奇偶性（8大題型）完整版講

奇偶性重點：1、函數(shù)奇偶性的概念與幾何特征；2、判斷函數(shù)的奇偶性．難點：1、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性結(jié)合問題；2、函數(shù)奇偶性的判定.一、函數(shù)奇偶性的定義1、奇函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱2、偶函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱。偶函數(shù)的性質(zhì)：，可避免討論．二、奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象對稱性的推廣在定義域內(nèi)恒滿足的圖象的對稱軸（中心）直線直線直線點點點三、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法1、定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷與之一是否相等.【注意】判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：（1）如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；（2）如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．2、圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點（軸）對稱.3、性質(zhì)法：設(shè)，的定義域分別是，，在它們的公共定義域上，一般具有下列結(jié)論：偶偶偶偶偶偶奇不確定奇偶奇偶不確定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在中，的值域是定義域的子集4、分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷.分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達式中，與對應(yīng)不同的表達式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進行比較.四、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)奇偶性的一種方法，又是在已知函數(shù)奇偶性時可以運用的一個性質(zhì)，要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用。1、由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)若函數(shù)解析式中含參數(shù)，則根據(jù)或，利用待定系數(shù)法求參數(shù)；若定義域含參數(shù)，則根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，利用區(qū)間的端點值之和為0求參數(shù)。2、由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時，若所給的函數(shù)具有奇偶性，則直接利用或求解；若所給函數(shù)不具有奇偶性，一般續(xù)利用所給的函數(shù)構(gòu)造一個奇函數(shù)或偶函數(shù)，然后利用其奇偶性求值。3、由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的一般步驟（1）在哪個區(qū)間上求解析是，就設(shè)在哪個區(qū)間上；（2）把對稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知區(qū)間的解析式得（3）利用函數(shù)的奇偶性把改寫成，從而求出.五、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用1、奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反；2、區(qū)間和關(guān)于原點對稱（1）若為奇函數(shù)，且在上有最大值，則在上最小值；（2）若為偶函數(shù)，且在上有最大值，則在上最大值；3、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值或自變量的大小，關(guān)鍵是利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用單調(diào)性比較。注意：由或及函數(shù)的單調(diào)性列出不等式（組）時，要注意定義域?qū)?shù)的影響。題型一函數(shù)奇偶性的判斷【例1】（2022秋·天津·高一?？茧A段練習）下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（）A．=B．=C．=+D．=x+【答案】B【解析】選項A中，函數(shù)定義域是，函數(shù)沒有奇偶性；選項B中，函數(shù)定義域是，，是偶函數(shù)；選項C中，函數(shù)定義域是，函數(shù)沒有奇偶性；選項D中，函數(shù)定義域是，，函數(shù)是奇函數(shù)．故選：B．【變式11】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的奇偶性是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇又偶函數(shù)【答案】A【解析】若，則，則；若，則，則.又，滿足.所以，又函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因此，函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.【變式12】（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）下列函數(shù)中，不是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對選項A，函數(shù)的定義域為，解得的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，且，故是偶函數(shù).B選項，函數(shù)的定義域為，解得，定義域關(guān)于原點對稱，則，，所以函數(shù)是偶函數(shù).C選項，當，，所以不是偶函數(shù).D選項，，的定義為，當，，當，所以函數(shù)為偶函數(shù).故選：C【變式13】（2022秋·山東棗莊·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)的圖象向右平移2個單位，向下平移2個單位得到為奇函數(shù).故選：D題型二利用奇偶性求函數(shù)值【例2】（2023秋·全國·高一專題練習）設(shè)為上的奇函數(shù)，且當時，，則（）A．12B．C．13D．【答案】C【解析】因為為上的奇函數(shù)，所以，，所以.故選：C【變式21】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則.【答案】【解析】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，，由，則.故答案為：.【變式22】（2022秋·山東棗莊·高一?？计谥校┮阎c分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，并且，則（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】分別令取1和1得，因為與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，解的.故選：C.【變式23】（2023秋·吉林長春·高一?？计谀┮阎瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，則（）A．1B．C．D．3【答案】B【解析】因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，又，即，則，所以.故選：B.題型三奇函數(shù)+常數(shù)型求值【例3】（2023·全國·高一專題練習）已知，，則（）A．3B．1C．1D．5【答案】B【解析】設(shè)，定義域為，則，故為奇函數(shù)，又，則，所以.故選：B【變式31】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)其中a，b為常數(shù)，若求.【答案】【解析】；故答案為：【變式32】（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，，則的最大值與最小值之和為（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】因為與的單調(diào)性相同，且為奇函數(shù)，設(shè)在處取到最大值，則在處取到最小值，可得，且在處取到最大值，在處取到最小值，所以.故選：C.【變式33】（2023秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，可令，則，為定義在上的奇函數(shù)，，則，.故選：D.題型四利用奇函數(shù)求參數(shù)【例4】（2023·全國·高一專題練習）已知是奇函數(shù)，則（A．B．C．0D．1【答案】C【解析】由題設(shè)，則，而滿足題設(shè).所以.故選：C【變式41】（2023秋·上海松江·高一?？计谀┤艉瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則.【答案】1【解析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)所以，解得.因為，所以，解得.所以.【變式42】（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則．【答案】2【解析】函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，得，所以，解得，且定義域關(guān)于原點對稱，所以，解得，所以．【變式43】（2022秋·江西·高三寧岡中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是偶函數(shù)，其定義域為，則.【答案】5【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，其定義域為，所以，即，又，即，則，所以，則．題型五利用奇偶性求解析式【例5】（2023秋·四川遂寧·高三校考階段練習）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當時，，則當時，的解析式為（）A．B．C．D．以上都不對【答案】A【解析】設(shè)，則，又.故選：A【變式51】（2023·全國·高一專題練習）已知奇函數(shù)則．【答案】【解析】當時，，，則．【變式52】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，則的解析式為.【答案】（或）【解析】根據(jù)題意可知，當時，，則，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，因此當時，，所以的解析式為.【變式53】（2023秋·河南許昌·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，．所以，，即，因此，.故選：D.題型六利用奇偶性與單調(diào)性解不等式【例6】（2023春·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）設(shè)定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由于為奇函數(shù)，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上也單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，由得，所以，解得，故答案為：【變式61】（2022秋·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)?？计谥校┮阎x域為的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是．【答案】【解析】根據(jù)題意，為定義在上的奇函數(shù)，則，為奇函數(shù)，且，在是減函數(shù)，∴，在內(nèi)是減函數(shù)，函數(shù)圖象草圖如圖，則不等式的解集為；故答案為：．【變式62】（2022秋·天津·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對于任意不等實數(shù)，不等式恒成立，則不等式的解集為（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，對于任意不等實數(shù)，不等式恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C.【變式63】（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┤襞己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為為偶函數(shù)，所以，所以，且，因為在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，當時，則，故，當時，則，故，綜上：的解集為.故選：B題型七利用奇偶性與單調(diào)性比大小【例7】（2022秋·海南海口·高一?？谝恢行？计谥校┰O(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為為偶函數(shù)，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，則.故選：B【變式71】（2023·全國·高一專題練習）已知是奇函數(shù)且對任意正實數(shù)，恒有，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在上單調(diào)遞增，∵是奇函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，由，可得，B錯誤，D正確；雖然由題意可得在，上單調(diào)遞增，但是由已知條件無法判斷是否在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則A、C無法判斷正誤，即A、C不一定成立；故選：D.【變式72】（2023秋·全國·高一專題練習）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，恒成立，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵當時，恒成立，∴當時，，即，∴函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，∴函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，∴，又函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，∴，即，∴，故選：C.【變式73】（2022秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期中）（多選）已知是定義在上的偶函數(shù)，滿足，且在上單調(diào)遞減，則下列所給結(jié)論中正確的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】對于AB，因為，所以，又為偶函數(shù)，則，因為在上單調(diào)遞減，所以，從而，因此選項A正確，B錯誤；對于CD，因為，所以，因為為偶函數(shù)，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以選項C正確，D錯誤，故選：AC.題型八抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性【例8】（2023·全國·高一專題練習）對于兩個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)和在它們的公共定義域內(nèi)，下列說法中正確的是（）A．若和都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)B．若和都是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)D．若和都是奇函數(shù)，則不一定是奇函數(shù)【答案】B【解析】對于A，因為和都是奇函數(shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為和都是偶函數(shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故B正確；對于C，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為和都是奇函數(shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：B【變式81】（2023·全國·高一專題練習）（多選）已知是定義在上不恒為0的偶函數(shù)，是定義在上不恒為0的奇函數(shù)，則（）A．為奇函數(shù)B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù)D．為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】由題意可知，，所以，所以為偶函數(shù)，A項錯誤；由，得，所以為奇函數(shù)，B項正確；因為，所以為偶函數(shù)，C項正確；因為，所以為偶函數(shù)，D項正確.故選：BCD.【變式82】（2023·全國·高一專題練習）（多選）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且對于任意，都有，則（）A．B．C．為偶函數(shù)D．為奇函數(shù)【答案】BCD【解析】由為奇函數(shù)，可得，即，又因為，所以，即,所以，所以，故選項A錯誤；由，得，由，得，所以，故選項B正確；由，，得，所以為偶函數(shù)，故選項C正確；由，，可得，所以，即，故為奇函數(shù)，故選項D正確.故選：BCD【變式83】（2023秋·高一課時練習）函數(shù)，對任意的實數(shù)x，y，只要，就有成立，則函數(shù)（）（）A．一定是奇函數(shù)B．一定是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【答案】C【解析】對任意的實數(shù)x，y，，有成立，令，則有，又，因此，顯