大學(xué)物理試題庫與答案詳解

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1-1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位矢為r,速度為v，速率為至(t+△力時(shí)間內(nèi)

的位移為△下，路程為△$,位矢大小的變化量為△r(或稱△Irl),平均速度為日，平均速率

為a.

(1)根據(jù)上述情況，則必有()

(A)IArl=As=Ar

(B)|ArIW△s#△r,當(dāng)△t-*0時(shí)有IdzI=ds#dr

(C)|△rIW△rW△s,當(dāng)△t-^0時(shí)有IdrI=drWds

(D)|△r|#As#△r,當(dāng)△t-*0時(shí)有IdrI=dr=ds

(2)根據(jù)上述情況，則必有()

(A)|日I=3,I3I=3(B)IE)I*日，I田IW因

(C)IaI=a,I13I3(D)IaIa,Ii3|=3

題1一1圖

分析與解(1)質(zhì)點(diǎn)在6至1+△力時(shí)間內(nèi)沿曲線從一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到尸'點(diǎn)，各量關(guān)系如圖所

示，其中路程As=PP',位移大小IArI,而Arnlrl-lrl表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小

的變化量，三個(gè)量的物理含義不同，在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可

能).但當(dāng)A￡―0時(shí)，點(diǎn)〃無限趨近尸點(diǎn)，則有IdrI=ds,但卻不等于dr.故選(B).

(2)由于IArIWAs,故區(qū)|，即|因I

但由于IdrI=ds,故|x|，即I回1=2.由此可見，應(yīng)選(C).

1-2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r(x,y)的端點(diǎn)處，對(duì)其速度的大小有四種意見，即

⑴0；(2)0；⑶g;(4)|x|

下述判斷正確的是()

(A)只有(1)(2)正確(B)只有⑵正確

(0只有(2)(3)正確(D)只有(3)(4)正確

分析與解國表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率，在極坐標(biāo)系中叫徑向速率.通

常用符號(hào)％表示，這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量；目表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速

度大小可用公式S計(jì)算，在直角坐標(biāo)系中則可由公式IXI求解.故選(D).

1-3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),r表示位置矢量，，表示速度，a表示加速度，s表示路程，團(tuán)表示切

向加速度.對(duì)下列表達(dá)式，即

(1)dv/dt=a；(2)dr/dt=r；(3)ds/dt=r；(4)dv/dtI=at.

下述判斷正確的是()

(A)只有(1)、(4)是對(duì)的(B)只有(2)、(4)是對(duì)的

(0只有⑵是對(duì)的(D)只有⑶是對(duì)的

分析與解0表示切向加速度團(tuán)，它表示速度大小隨時(shí)間的變化率，是加速度矢量沿速度

方向的一個(gè)分量，起改變速度大小的作用；目在極坐標(biāo)系中表示徑向速率匕.(如題1-2所述)；

可在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率匕而?表示加速度的大小而不是切向加速度團(tuán).因此只有

(3)式表達(dá)是正確的.故選(D).

1-4一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有()

(A)切向加速度一定改變，法向加速度也改變

(B)切向加速度可能不變，法向加速度一定改變

(0切向加速度可能不變，法向加速度不變

(D)切向加速度一定改變，法向加速度不變

分析與解加速度的切向分量陽起改變速度大小的作用，而法向分量a起改變速度方向的作

用.質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于速度方向不斷改變，相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變，因而法向

加速度是一定改變的.至于團(tuán)是否改變，則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定.質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),

a,恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，a1為一不為零的恒量，當(dāng)處改變時(shí)，質(zhì)點(diǎn)則作一般的變

速率圓周運(yùn)動(dòng).由此可見，應(yīng)選(B).

*1-5如圖所示，湖中有一小船，有人用繩繞過岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊

運(yùn)動(dòng).設(shè)該人以勻速率㈤收繩，繩不伸長且湖水靜止，小船的速率為匕則小船作()

(A)勻加速運(yùn)動(dòng)，區(qū)|

(B)勻減速運(yùn)動(dòng)，NI

(C)變加速運(yùn)動(dòng)，3

(D)變減速運(yùn)動(dòng)，1-1

(E)勻速直線運(yùn)動(dòng)，Q

題1-5圖

分析與解本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達(dá)式，進(jìn)而判斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì).為此建立如圖所示坐標(biāo)

系，設(shè)定滑輪距水面高度為力時(shí)刻定滑輪距小船的繩長為，則小船的運(yùn)動(dòng)方程為NI,

其中繩長/隨時(shí)間t而變化.小船速度IxI，式中口表示繩長/隨時(shí)間的變化率,

其大小即為%，代入整理后為|X|，方向沿X軸負(fù)向.由速度表達(dá)式，可判斷小船

作變加速運(yùn)動(dòng).故選(C).

討論有人會(huì)將繩子速率均按雙y兩個(gè)方向分解，則小船速度三|，這樣做對(duì)嗎？

1-6已知質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為I-1，式中x的單位為的單

位為s.求：

(1)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)開始后4.0s內(nèi)的位移的大??；

(2)質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)間內(nèi)所通過的路程；

(3)t=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度.

分析位移和路程是兩個(gè)完全不同的概念.只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不改變時(shí)，位

移的大小才會(huì)與路程相等.質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)的位移Ax的大小可直接由運(yùn)動(dòng)方程得到：

r^i，而在求路程時(shí)，就必須注意到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中可能改變運(yùn)動(dòng)方向，此時(shí)，位移的大

小和路程就不同了.為此，需根據(jù)叵］來確定其運(yùn)動(dòng)方向改變的時(shí)刻與，求出o?&和心?t內(nèi)

的位移大小△及、公用，則t時(shí)間內(nèi)的路程IxI，如圖所示，至于t=4.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)速

度和加速度可用可和目兩式計(jì)算.

解(1)質(zhì)點(diǎn)在4.0s內(nèi)位移的大小

I

⑵由S

得知質(zhì)點(diǎn)的換向時(shí)刻為

1=0不合題意)

則

所以，質(zhì)點(diǎn)在4.0s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為

(3)<=4.0s時(shí)

I-I

1-7一質(zhì)點(diǎn)沿x軸方向作直線運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的關(guān)系如圖(a)所示.設(shè)七=0時(shí),x=

0.試根據(jù)已知的圖，畫出a-C圖以及x-C圖.

o/(m?s-2)

20-------------------1

I

10-?

八1b3456

\/>I11'J>[

I

-10---------------------------------------1------------------1

-20-

(b)

題1-7圖

分析根據(jù)加速度的定義可知，在直線運(yùn)動(dòng)中Lt曲線的斜率為加速度的大?。▓D中AB、CD

段斜率為定值，即勻變速直線運(yùn)動(dòng)；而線段BC的斜率為0,加速度為零，即勻速直線運(yùn)動(dòng)）.加速度

為恒量，在a-t圖上是平行于￡軸的直線，由廣￡圖中求出各段的斜率，即可作出a-t圖線.又由

速度的定義可知，廣大曲線的斜率為速度的大小.因此，勻速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x-力圖應(yīng)是一直

線，而勻變速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x-t圖為「的二次曲線.根據(jù)各段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程x=x1）,

求出不同時(shí)刻1的位置x,采用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法，可作出圖.

解將曲線分為AB、BC、CD三個(gè)過程，它們對(duì)應(yīng)的加速度值分別為

（勻加速直線運(yùn)動(dòng)）

回（勻速直線運(yùn)動(dòng)）

（勻減速直線運(yùn)動(dòng)）

根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點(diǎn)的圖［圖（B）］.

在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，有

由此，可計(jì)算在0?2s和4?6s時(shí)間間隔內(nèi)各時(shí)刻的位置分別為

t/s00.511.5c44.555.56

x/m0-7.5-10-7.504048.85558.860

用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖方法，由表中數(shù)據(jù)可作0?2s和4?6s時(shí)間內(nèi)的x-t圖.在2?4s時(shí)間

內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)是作N3的勻速直線運(yùn)動(dòng)，其才-力圖是斜率4=20的一段直線[圖(c)].

1-8已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為11■，式中，的單位為m,/■的單位為s.求：

(1)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；

(2)%=0及￡=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位矢；

(3)由￡=0到1=2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移Ar和徑向增量△r；

*(4)2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所走過的路程s.

分析質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為y=f(x),可由運(yùn)動(dòng)方程的兩個(gè)分量式x(8和火。中消去-即可

得到.對(duì)于r、Ar、Ar、As來說，物理含義不同，可根據(jù)其定義計(jì)算.其中對(duì)s的求解用到積分

方法，先在軌跡上任取一段微元ds,則I—■，最后用回積分求s.

解(1)由x(t)和火力中消去t后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為

回

這是一個(gè)拋物線方程，軌跡如圖(a)所示.

(2)將t=0s和1=2s分別代入運(yùn)動(dòng)方程，可得相應(yīng)位矢分別為

國，01

圖(a)中的P、Q兩點(diǎn)，即為t=0s和2=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置.

(3)由位移表達(dá)式，得

其中位移大小

而徑向增量「="=?

*(4)如圖⑻所示，所求即為圖中PQ段長度，先在其間任意處取AB微元ds,則

IX」，由軌道方程可得目，代入ds,則2s內(nèi)路程為

題1-8圖

1-9質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中的單位為m,力的單位為s.

試求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向.

分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量，再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速

度的大小和方向.

解（1）速度的分量式為

E^l

IXI

當(dāng)力=0時(shí)，vQX=-10m,s',vor=15s”,則初速度大小為

I■

設(shè)匕與x軸的夾角為a，則

日

（7=123°41'

（2）加速度的分量式為

則加速度的大小為

設(shè)a與x軸的夾角為￡，貝U

[H]

￡=-33°41'（或326°19'）

1-10一升降機(jī)以加速度1.22m-s2上升，當(dāng)上升速度為2.44m-s'時(shí)，有一螺絲自升降

機(jī)的天花板上松脫，天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m.計(jì)算：（1）螺絲從天花板落到底面所需要

的時(shí)間；（2）螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離.

分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下，一種處理方法是取地面為參考系，分別討

論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng)，列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同

一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y=%（力和%=%（。，并考慮它們相遇，即位矢相同這一條件，問題即

可解；另一種方法是取升降機(jī)（或螺絲）為參考系，這時(shí)，螺絲（或升降機(jī)）相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng)，但

是，此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度.升降機(jī)廂的高度就是螺絲（或升降機(jī)）運(yùn)動(dòng)的路程.

解1（1）以地面為參考系，取如圖所示的坐標(biāo)系，升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為

EH3

當(dāng)螺絲落至底面時(shí)，有力=於，即

（2）螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為

解2（1）以升降機(jī)為參考系，此時(shí)，螺絲相對(duì)它的加速度大小a'=g+a,螺絲落至底面時(shí),

有

（2）由于升降機(jī)在，時(shí)間內(nèi)上升的高度為

日

題1-1（）圖

1-11一質(zhì)點(diǎn)P沿半徑R=3.0m的圓周作勻速率運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周所需時(shí)間為20.0s，設(shè)C

=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于。點(diǎn).按（a）圖中所示的坐標(biāo)系，求（1）質(zhì)點(diǎn)P在任意時(shí)刻的位矢；（2）5s時(shí)

的速度和加速度.

分析該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題，即已知運(yùn)動(dòng)方程r=r（。求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切信息（如

位置矢量、位移、速度、加速度）.在確定運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，若取以點(diǎn)（0,3）為原點(diǎn)的。/X，y'坐標(biāo)系，

并采用參數(shù)方程X'=x‘（力和y'=y'（》來表示圓周運(yùn)動(dòng)是比較方便的.然后，運(yùn)用坐標(biāo)變換

x=A0+X'和y=yQ+y',將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy坐標(biāo)系中，即得。xy坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P

在任意時(shí)刻的位矢.采用對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)的方法可得速度和加速度.

解（1）如圖⑻所示，在

O'x'y'坐標(biāo)系中，因

岡，則質(zhì)點(diǎn)P的參數(shù)方程

為

目

IXI

坐標(biāo)變換后，在0對(duì)坐標(biāo)系中有

題1-11圖

則質(zhì)點(diǎn)P的位矢方程為

(2)5s時(shí)的速度和加速度分別為

fv■1-12地面上垂直豎立一高

20.0m的旗桿，已知正午時(shí)分太陽在旗桿的正上方，求在下午2：00時(shí)，桿頂在地面上的影子的

速度的大小.在何時(shí)刻桿影伸展至20.0m?

分析為求桿頂在地面上影子速度的大小，必須建立影長與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，即影子端點(diǎn)的

位矢方程.根據(jù)幾何關(guān)系，影長可通過太陽光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度求得.由于運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，太陽

光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度.這樣，影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得.

解設(shè)太陽光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為3,從正午時(shí)分開始計(jì)時(shí)，則桿的影長為6=7?tg3%，下

午2：00時(shí)，桿頂在地面上影子的速度大小為

當(dāng)桿長等于影長時(shí)，即6=力,則

即為下午3：00時(shí).

1-13質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=4-「，式中a的單位為m?s',大的單位為s.如果當(dāng)I

=3s時(shí),x=9m,y=2m?s」，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.

分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題，即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程，必須在給定條件下用

積分方法解決.由叵|和叵］可得三1和.如a=a(8或r=M。，則可兩邊直

接積分.如果a或『不是時(shí)間「的顯函數(shù)，則應(yīng)經(jīng)過諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做

積分.

解由分析知，應(yīng)有

目

得(1)

由IX|

得|X■(2)

將6=3s時(shí)，x=9m,y=2m?s'代入(1)⑵得%=Tm?s\&)=0.75m.于是可得質(zhì)點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)方程為

1-14一石子從空中由靜止下落，由于空氣阻力，石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)測得其加速

度a=A-B匕式中A、B為正恒量，求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程.

分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題，與上題不同之處在于加速度是速度-的函數(shù)，因此，需

將式du=a(r)dt分離變量為|x|后再兩邊積分.

解選取石子下落方向?yàn)閥軸正向，下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)由題意知⑴

用分離變量法把式(1)改寫為

日⑵

將式(2)兩邊積分并考慮初始條件，有

得石子速度

由此可知當(dāng)，8時(shí),□為一常量，通常稱為極限速度或收尾速度.

⑵再由并考慮初始條件有

得石子運(yùn)動(dòng)方程

1-15一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度a=67+4工式中a的單位為m?s-2.在f=0時(shí)，其速度為

零，位置矢量h=10m/.求：(1)在任意時(shí)刻的速度和位置矢量；(2)質(zhì)點(diǎn)在。燈平面上的軌跡

方程，并畫出軌跡的示意圖.

分析與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)疊加原理，求解時(shí)需根據(jù)加速度的兩

個(gè)分量為和心分別積分，從而得到運(yùn)動(dòng)方程r的兩個(gè)分量式x(力和y(1).由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度

為恒矢量，故兩次積分后所得運(yùn)動(dòng)方程為固定形式，即和

，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng).讀者不妨自己驗(yàn)證一下.

解由加速度定義式,根據(jù)初始條件必=0時(shí)%=0,積分可得

I-I

又由叵|及初始條件t=0時(shí),々=(10m)],積分可得

I1■

由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式，即

x=10+3/

y=2t2

消去參數(shù)心可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程

3y=2x-20m

這是一個(gè)直線方程.直線斜率IxI,。=33。41'.軌跡如圖所示.

1-16一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓周上以恒定的速率運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B,0A和0B

所對(duì)的圓心角為△0.(1)試證位置A和B之間的平均加速度為I―■；(2)

當(dāng)2。分別等于90°、30。、10°和1°時(shí)，平均加速度各為多少？并對(duì)結(jié)果加以討論.

(a)

(b)

題I-16圖

分析瞬時(shí)加速度和平均加速度的物理含義不同，它們分別表示為叵］和叵］.在勻

速率圓周運(yùn)動(dòng)中，它們的大小分別為區(qū)［,叵］，式中IAoi可由圖⑻中的幾何關(guān)系得

至U,而可由轉(zhuǎn)過的角度△J求出.

由計(jì)算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系，即瞬時(shí)加速度是平均加速度在△￡-0時(shí)的極限

值.

解⑴由圖(b)可看到△y=外-匕，故

I■

而

EH］

所以

1■

(2)將△0=90°,30°,10°,1°分別代入上式，

得

目目

EH］,目

以上結(jié)果表明，當(dāng)△，一0時(shí)，勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的平均加速度趨近于一極限值，該值即為法

向加速度0.

1-17質(zhì)點(diǎn)在。0平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為r=2.0以+(19.0-2.0/)上式中下的單位

為m,t的單位為s.求：(1)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；(2)在%i=l.0s到七=2.0s時(shí)間內(nèi)的平均速度；

(3)t,=1.0s時(shí)的速度及切向和法向加速度；(4)t=1.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑P.

分析根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可直接寫出其分量式X=x(l)和y=y(。，從中消去參數(shù)力即得質(zhì)點(diǎn)

的軌跡方程.平均速度是反映質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)位置的變化率，即叵］，它與時(shí)間間隔的

大小有關(guān)，當(dāng)A/-0時(shí)，平均速度的極限即瞬時(shí)速度叵］.切向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)

下的分矢量團(tuán)和&，前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率，即叵］，后者只反映質(zhì)

點(diǎn)速度方向的變化，它可由總加速度a和團(tuán)得到.在求得G時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向加速度的大

小后，可由公式□求。?

解(1)由參數(shù)方程

x=2.0t,y=19.0-2.0t2

消去,得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：

y=19.0-0.50/

(2)在。=1.00s到七=2,0s時(shí)間內(nèi)的平均速度

(3)質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度分別為

則打=1.00s時(shí)的速度

r(t)It=ls=2.Oi-A.Oj

切向和法向加速度分別為

(4)1=1.0s質(zhì)點(diǎn)的速度大小為

則[x]

1-18飛機(jī)以100m?s的速度沿水平直線飛行，在離地面高為100m時(shí)，駕駛員要把物品

空投到前方某一地面目標(biāo)處，問：(1)此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？(2)投放物品

時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？(3)物品投出2.0s后，它的法向加速度和切向加

速度各為多少？

題1-18圖

分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng).忽略空氣阻力的條件下，由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知，物品在空中

沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng).到達(dá)地面目標(biāo)時(shí)，兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間

是相同的.因此，分別列出其運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)用時(shí)間相等的條件，即可求解.

此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中只存在豎直向下的重力加速度.為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向

加速度和法向加速度，只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角?；颉?由圖可知，在特定

時(shí)刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角。，可由此時(shí)刻的兩速度分量匕、外求出，這樣，也

就可將重力加速度g的切向和法向分量求得.

解(1)取如圖所示的坐標(biāo)，物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為

X=vt,y=1/2g/

飛機(jī)水平飛行速度「=100m?s',飛機(jī)離地面的高度y=100m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)

正下方前的距離

T—I

(2)視線和水平線的夾角為

r^i

(3)在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為

取自然坐標(biāo)，物品在拋出2s時(shí)，重力加速度的切向分量與法向分量分別為

I■

1■

1-19如圖(a)所示，一小型迫擊炮架設(shè)在一斜坡的底端0處，已知斜坡傾角為。，炮身與斜

坡的夾角為￡,炮彈的出口速度為由，忽略空氣阻力.求：(1)炮彈落地點(diǎn)P與點(diǎn)0的距離0P；(2)

欲使炮彈能垂直擊中坡面.證明。和￡必須滿足并與的無關(guān).

分析這是一個(gè)斜上拋運(yùn)動(dòng)，看似簡單，但針對(duì)題目所問，如不能靈活運(yùn)用疊加原理，建立一

個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將運(yùn)動(dòng)分解的話，求解起來并不容易.現(xiàn)建立如圖(a)所示坐標(biāo)系，則炮彈在x

和y兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，其初速度分別為vbcos￡和％sinB,其加速度分別

為灸in。和geos。.在此坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí)，應(yīng)有y=0,則x=0P.如欲使炮彈垂直擊中坡面，

則應(yīng)滿足匕=0,直接列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程和速度方程，即可求解.由于本題中加速度g為恒矢

量.故第一問也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算，即目，做出炮彈落地時(shí)的矢量圖［如圖

(B)所示］，由圖中所示幾何關(guān)系也可求得回(即圖中的r矢量).

(1)解1由分析知，炮彈在圖(a)所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方程為

IX|(1)

⑵

令y=0求得時(shí)間1后再代入式(1)得

解2做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖，如圖⑹所示，并利用正弦定理，有

從中消去亡后也可得到同樣結(jié)果.

(2)由分析知，如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y=0和%=0,則

J==■(3)

由(2)(3)兩式消去1后得

由此可知.只要角。和￡滿足上式，炮彈就能垂直擊中坡面，而與力的大小無關(guān).

討論如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按水平和豎直兩個(gè)方向分解，求解本題將會(huì)比較困難，有興趣讀者不

妨自己體驗(yàn)一下.

1-20一直立的雨傘，張開后其邊緣圓周的半徑為A,離地面的高度為瓦(1)當(dāng)傘繞傘柄以

勻角速3旋轉(zhuǎn)時(shí)，求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上半徑為IX1的圓周上；(2)讀

者能否由此定性構(gòu)想一種草坪上或農(nóng)田灌溉用的旋轉(zhuǎn)式灑水器的方案？

題1-2()圖

分析選定傘邊緣0處的雨滴為研究對(duì)象，當(dāng)傘以角速度3旋轉(zhuǎn)時(shí)，雨滴將以速度-沿切線

方向飛出，并作平拋運(yùn)動(dòng).建立如圖(a)所示坐標(biāo)系，列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中所示幾何關(guān)

系，即可求證.由此可以想像如果讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出，從不同小孔中飛

出的水滴將會(huì)落在半徑不同的圓周上，為保證均勻噴灑對(duì)噴頭上小孔的分布還要給予精心的考

慮.

解(1)如圖(a)所示坐標(biāo)系中，雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為

日

由式(1)(2)可得3

由圖(a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為

(2)常用草坪噴水器采用如圖(b)所示的球面噴頭(%=45°)其上有大量小孔.噴頭旋轉(zhuǎn)

時(shí)，水滴以初速度％從各個(gè)小孔中噴出，并作斜上拋運(yùn)動(dòng)，通常噴頭表面基本上與草坪處在同一

水平面上.則以。角噴射的水柱射程為

目

為使噴頭周圍的草坪能被均勻噴灑，噴頭上的小孔數(shù)不但很多，而且還不能均勻分布，這是

噴頭設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問題.

1-21-足球運(yùn)動(dòng)員在正對(duì)球門前25.0m處以20.0m?s1的初速率罰任意球，已知球門

高為3.44m.若要在垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足球直接踢進(jìn)球門，問他應(yīng)在與地面成什么角度

的范圍內(nèi)踢出足球？(足球可視為質(zhì)點(diǎn))

題1-21圖

分析被踢出后的足球，在空中作斜拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡方程可由質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程

得到.由于水平距離x已知，球門高度又限定了在y方向的范圍，故只需將值代入即可求出.

解取圖示坐標(biāo)系0盯,由運(yùn)動(dòng)方程

消去t得軌跡方程

以x=25.0m,v=20.0m,s1及3.44代入后，可解得

71.11°20\269.92°

27.92°202218.89°

如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下，球擊中球門底線或球門上緣都將對(duì)應(yīng)有

兩個(gè)不同的投射傾角（如圖所示）.如果以。>71.11°或。<18.89°踢出足球，都將因射程不

足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制，。角也并非能取71.11。與18.89°之間的任何

值.當(dāng)傾角取值為27.92°<0<69.92°時(shí)，踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去，這時(shí)球也不能射入

球門.因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果.

1-22一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為7?的圓周按規(guī)律目運(yùn)動(dòng)，均、6都是常量.（1）求心時(shí)

刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；（2）亡為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于6?（3）當(dāng)加速度達(dá)到6時(shí)，質(zhì)點(diǎn)已

沿圓周運(yùn)行了多少圈？

分析在自然坐標(biāo)中，s表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo).由給定的運(yùn)動(dòng)方程s=

s（t）,對(duì)時(shí)間力求一階、二階導(dǎo)數(shù)，即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v和加速度的切向分量團(tuán)，而加速度的

法向分量為4=丹/兄這樣，總加速度為a=alel+a,,en.至于質(zhì)點(diǎn)在大時(shí)間內(nèi)通過的路程，即為

曲線坐標(biāo)的改變量4s=s,-s°.因圓周長為2nR,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得.

解（1）質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為

IxI

其加速度的切向分量和法向分量分別為

故加速度的大小為

其方向與切線之間的夾角為

（2）要使IaI=b,由Ix|可得

□

（3）從1=0開始到1=%/b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為

日

因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為

1-23一半徑為0.50m的飛輪在啟動(dòng)時(shí)的短時(shí)間內(nèi)，其角速度與時(shí)間的平方成正比.在1=

2.0s時(shí)測得輪緣一點(diǎn)的速度值為4.0m?sL求：（1）該輪在U=0.5s的角速度，輪緣一點(diǎn)

的切向加速度和總加速度；（2）該點(diǎn)在2.0s內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度.

分析首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時(shí)刻的速度

值可得相應(yīng)的角速度，從而求出式中的比例系數(shù)A,3=3（匕）確定后，注意到運(yùn)動(dòng)的角量描述與

線量描述的相應(yīng)關(guān)系，由運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類問題求解的方法（微分法和積分法），即可得到特定時(shí)刻的

角加速度、切向加速度和角位移.

解因=/，由題意3得比例系數(shù)

a

所以

則，=0.5s時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分別為

Ixi

總加速度

在2.0s內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的角度

1-24一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.10m的圓周上運(yùn)動(dòng)，其角位置為三I，式中。的單位為

rad"的單位為s.（1）求在2=2.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度.（2）當(dāng)切向加速度

的大小恰等于總加速度大小的一半時(shí)，。值為多少？（3）t為多少時(shí)，法向加速度和切向加速度

的值相等？

分析掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的方法即可得

到.

解（1）由于N1，則角速度|xI.在t=2s時(shí)，法向加速度和切向加速

度的數(shù)值分別為

1x1

(2)當(dāng)時(shí)，有目，即

IX■

得3

此時(shí)刻的角位置為

（3）要使國，則有

IX■

t=0.55s

1-25一無風(fēng)的下雨天，一列火車以匕=20.0m-s1的速度勻速前進(jìn)，在車內(nèi)的旅客看見

玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下降.求雨滴下落的速度外.（設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng)）

題1-25圖

分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題.設(shè)雨滴為研究對(duì)象，地面為靜止參考系S,火車為動(dòng)參考

系S'.匕為S'相對(duì)S的速度，外為雨滴相對(duì)S的速度，利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即可解.解

以地面為參考系，火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為上,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為外，旅客看到

雨滴下落的速度I為相對(duì)速度，它們之間的關(guān)系為后］（如圖所示），于是可得

1-26如圖（a）所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速率為由，下落雨滴的速度方向偏于豎直

方向之前，角，速率為我'，若車后有一長方形物體，問車速匕為多大時(shí)，此物體正好不會(huì)被雨水

淋濕？

分析這也是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題.可視雨點(diǎn)為研究對(duì)象，地面為靜參考系S,汽車為動(dòng)參

考系S'.如圖（a）所示，要使物體不被淋濕，在車上觀察雨點(diǎn)下落的方向（即雨點(diǎn)相對(duì)于汽車的

運(yùn)動(dòng)速度十的方向）應(yīng)滿足三］.再由相對(duì)速度的矢量關(guān)系N），即可求出所需

車速％.

［圖⑹］,有

LxJ

而要使目，則

日

1-27一人能在靜水中以1.10m-s”的速度劃船前進(jìn).今欲橫渡一寬為LOOX103m、

水流速度為0.55m?s'的大河.（1）他若要從出發(fā)點(diǎn)橫渡該河而到達(dá)正對(duì)岸的一點(diǎn)，那么應(yīng)如

何確定劃行方向？到達(dá)正對(duì)岸需多少時(shí)間？（2）如果希望用最短的時(shí)間過河，應(yīng)如何確定劃行

方向？船到達(dá)對(duì)岸的位置在什么地方？

分析船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間是由船相對(duì)于岸的速度/決定的.由于水流速度〃的存在，「與船

在靜水中劃行的速度/之間有+F（如圖所示）.若要使船到達(dá)正對(duì)岸，則必須使超正對(duì)

岸方向；在劃速一定的條件下，若要用最短時(shí)間過河，則必須使。有極大值.