子上，這需要斟酌課堂上的每一句教學(xué)語言，需要長期堅持不懈的努力！【同行點評】1．本節(jié)課借助ppt課件，將原來令人難以理解的抽象的數(shù)學(xué)理論變得形象，生動且通熟易懂，同時，運用“多媒體課件