人教A版高中數(shù)學必修第一冊2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【課件】

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式學習目標素養(yǎng)要求1．會結合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根個數(shù)，了解函數(shù)零點與方程根的關系邏輯推理2．經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集直觀想象3．借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系數(shù)學運算|自學導引|1．關于x的二次三項式ax2＋bx＋c(a≠0)的因式分解：若關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實數(shù)根是x1，x2，則二次三項式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)就可分解為a(x－x1)(x－x2)．特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以方程x2＋px＋q＝0可化為

x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的兩根．

一元二次不等式的概念1．只含有________未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_______的不等式，稱為一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．一個2

不等式x2－y2＞0是一元二次不等式嗎？【提示】此不等式含有兩個變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式．微思考【預習自測】

一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的________．解集類比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個元素均可使等式成立”．不等式x2＞1的解集及其含義是什么？【提示】不等式x2＞1的解集為{x|x＜－1或x＞1}，該集合中每一個元素都是不等式的解，即不等式的每一個解均使不等式成立．微思考【預習自測】

三個“二次”的關系對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．設f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步驟求方程f(x)＝0的解有兩個不等的實數(shù)根x1，x2有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2沒有實數(shù)根{x|x＜x1或x＞x2}

R

{x|x1＜x＜x2}

?

?

若一元二次不等式ax2＋x－1＞0的解集為R，則實數(shù)a應滿足什么條件？微思考【預習自測】|課堂互動|(3)原不等式可化為2x2－3x＋2＞0，因為Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實數(shù)根．又因為二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R．解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)標準化：通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數(shù)為正．(2)判別式：對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．(3)求實根：求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實數(shù)根．(4)畫草圖：根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)圖象的草圖．(5)寫解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集．1．解下列不等式：(1)2x2－3x－2＞0；(2)x2－4x＋4＞0；(3)－x2＋2x－3＜0；(4)－3x2＋5x－2＞0．題型2含參數(shù)的一元二次不等式的解法解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0．解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟注：對參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨立的一元二次不等式的解集，不能合并．2．解關于x的不等式2x2＋ax＋2＞0．解：Δ＝a2－16，下面分情況討論：①當Δ＜0時，即－4＜a＜4時，方程2x2＋ax＋2＝0無實數(shù)根，所以原不等式的解集為R．題型3三個“二次”之間的關系已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求關于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；(3)將不等式化為具體的一元二次不等式求解．題型4一元二次不等式的實際應用某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x．已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量．(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式．(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內(nèi)？解不等式應用題的步驟4．某校園內(nèi)有一塊長為800m，寬為600m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600．x≥600不符合題意，舍去．故所求花卉帶寬度的范圍為{x|0＜x≤100}．錯解：不等式兩邊同乘x＋2得x－1≤2(x＋2)，解得x≥－5，所以原不等式的解集為{x|x≥－5}．|素養(yǎng)達成|1．解一元二次不等式的常見方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：①化不等式為標準形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并畫出對應函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的簡圖；③由圖象得出不等式的解集(體現(xiàn)了直觀想象核心素養(yǎng))．(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解．當m＜n時，若(x－m)(x－n)＞0，則可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，則可得{x|m＜x＜n}．有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間．2．含參數(shù)的一元二次型的不等式在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”(體現(xiàn)了數(shù)學運算和邏輯推理核心素養(yǎng))，討論需從如下三個方面進行考慮：(1)關于不等式類型的討論：二次項系數(shù)a＞0，a＜0，a＝0．(2)關于不等式對應的方程根的討論：兩根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，無實數(shù)根(Δ＜0)．(3)關于不等式對應的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)的零點及圖象的開口方向．【答案】B【解析】因為2x＋3－x2＞0，所以x2－2x－3＜0，方程x2－2x－3＝0的根為－1，3，所以不等式的解集為{x|－1＜x＜3}．故選B．2．(題型4)用一根長為100m的繩子圍成一個面積大于600m2的矩形，設圍成的矩形一邊的長為x

m，則x的取值范圍為 (

)A．{x|15＜x＜25} B．{x|20＜x＜30}C．{x|25＜x＜35} D．{x|30＜x＜40}【答案】B【解析】設圍成的矩形一邊的長為x

m，則另一邊的長為(50－x)m，且0＜x＜50．由題意，得圍成矩形的面積S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30．4．(題型3)已知關于x的不等式x2－5ax＋b＞0的解集為{x|x＜1或x＞4}，則a＋b＝____________．【答案】5【解析】根據(jù)不等式x2－5ax＋b＞0的解集為{x|x＜1或x＞4}，知方程x2－5ax＋b＝0的兩個根是1和4，則5a＝1＋4，b＝1×4，解得a＝1，b＝4，所以a＋b＝5．5．(題型1)解下列不等式：(1)x(7－x)≥12；(2)x2＞2(x－1