專題02 數(shù)列（考點(diǎn)串講+7熱考題型）（高教版2021·拓展模塊下冊）（解析版）

專題02數(shù)列考點(diǎn)串講考點(diǎn)串講考點(diǎn)一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列及其有關(guān)概念一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用a2表示……，第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示．其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)．?dāng)?shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．（2）數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列（3）函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．（4）數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列（5）通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．（6）數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．（7）數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))考點(diǎn)二、等差數(shù)列（1）等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式定義：一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,常用字母表示，即（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)）.等差中項(xiàng)：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)，即．等差數(shù)列通項(xiàng)公式：等差數(shù)列的判定方法：(定義法)；(中項(xiàng)法)；(通項(xiàng)法,一次函數(shù))；(和式法,其圖象是過原點(diǎn)的拋物線上的散點(diǎn)).（2）等差數(shù)列前n項(xiàng)和，（3）等差數(shù)列常用的性質(zhì)設(shè)為等差數(shù)列,公差為,則：若,則.特別地,若,則；下標(biāo)成公差為的等差數(shù)列的項(xiàng)，，，…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為；若數(shù)列也為等差數(shù)列，則，，（k，b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列；連續(xù)項(xiàng)的和依然成等差數(shù)列，即，，，…成等差數(shù)列，且公差為．考點(diǎn)三、等比數(shù)列（1）等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．（2）等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)、、成等比數(shù)列，那么稱數(shù)為與的等比中項(xiàng)．其中．（3）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首相為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（4）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式（5）等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列的公比為：若，且，則，特別地，當(dāng)時(shí)，；下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為的項(xiàng)，，，…組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為；若，是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則、、（是常數(shù)且）、、（，是常數(shù)）、、也是等比數(shù)列；連續(xù)項(xiàng)和（不為零）仍是等比數(shù)列．即，，，…成等比數(shù)列．熱考題型熱考題型類型一、數(shù)列的概念【例1】下列敘述正確的是A．與是相同的數(shù)列 B．是常數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng) D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】D【解析】數(shù)列與各項(xiàng)順序不同，不是相同的數(shù)列，故錯誤；數(shù)列是擺動數(shù)列，故錯誤；數(shù)列，通項(xiàng)，故錯誤；單調(diào)遞增，則數(shù)列是遞增數(shù)列，故正確.故選：.【例2】已知數(shù)列中，，，則的值為（

）A．5 B．6C．7 D．8【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，?故選：D.【例3】數(shù)列、、、的下一項(xiàng)應(yīng)該是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】觀察數(shù)列、、、的項(xiàng)之間的規(guī)律，可得根號下的數(shù)依次增加4，故數(shù)列、、、的下一項(xiàng)應(yīng)該是.故選：C.【變式1】下列說法錯誤的是A．?dāng)?shù)列4，7，3，4的首項(xiàng)是4B．?dāng)?shù)列{an}中，若a1=3，則從第2項(xiàng)起，各項(xiàng)均不等于3C．?dāng)?shù)列1，2，3，…就是數(shù)列{n}D．?dāng)?shù)列中的項(xiàng)不能是代數(shù)式【答案】B【解析】根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念，可知數(shù)列4，7，3，4的第1項(xiàng)就是首項(xiàng)，即4，故A正確；同一個(gè)數(shù)在一個(gè)數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故B錯誤；根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念可知C正確；數(shù)列中的項(xiàng)必須是數(shù)，不能是其他形式，故D正確．故選：B．【變式2】已知數(shù)列，，，，則數(shù)列的第五項(xiàng)為（

）A．9 B．15 C．24 D．39【答案】C【解析】因，，，則，.故選：C.【變式3】數(shù)列1，-3，5，-7，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由符號來看，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以符號滿足，由數(shù)值1，3，5，7，9…顯然滿足奇數(shù)，所以滿足2n-1,所以通項(xiàng)公式為.故選：C.類型二、已知Sn求an【例1】數(shù)列的前項(xiàng)和，則.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)上式也符合，所以.故答案為：.【變式1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（）A．15 B．37 C．27 D．64【答案】B【解析】由題意得，.故選：B．【變式2】若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，也滿足上式，∴.故答案為：6n－5．類型三、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【例1】在等差數(shù)列中，，公差，，則等于（

）A．92 B．47 C．46 D．45【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所?故選：C.【變式1】已知等差數(shù)列滿足：，則（

）A． B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】由題知，等差數(shù)列滿足：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所則，解得，所以，故選：C.【變式2】已知數(shù)列滿足，其中，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】由，得，所以是等差數(shù)列，.故選：C.類型四、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【例1】在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前19項(xiàng)之和為（

）A．98 B．95 C．93 D．90【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由題意可得：，可得，所以.故選：B.【變式1】在等差數(shù)列中，已知，則（

）A．230 B．420C．450 D．540【答案】B【解析】.故選：B.【變式2】已知等差數(shù)列中，，則（

）A．24 B．36 C．48 D．96【答案】C【解析】等差數(shù)列中，，則.故選：C.類型五、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【例1】已知是等比數(shù)列，且，則（）A．16 B．32 C．24 D．64【答案】A【解析】，得，.故選：A.【變式1】在等比數(shù)列中，，則首項(xiàng).【答案】/0.25【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，則，所以.故答案為：.【變式2】在等比數(shù)列中，，，則=（

）A． B．1 C．1或 D．【答案】B【解析】設(shè)公比為則由，得，故.故選：B.類型六、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【例1】已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，，，則（

）A．31 B．63 C．127 D．255【答案】C【解析】由題意，設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以.故選：C.【變式1】已知在等比數(shù)列中，，，前n項(xiàng)和，則（

）．A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，所?故選：D.【變式2】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．32 B．28 C．48 D．60【答案】D【解析】由可知公比，所以，因此.故選：D.類型七、等差、等比的綜合【例1】若3與13的等差中項(xiàng)是4與的等比中項(xiàng)，則（

）A．12 B．16 C．8 D．20【答案】B【解析】3與13的等差中項(xiàng)為8，所以8是4與的等比中項(xiàng)，所以，解得：.故選：B.【例2】已知等差數(shù)列的公差為，若成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，則，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得.故選：B.【變式1】數(shù)1與4的等差