初中數(shù)學統(tǒng)計與概率的教學研究

初中數(shù)學”統(tǒng)計與概率”的教學研究

俞京寧(中學數(shù)學高級教師，教研員)

各位老師，大家好！

今天我們討論的話題是初中數(shù)學“統(tǒng)計與概率”的教學研究與案例評析.可能一聽

到這個話題，您就感到既親切又輕松，親切是因為在現(xiàn)代社會，離不開數(shù)據(jù)，我們在生活中

時時、處處都與數(shù)據(jù)打交道，比如您去超市購物，需要考慮所購物品的大致費用；您在教學

中要了解學生的考試分數(shù)，以便分析教與學的情況等等，我們需要從數(shù)據(jù)中獲得對自己有幫

助的東西；輕松是因為學生自小學甚至幼兒園就開始接觸并不斷學習數(shù)據(jù)，對有關數(shù)據(jù)的基

本知識比較熟悉，所以學習相關的內(nèi)容，障礙較少，而且由于這部分內(nèi)容與生活密切聯(lián)系，

學生的學習興趣也比較容易激發(fā)。但恰恰是這些原因以及中考對這部分的要求不是很高，容

易造成部分教師對這部分內(nèi)容的輕視，認為了解?下就行.其實統(tǒng)計與概率作為應用數(shù)學的

一部分，有著重要的意義，再有基于在這部分的教學中存在許多問題，所以作為教師我們有

必要將初中數(shù)學“統(tǒng)計與概率”的教學內(nèi)容做進一步研究，澄清認識的同時，能夠做到引

起學生的重視，使他們在日常的學習生活中能自覺的使用數(shù)據(jù)說話。

一、對初中“統(tǒng)計與概率”數(shù)學知識的深層次理解

(-)統(tǒng)計與概率的知識結(jié)構(gòu)圖

簡單的說，統(tǒng)計的研究對象是數(shù)據(jù)，我們通過數(shù)據(jù)的收集、整理、描述加以分析，最

終對所研究的問題作HI決策;而概率是對我們所關注的不確定事件通過計算的方法獲取其發(fā)

生可能性的大小或者根據(jù)需要設計實驗。

從統(tǒng)計學內(nèi)在的知識體系看，概率是統(tǒng)計學的有機組成部分，在數(shù)據(jù)的分析階段，可

以利用概率進行統(tǒng)計分析，從數(shù)據(jù)中得出結(jié)論，根據(jù)結(jié)論進行預測或判斷。因此，在初中階

段，可以把概率看成是統(tǒng)計過程的一個階段。

（二）統(tǒng)計與概率在數(shù)學學科中的地位與作用

我們先了解一下統(tǒng)計的背景。嚴格的說，有兩類統(tǒng)計學。

第?類叫描述性統(tǒng)計學。舉個例子，要知道某個班的成績的基本情況，就要知道這個

班里每一個人、每一個學科的成績，和有關成績的所有情況，作為分析的基礎，然后利用平

均分、方差等等進一步定量分析，通常把這樣的一種研究數(shù)據(jù)的方法，稱之為描述性統(tǒng)計學,

很多領域都用描述性統(tǒng)計學。

第二類叫推斷統(tǒng)計學，數(shù)學上稱之為數(shù)理統(tǒng)計學。關于數(shù)理統(tǒng)計學，一個非常重要的

環(huán)節(jié)，就是要做抽樣，要用樣本來反映整體的情況。例如要了解全國中學生每天體育鍛煉的

時間，不必調(diào)查到所有中學生的鍛煉時間，只需要在不同區(qū)域選擇部分學校的部分學生進行

調(diào)查即可。

所以，對這兩種不同的統(tǒng)計學，我們要有一個基本的了解。在初中階段，希望老師能

夠引導學生體會利用統(tǒng)計解決問題的基本過程：從數(shù)據(jù)的收集到數(shù)據(jù)的衰示，比如用各種圖

表來呈現(xiàn)出這些數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中提取有用的信息，再比如要計算一些（測程）值，平均值,

方差，中位數(shù)等，這個過程是非常重要的。

為什么要研究這個過程？是希望能從這些數(shù)據(jù)中挖掘出有用的東西，來幫助我們解決

問題，比如剛才提到的比較兩個班的學習成績，就是要看能給提供什么樣的信息，以幫助我

們有針對性的改進教學。

再有合情推理與演繹推理這兩種思想在統(tǒng)計過程中得到了非常好的體現(xiàn)，他們在整個

數(shù)學的學習中都很重要。目前，在統(tǒng)計的執(zhí)筆測試中，對這部分內(nèi)容的要求并不是很高，而

是越來越側(cè)重怎么樣從數(shù)據(jù)出發(fā)去學。所以，要幫助學生體會這樣一個過程。統(tǒng)計的內(nèi)容并

不多，但是它的重要程度并不小，對將來學生進入社會以后的作用不可低估。

概率是概率論的原始概念，它是隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)字度量。在概率論中，

人們總是通過研究隨機試驗來研究隨機現(xiàn)象的。所以，探討隨機現(xiàn)象中隱藏的規(guī)律，實際上

就是探求隨機試驗的規(guī)律。

統(tǒng)計與概率所提供的這種“運用數(shù)據(jù)進行推斷”的思考方法已經(jīng)成為現(xiàn)代社會一種普

遍適用并且強有力的思維方式。這一部分知識是最接近數(shù)學本質(zhì)的。因為在我們生活中與數(shù)

學相關的知識大部分是無法用具體的表達式來刻回，而統(tǒng)計學恰恰解決了難于用簡潔的語言

來刻畫數(shù)學模型的問題。

《數(shù)學課程標準》把“統(tǒng)計與概率”單獨作為一塊內(nèi)容，是因為它的實用價值和教育

意義。義務教育階段，通過概率與統(tǒng)計的學習，應當使學生熟悉統(tǒng)計與概率的基本思想

方法，以隨機的觀點來理解現(xiàn)實世界。在面對大量數(shù)據(jù)和不確定情境時，能夠制定較為合

理的決策，逐步形成統(tǒng)計觀念，養(yǎng)成尊重事實、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度，增強用數(shù)學的意識。不

僅如此，讓學生了解隨機現(xiàn)象也有助于形成科學的世界觀和方法論。

1.從《新課程標準》看

統(tǒng)計與概率的主要內(nèi)容有：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、

繪制統(tǒng)計圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等；從數(shù)據(jù)中提

取信息并進行簡單的推斷；簡單隨機事件及其發(fā)生的概率。

在數(shù)學教學中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分

析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。

2.從《考試說明》看

2012年考試說明中提出“數(shù)學學科中考注重考查統(tǒng)計觀念"，其中對“根據(jù)統(tǒng)計結(jié)

果作出合理的判斷和預測，并能比較清晰地表達”、“能利用統(tǒng)計圖表解決簡單的實際

問題”提出了較高要求。

3.從生活、學習需求看

前面已經(jīng)說過，在我們的生活中離不開數(shù)據(jù)，需要從數(shù)據(jù)中獲得對自己有幫助的東西,

而學習這部分內(nèi)容是為了在生活中更好的利用數(shù)據(jù)為我們服務。

所以，無論從哪個角度看，這部分的內(nèi)容都十分重要。

（三）切實把握課標中對“統(tǒng)計與概率”的教學要求

新課程標準修訂稿中對統(tǒng)計與概率的要求如下：

1.經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程；能用計算器處理

較為復雜的數(shù)據(jù)。

2.體會抽樣的必要性，通過案例了解簡單隨機抽樣。

3.會制作扇形統(tǒng)計圖，能用統(tǒng)計圖直觀、有效地描述數(shù)據(jù)。

4.理解平均數(shù)的意義，能計算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢

的描述。

5.體會刻畫數(shù)據(jù)離中程度的意義，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差。

6.通過實例，了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，能畫頻數(shù)直方圖，能利用頻數(shù)直方圖解釋

數(shù)據(jù)中蘊涵的信息。

7.體會樣本與總體關系，知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體

方差。

8.能解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果作出簡單的判斷和預測，并能進行交流。

9.通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機現(xiàn)象的變化趨勢。

10.能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件

發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率。

11.知道通過大量地重復試驗，可以用頻率來估計概率。

課標對統(tǒng)計的教學要求多為“經(jīng)歷”“體會”“了解”等，這些就提示我們對于統(tǒng)計

的教學要設置合理的教學任務，使學生親自參與到全面調(diào)查或者抽樣調(diào)查的過程中，能夠用

適合的方法收集數(shù)據(jù)，并且將數(shù)據(jù)進行整理，運用適當?shù)姆椒ū硎緮?shù)據(jù)，并在此基礎上利用

相關的統(tǒng)計量進行數(shù)據(jù)分析，對統(tǒng)計問題作出簡單的判斷與預測。對于概率的教學，在體會

隨機性的過程中，會用列舉法求簡單隨機事件的概率（所涉及的古典概率，不需要用到排

列組合），以及了解概率的統(tǒng)計定義。這兩部分教學要依據(jù)課標要求，重在經(jīng)歷、體會。

不可省去過程，直接進入到公式的計算或圖表的分析。

（四）“統(tǒng)計與概率”的教學重點與難點

統(tǒng)計與概率學研究的對象、研究的思路與方式、以及獲得的研究結(jié)論的性質(zhì)，都與過

去學生所接觸到的數(shù)學內(nèi)容有根本的不同。

以往學的代數(shù)、幾何屬于“確定性”數(shù)學，學習時主要依賴邏輯思維和演繹的方法，

它們在培養(yǎng)學生的計算能力、邏輯思維能力和空間觀念方面發(fā)揮著重要作用。而統(tǒng)計與概率

屬于“不確定性”數(shù)學，要尋找隨機性中的規(guī)律性，學習時主要依靠辨證思維和歸納的方法,

它在培養(yǎng)學生的實踐能力和合作精神等方面更直接、更有效。具體從以下三個方面對比：

1.研究對象不同

由對確定性現(xiàn)象的研究變?yōu)閷Σ淮_定性現(xiàn)象的研究。對于不確定性的現(xiàn)象本身來講，

又有兩種情況：

拋擲一枚硬幣，我們不能確定是國徽面還是幣值面朝上，但可以確定“非此即彼”，

不存在“亦此亦彼”的問題，即這是一種結(jié)果出現(xiàn)的偶然性（又叫隨機性）問題。偶然

性是與必然性相對應的。偶然性刻畫的是認知對象出現(xiàn)（內(nèi)外）條件方面的不確定性，而關

于認知對象本身在類屬和性態(tài)方面的定義是完全確定的。

統(tǒng)計與概率研究的對象具有不確定性，但不確定性現(xiàn)象并不都是統(tǒng)計與概率研究的對

象。例如“兩個人長得像”的現(xiàn)象也是不確定的，它是一種更復雜的不確定性，我們把它

稱為模糊性。不確定性的隨機性與模糊性是有區(qū)別的：隨機性的不確定，反映在某事件是否

發(fā)生，判據(jù)是明確的：模糊性的不確定，反映在事件本身的涵義上，判據(jù)不分明。統(tǒng)計與概

率研究的是前者；后者是模糊數(shù)學研究的內(nèi)容。

2.研究的思路與方式不同

數(shù)學在研究確定性現(xiàn)象過程中所用的科學推理方式基本上屬于演繹推理的方式，由--

般到特殊；而統(tǒng)計學在研究不確定性現(xiàn)象時，由樣本推斷總體，使用的是歸納推理，而且很

多時候是不完全歸納推理。因此，統(tǒng)計學研究所獲得的結(jié)果不像以往學生學習的用演繹推理

所獲得的結(jié)果那樣“確定無疑”。

3.所獲得的結(jié)果不同

統(tǒng)計學所得到并予以接受的結(jié)果主要是局部的、歸納性的；而以往在確定性數(shù)學的學

習過程中，得到的經(jīng)常是較為一般性的、演繹的結(jié)果。

這些差異的存在，都會造成學生在學習統(tǒng)計與概率過程中的困難。

所以，“統(tǒng)計與概率”的教學重點與難點應該是使學生理解統(tǒng)計的思想和方法以及

概率的意義，突出其應用性，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力。而在實際

教學中，教師們更偏重于如何計算各種統(tǒng)計量，使得學生只會算，對其意義的理解不夠，有

的甚至對所列算式說不出根據(jù)。

二、“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的教學策略

(-)把握學生對統(tǒng)計與概率的認知基礎，遵循“最近發(fā)展區(qū)原則”

由于統(tǒng)計與概率的內(nèi)容從小學到初、高中，均有涉及，遵循新教材逐級遞進、螺旋上

升的編寫原則，山淺入深、山感性到理性，要求學生逐步掌握統(tǒng)計與概率的相關內(nèi)容并能

應用他們解決一些實際問題。所以，作為初中階段的教學，我們有必要了解新課程標準中初

中和小學對這部分的教學要求。

小學階段對統(tǒng)計與概率內(nèi)容的學習要求：分1-3,4-6兩個學段，學生經(jīng)歷簡單的數(shù)

據(jù)統(tǒng)計過程，學習收集、整理和描述數(shù)據(jù)的方法，并能夠根據(jù)數(shù)據(jù)分析的結(jié)果作出簡單的判

斷與預測；體會事件發(fā)生可能性的含義，并能計算一些簡單事件發(fā)生的可能性。

初中階段對統(tǒng)計與概率內(nèi)容的學習要求：體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思

想，進一步學習描述數(shù)據(jù)的方法，進一步體會概率的意義，能計算簡單事件發(fā)生的概率，具

體的對比分析如下表。

初中、小學“統(tǒng)計與概率”教學目標對比表

內(nèi)容小學初中區(qū)別

統(tǒng)計的過經(jīng)歷簡單的收集、整理、從事收集、整理、描述和從“經(jīng)歷”與“從事”這

程描述和分析數(shù)據(jù)的過程分析數(shù)據(jù)的活動，能用計兩個動詞中可以看出：小

(必要時可使用計算算器處理較為復雜的統(tǒng)學是在教師的引導下參與

器)。計數(shù)據(jù)統(tǒng)計的全過程，面對的問

題比較簡單；而初中更

多的是學生獨立從事統(tǒng)計

的全過程，面對的統(tǒng)計問

題比小學的稍微復雜一

些。

統(tǒng)計圖認識條形統(tǒng)計圖、折線會用扇形統(tǒng)計圖表示數(shù)初中在小學的基礎上，進

統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖；據(jù)；一步學習各種統(tǒng)計圖的應

根據(jù)需要，選擇條形統(tǒng)用，此外增加了畫頻數(shù)分

會列頻數(shù)分布表，畫頻數(shù)

計圖、折線統(tǒng)計圖直觀、布直方圖和頻數(shù)折線圖。

分布直方圖和頻數(shù)折線

有效地表示數(shù)據(jù)。所以，還要弄清頻數(shù)分布

圖。

直方圖與條形統(tǒng)計圖的區(qū)

別。

統(tǒng)計量理解并會求數(shù)據(jù)的平均會計算加權(quán)平均數(shù)，會計對于描述數(shù)據(jù)集中趨勢的

數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。算極差和方差，并會用它三個統(tǒng)計量的計算方法沒

們表示數(shù)據(jù)的離散程度變，只是數(shù)據(jù)山非負數(shù)擴

充到實數(shù)；進一步學習加

權(quán)平均數(shù)的計算方法；還

增加了刻畫數(shù)據(jù)波動情況

的極差與方差。

調(diào)查方法全面調(diào)查抽樣調(diào)查：用樣本估計總初中增加了樣本、總體等

體新的概念;要求學生體會

用樣本估計總體的思想以

及感受抽樣的必要性，體

會不同的抽樣可能得到不

同的結(jié)果。

概率的定可能性了解概率的意義小學沒出現(xiàn)概率的定義，

義只提出“事件的可能性”，

初中在此基礎上給出概率

的定義，并介紹了概率的

統(tǒng)計定義

概率的求體驗事件發(fā)生的等可能運用列舉法（包括列表、對于結(jié)果具有等可能性事

法性，會求一些簡單事件畫樹狀圖）計算簡單事件件的概率計算，初中在小

發(fā)生的可能性。發(fā)生的概率；知道大量重學基礎上，學習用列表、

復實驗時頻率可作為事畫樹狀圖計算簡單事件發(fā)

件發(fā)生概率的估計值。生的概率；還需要了解結(jié)

果不具有等可能事件的概

率求法，即用頻率估計概

率的方法。

通過對比初中、小學的學習目標，我們可以感受到：初中的部分學習內(nèi)容是在小學基

礎匕進一步加深與擴充，在教學時，對于學生已有知識不適宜作為新課講解，要抓住中小學

的區(qū)別，創(chuàng)設合適的情境，使學生在復習的基礎上鞏固深化，加深對知識的理解以及增強應

用意識。

還有一些內(nèi)容，是初中新增內(nèi)容，重點體現(xiàn)在增加了數(shù)據(jù)表示的方法以及分析的方法,

再有概率部分對隨機性的理解要求加強了。其中的大部分概念，學生理解不是特別困難，但

對于這兩部分蘊涵的統(tǒng)計思想和概率觀點，學生在學習的過程中會感到困難。

了解了以上的中小學差異，教學設計時就可以建立在學生已有知識水平的基礎上，增

強針對性，否則容易出現(xiàn)教學設計低于學生認知水平或遠遠高于學生能力的現(xiàn)象。

例如關于“確定事件與不確定事件”的教學，有的教師采用實驗的方法，設計一個情

境：“某大型游樂園，有一個摸獎的娛樂項目。摸獎的規(guī)則是：每一位持有游樂園門票的游

人，都有次摸獎機會。在裝有十個紅球的盒子、裝有十個白球的盒子以及裝有五個紅球五

個白球的盒子中任選一個，摸到紅球有獎，摸到白球沒有獎。如果你手持門票參與游戲，你

一定能獲獎嗎？”呈現(xiàn)問題后讓全班討論，哪一個盒子一定能摸到紅球？之后請三位同學分

別到講臺前參與游戲，其他學生展開想象，他們可能摸到紅球嗎？用''一定”“不可能”“可

能”來描述摸球試驗的結(jié)論，繼而舉出生活中的例子。在此基礎上進一步體會感知事件的發(fā)

生是“一定”、“不可能”、還是“可能”。接著給出想一想，判斷下列事件哪些是確定的？

哪些是不確定的？（1）太陽每天從東邊升起；（2）明天一定下雨；（3）擲硬幣一定國

徽面朝上等等。最終給出定義：必然事件：有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生（一定發(fā)

生）。不可能事件：有些事情我們事先能肯定它-,定不會發(fā)生（不可能發(fā)生）。必然事件、

不可能事件稱為確定事件。不確定事件：有些事情我們事先無法肯定它會不會發(fā)生（不一定

發(fā)生）。

事實上，這堂課學生最終學會的是什么。一是必然事件發(fā)生了，二是不可能事件沒

有發(fā)生，三是可能性事件不一定發(fā)生。我認為這樣的教學設計的效率比較低。關于什么叫必

然事件，什么叫不可能事件，什么叫隨機事件，特別是必然、不可能事件，對于學生來說,

應該是沒有太大的困難的。花這么長的時間來講必然事件，忽視了小學生都已經(jīng)能夠懂得，

在全是白球的盒里摸，肯定不能中獎；全是紅的肯定中獎，在中學花堂課來講，效率就比

較低了。一旦效率比較低的話，學生就沒有學習的興趣了，因為他很早就知道答案了。這時

的動手操作沒有太大的挑戰(zhàn)性，中學生的數(shù)學興趣沒有被真正激發(fā)起來。?開始強調(diào)在相同

條件下的必然事件，不可能事件和隨機事件是什么要告訴學生，但是用不著花這么多的時間

來區(qū)分這些事件。重要的應講清什么是隨機事件。一定是在相同條件下，可以重復實驗下，

可能發(fā)生可能不發(fā)生的?？梢栽O計一些問題來讓學生區(qū)分，不是在相同條件下的情形不確定

的事件；不能重復實驗的情形等等。

造成課堂教學效率低下的原因，可能是新增內(nèi)容的教學資源比較缺乏。我們應將重點

放在通過更多的例子，讓學生來區(qū)分這種偶然性，隨機性是什么。如果把必然事件，不可能

事件和隨機事件放在同等重要地位的話，就沒有突出這堂課的重點。整堂課上下來之后，學

生就會沒有覺得很多的新知，沒有挑戰(zhàn)，容易產(chǎn)生乏味，沒有興趣。事實上，初中學生的能

力水平，可以講得更多一些，突出統(tǒng)計和概率所研究的隨機現(xiàn)象的這種偶然性，它是怎么發(fā)

生的，這個隨機性具有什么樣的特征。應該把整堂課的教學的重點放在這個可能性事件，怎

么去刻畫和描述上。

例如：郵遞員投信的問題。就是人們寫信后，忘了在信封上寫地址，就把信投到信筒

里了.但是，剛?cè)舆M去，就立刻警覺了。等著那個開信箱的郵遞員來。郵遞員來開信箱后，

發(fā)現(xiàn)這種信封中有信，而信封上沒寫地址的不止一個。不能區(qū)分哪個是你所投的那個。后來,

人們發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象有很強的頻率穩(wěn)定性，它大概穩(wěn)定在百萬分之二十七左右。一個數(shù)據(jù)是俄

國數(shù)學家統(tǒng)計的，從1906年到1910年五年期間，這五年中有三年是百萬分之二十五，兩

年是百萬分之二十七。這樣一個許多人覺得沒有任何規(guī)律的東西,它也能出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性。

多舉一些這樣的例子，讓學生認識到隨機現(xiàn)象穩(wěn)定性的特征，比起僅讓學生討論比如

說，太陽升起、明天是否會下雨等太過簡單的例子，更有深刻性、更突出所要學習的統(tǒng)計與

概率的本質(zhì)。教學的重點，應該是隨機現(xiàn)象的理解上。

另外，在中學統(tǒng)計與概率的學習過程中，不要讓學生去背一些像定義一樣的東西。比

如說，像必然事件，不可能事件，學生能理解，它又不是一個非常嚴格的數(shù)學上的定義。學

生只要了解它，就行了。沒有必要把學生都懂的東西，一定要把它用一個定義的情形來描述

一下。數(shù)學定義要求總要用另一個詞來定義它，這是一個沒完沒了的東西，過分追求定義的

嚴謹性就不好了。學生用已有的一些樸素概念，可以很明白地進一步學習。如果用抽象的定

義來學習，學生反而更糊涂了。像現(xiàn)在概率教材里，有時候?qū)嶒炏露x。什么叫實驗，條

件出現(xiàn)一次叫做條件實現(xiàn)一次，叫做一次實驗。那么這比實驗還難懂。什么叫條件，什么叫

實驗一次。這就是我們一定要定義，反而使學生感到更困惑了。所以，樸素的概念只要學生

理解，不失科學性，不失真實性，我們還是盡量讓學生從更自然的角度上去接受，這樣更有

助于進一步的學習。

（二）使學生在統(tǒng)計活動的過程中學習統(tǒng)計

學生的生活經(jīng)驗中，潛在地存在統(tǒng)計意識。比如每年的聯(lián)歡會在采購前，生活委員一

定會調(diào)查同學的喜好，然后結(jié)合大多數(shù)同學的愛好進行采購。我們教學的重點是幫助學生挖

掘這種潛意識，注重培養(yǎng)學生有意識的從統(tǒng)計的角度思考有關問題，也就是當遇到有關問題

時能想到去收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)。

觀念的建立需要人們親身的經(jīng)歷。要使學生逐步建立統(tǒng)計觀念，最有效的方法是讓他

們真正投入到統(tǒng)計活動的全過程中去：提出問題，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決

策，進行交流、評價與改進。在參與活動中學會統(tǒng)計方法，滲透統(tǒng)計思想。從另一個角

度看，數(shù)學的發(fā)展往往也經(jīng)歷了這樣一個過程，首先是問題的提出，然后是收集與這個問題

相關的信息并進行整理，再根據(jù)這些信息做出一些判斷以解釋或解決開始提出的問題。提出

問題這點特別重要，沒有目的的問題，比如老師讓學生來數(shù)一數(shù)有班里有幾個人，年級有幾

位教師等，這樣的統(tǒng)計活動在學生心里會留下什么？問題的提出，要考慮學生的興趣，使他

樂于參與，而且應該有利于教師的學科寓教。例如，我們可以開展豐富多彩的問題調(diào)查活

動，如調(diào)查初中生的最喜愛的課外活動、最愛看的書、最喜歡的人物、最喜歡的科目等等，

也可以調(diào)查現(xiàn)階段學生的理想等。此外，調(diào)查的問題還可以從報刊雜志、電視廣播、網(wǎng)絡等

多方面尋找素材，但是要引導學生注意以上渠道提供的數(shù)據(jù)，其來源是否可靠、合理？利用

合理的調(diào)查素材，使學生在運用統(tǒng)計知識的同時，將統(tǒng)計作為了解社會的一個重要手段，提

高他們分析問題解決問題的能力，更好的認識現(xiàn)實社會，同時能理智的看待新聞媒介、廣告

等公布的數(shù)據(jù)，對現(xiàn)實世界中的許多事情形成自己的看法。

愛因斯坦說過：“純邏輯的思維不可能告訴我們?nèi)魏谓?jīng)驗世界的知識，現(xiàn)實世界的一

切知識是始于經(jīng)驗并終于經(jīng)驗的?！苯?jīng)驗性的觀察積累了數(shù)據(jù)，然后從數(shù)據(jù)做出某種判斷，

這種活動將有利于發(fā)展學生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新精神。

例如，在“數(shù)據(jù)的收集與整理”一節(jié)課的設計中，有的教師結(jié)合2008年北京奧運會在

班中開展了關于金牌數(shù)目猜想的調(diào)查，沒想到學生的積極性特別的高，學生以小組為單位，

查閱歷史資料，不僅查閱了歷屆各國金牌的數(shù)目，居然還對可能獲金牌的選手的近況進行分

析，調(diào)查的對象涉及家人、同學、教師等，然后將收集的數(shù)據(jù)選用合適的統(tǒng)計圖表示出來，

在此基礎上對08年中國奧運金牌數(shù)進行預測。在這個過程中，可以看出初中教材中許多統(tǒng)

計的內(nèi)容是不需要教師講的，而是學生在實際問題的解決中根據(jù)需要自己很容易獲得的，而

且這種根據(jù)自身需要獲得的知識是不容易遺忘的。所以，在這部分教學中，教師一定要給學

生展示的機會，在學生最需要教師的地方，我們再扶他們一把，千萬不能把學生已會的和不

會的一股腦當做新知教給他們，這樣將會扼殺學生學習的積極性和創(chuàng)造力。

總之，統(tǒng)計的教學中，一定要注意讓學生經(jīng)歷活動的全過程。不僅要收集數(shù)據(jù)、填寫

統(tǒng)計表，繪制統(tǒng)計圖、計算數(shù)據(jù)，而且感受統(tǒng)計圖表的作用，并從中得出相關的結(jié)論。

（三）創(chuàng)設合理的現(xiàn)實情境，使學生在其中體會統(tǒng)計對決策的影響

要培養(yǎng)學生從統(tǒng)計的角度思考問題的意識，重要的途徑就是要在教學中結(jié)合生活實例

展示統(tǒng)計的廣泛應用，使學生在親身經(jīng)歷解決實際問題的過程中體會統(tǒng)計對決策的作用。

例如：“極差、方差和標準差”教學設計

教師引言：剛剛結(jié)束的08北京奧運會我國取得了驕人的成績，以51金榮登奧運金牌

榜首.這包含了奧運健兒的血與汗，同時，我們也不得不佩服我國的教練，是他們慧眼識英

才，選出了每個項目的精英。就拿射擊冠軍杜麗來說吧，隊里有很多人也很有實力，可教練

憑什么選中她呢？除了個人素質(zhì)外，還要經(jīng)過層層比賽進行選拔，下表是杜麗與隊友武柳希

的一次預賽射擊成績。

（播放圖片一，同時教師提出問題）

順序

12345678910

環(huán)數(shù)

杜麗8.510.010.89.910.010.010.010.310.210.3

武柳希9.010.79.210.010.69.410.510.810.09.8

通過表中數(shù)據(jù)，你能運用學過的統(tǒng)計知識說明她們的教練王躍舫選擇杜麗上場的原

因嗎？

學生借助計算器，利用已學統(tǒng)計量（平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)）進行分析?？梢缘玫?

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

杜麗10.010.010.0

武柳希10.010.010.0

從這三個量來看，她們的成績一樣.這可怎么辦呢？教練是以什么為依據(jù)選拔的？今

天我們來共同揭開謎底。

請大家繼續(xù)觀察表中數(shù)據(jù)，提出：我們還能從哪些方面來說明這兩個人射擊成績的差

異呢？啟發(fā)學生借助圖象直觀地比較.學生很快地能夠想到初一學過的刻畫數(shù)據(jù)波動的折線

統(tǒng)計圖，讓學生動手畫圖。

借助圖象直觀的觀察，感到二人10次成績均呈現(xiàn)上下波動，且感覺杜麗的波動較小

些，那么如何刻畫它們的波動大小呢？以什么量為參照進行分析更合理呢？

引導學生分析出，由于關注的是所有數(shù)據(jù)的波動情況，而平均數(shù)是與所有數(shù)據(jù)有關的

量，表示所有數(shù)據(jù)的平均水平，所以選取平均數(shù)為參照更合適。要求學生在折線圖上畫出?

條表示平均數(shù)的水平直線，再觀察，你是否有新的發(fā)現(xiàn)？借助圖象可以直觀的感受每組數(shù)據(jù)

與平均數(shù)的偏差有大有小。

那么如何從數(shù)量上得到兩組數(shù)據(jù)的差異？

學生思考后，進行小組交流。有人提出：算出他們每個人的成績偏離平均數(shù)的差的平

均數(shù)。讓學生動筆，得到0,為什么會這樣呢？請學生闡述原因（正負抵消）。

那么，有什么辦法克服正負抵消呢？聯(lián)系以前學過的知識思考一下，學生山數(shù)據(jù)偏離

平均數(shù)的距離，聯(lián)想到絕對值，讓他們動筆操作計算，利用絕對值進行比較。

杜麗:(|8.5—10|+|10.0-10|+,,-+|10.3-10()=0.32

武柳希：^(|9-10|+|10.7-10|+-+|9.8-10|)=0.52

計算結(jié)果說明什么呢？

因為0.32<0.52,所以杜麗的成績偏離平均數(shù)的平均距離較小，也就是波動小，

成績相對穩(wěn)定。

教師質(zhì)疑，為什么要取距離的平均數(shù)，只求和行不行？學生思考，并請他們舉例說明

(當比較的兩組數(shù)據(jù)個數(shù)不同時利用總和進行比較就不合理了)。從而得到數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)

的平均距離：即每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的平均數(shù)。

數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的平均距離的作用：反映數(shù)據(jù)波動的大小。

而平均距離與每一個數(shù)據(jù)有關，更全面地反映了數(shù)據(jù)的波動大小，但計算時要取絕對

值，在以后的公式變形時不方便，所以統(tǒng)計中少用。

那么，還有什么辦法可以避免正負抵消呢？聯(lián)想已學的兩個非負數(shù)，除絕對值外還有

平方數(shù)，請學生嘗試用平方替代絕對值計算：

學生獨立完成后，組內(nèi)交流，并請??名學生板書過程。并闡述分析結(jié)果。

杜麗：白[(85-10)2+(10-10)2+--+(10.3-10):]=0.312

武柳希：\[(9.0-10)2+(10.7-10)2+…+(9.8-10)2]=0.378

因為0.312<0.378,所以杜麗的成績偏離平均數(shù)的平均波動較小，也就是成績相

對穩(wěn)定，所以比較后應選杜麗。

請學生觀察式子運算特征：

1.先求平均數(shù)；

2.再求數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方和；

4.求平方和的平均數(shù)。

你能結(jié)合這個例子，完成下面的問題嗎？

設三是n個數(shù)據(jù)x1,…，xn的平均數(shù)，各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù),

叫做這n個數(shù)據(jù)的方差(variance),用“s?”表示。你能寫出s2M的計算公式嗎？

要求學生獨立完成。學生由特殊到??般歸納得到：

2222

S=l[(X1-X)+(X2-X)+...+(Xfl-X)]

n

分析方差公式的構(gòu)成。并請學生說出方差的作用：描述一組數(shù)據(jù)波動大小(離散程度)。

即：方差的值越小，數(shù)據(jù)波動越小；方差的值越大，數(shù)據(jù)波動越大。也用他來描述數(shù)據(jù)偏離

平均數(shù)的情況，即刻畫離散程度。

請學生將新知識與已學平均數(shù)等統(tǒng)計量進行比較，得到：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)是描

述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差表示數(shù)據(jù)的波動大小。

注：這里應強調(diào)，比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小時，一般以兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或比較

接近為前提。

請學生小試牛刀，感受新知的應用。略。

這是一節(jié)極差、方差的概念形成課，教師注重從實際問題引入，讓學生站在問題的前

沿，引發(fā)他們的認知沖突，激發(fā)他們的探究欲望。整個設計中，學生積極參與并深入到知識

的發(fā)生、發(fā)展、形成過程中，由教師設置的問題鏈引導學生進行自主探究、合作交流，不僅

從“形”的角度獲得感性認識，而且從“數(shù)”的角度獲得理性認識，在“數(shù)”與“形”

的有機結(jié)合中形成概念，突出本節(jié)課的重點。學生在解決問題的過程中學會觀察、學會思考，

同時獲得研究問題的方法，從而提高分析問題、解決問題的能力，從中體會收獲的喜悅，更

重要的是體會到統(tǒng)計在決策中的重要性。

此外，我們可以讓學生統(tǒng)計商店一個月內(nèi)幾種商品的銷售情況，并對這個商店的進貨

提出你的建議；全球水資源的匱乏的事實眾所周知，請學生對自家或?qū)W校的用水情況進行統(tǒng)

計，并提出節(jié)水的合理化建議等等，讓學生對身邊他們感興趣的事情展開調(diào)查，并能夠結(jié)合

所得數(shù)據(jù)解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果進行簡單的判斷與預測，清晰的表達自己的觀點，能夠和

同伴交流，在解決問題的過程中，認識統(tǒng)計的作用，逐步樹立從統(tǒng)計的角度思考問題。

三、學生常見錯誤與問題的分析與解決的策略方法

(-)統(tǒng)計就是套公式計算嗎？

學習統(tǒng)計的核心目標就是發(fā)展學生的統(tǒng)計觀念。而在學生對統(tǒng)計有怎樣的印象的調(diào)查

中，不少學生回答：“統(tǒng)計不就是套公式計算嗎！”

說明什么？說明對統(tǒng)計知識的教學出現(xiàn)了偏差。我們的教學重視知識點的傳授，對統(tǒng)

計知識的考核也局限在知識點的考核。因此，不少教師在統(tǒng)計教學中重結(jié)果輕過程，認為

考試只考公式的應用，所以只要背熟公式，會計算就可以了。重點放在有關數(shù)據(jù)的計算匕

學生沒有經(jīng)歷統(tǒng)計過程，難以形成正確的統(tǒng)計觀念。

事實上，各個概念的計算方法和計算公式，不是初中統(tǒng)計學習的重點，因為有關的計

算，基本上涉及到就是四則運算，力口、減、乘、除，還有乘方，開方，這些計算方法在小學

已經(jīng)學習過，學生都已經(jīng)掌握，重要的是要讓學生理解，每一個概念的意義是什么。每一個

概念在實際使用過程當中，有什么優(yōu)勢，有什么局限性。教學時要淡化統(tǒng)計量的計算技巧，

突出統(tǒng)計量的特征和作用。不應過多地關注計算，特別是花大量的時間教學生一些簡便算

法，比如說同加一個數(shù)同減一個數(shù)，最后算出來的方差是不變的，什么同乘一個數(shù)或同除一

個數(shù)，算完了以后，比如有小數(shù)點，先同乘100,然后把小數(shù)點沒了最后再除過去什么，在

這個算的技巧上下功夫下得太多，學生的注意力容易轉(zhuǎn)移，也偏離了教學的重點。其實這些

內(nèi)容不是重點，特別是有了計算器以后，這些內(nèi)容都不重要，重要的是注意讓學生弄清每

個統(tǒng)計量的含義及作用。作為概念課的教學，“概念產(chǎn)生背景的合理性和應用性”是激發(fā)

學生自主學習新概念的突破口。所以要設置合理的問題情境，使每一個概念來源于生活，

反之應用于生活，學生才能有比較深刻的體會。比如極差，是一組數(shù)據(jù)里最大的減最小的

形成的，它與方差相比，用的數(shù)據(jù)比較少，只用到兩個極端的數(shù)據(jù)，所以它所提供的信息，

一般來說就沒有方差提供得好，因為它把中間那些數(shù)據(jù)都給舍掉了。但它的好處就是簡單、

快，比如我們要了解一天之內(nèi)的溫差，用極差一下就把一組數(shù)據(jù)的范圍就確定下來了。所以，

我們要關注的這些數(shù)學概念的意義差別，它們的適用范圍，缺點，局限性，而不是在計算上,

下太大功夫。這樣也就不會出現(xiàn)“統(tǒng)計就是套公式計算”這種對統(tǒng)計錯誤的認識啦！

弄清統(tǒng)計量的意義的好處還體現(xiàn)在考試中，舉個例子：

2011年北京市中考題第7題：10名同學分成甲、乙兩隊進行籃球比賽，它們的身高

(單位：cm)如下表所示：

隊員1隊員2隊員3隊員4隊員5

甲隊177176175172175

乙隊170175173174183

設兩隊隊員身高的平均數(shù)依次為石，石，身高的方差依次為w,W

下列關系中完全正確的是()。

(A)百=豆，S〉殳(B)豆，S/g

(C)鏟豆,S>W(D)S含殳

題目要求比較二人的平均數(shù)及方差。對于平均數(shù)，由于學生小學就非常熟悉，而且這

是一個生活中常用的概念，所以學生采用估值法或是直接計算等方法都很容易得到相等的結(jié)

論，而對于方差的比較，有的學生想用方差公式計算，但忘了公式或代入公式后計算有誤。

實質(zhì)上，只要明確方差的作用是刻畫數(shù)據(jù)的波動狀態(tài)，認真分析兩組數(shù)據(jù)，就很容易得到乙

隊的數(shù)據(jù)波動較大，所以選B選項，根本不需要計算，省時、省力、還不容易出錯。由此

可見教學中要讓學生弄清統(tǒng)計量的意義很重要。

(二)這樣抽樣合理嗎？

前面提到過，數(shù)理統(tǒng)計學的?個非常重要的環(huán)節(jié)，就是要做抽樣，要用樣本來反映整

體的情況。但是如何抽樣才能達到調(diào)查的目的，這是不少學生感覺困難的問題。比如某校

要了解初中學生課余體育鍛煉的時間，以便改進集中體育活動的時間，請學生做調(diào)查。有的

學生只在本班同學中逐調(diào)查；有的同學到操場上對部分同學進行調(diào)查；有的只調(diào)查了各年

級自己認識的40多個同學…他們抽樣的結(jié)果能作為學校改進活動時間的依據(jù)嗎？顯然有

失偏頗，有的老師要求學生調(diào)查居住小區(qū)內(nèi)人們鍛煉情況，學生只考慮調(diào)查同齡人，或者只

調(diào)查晨練的老年人等等,肯定也不合理，那么抽樣的注意事項是什么呢？還以這個問題為例：

首先要根據(jù)學校的學生總數(shù)，確定樣本容量，容量太小，不具有代表性，容量太大，

費時費力；其次，要選擇調(diào)查的地點，應盡可能涉及到各類學生，比如圖書館、運動場等，

僅在一個地方調(diào)查，很容易缺乏代表性，比如只選擇運動場，一定會得出結(jié)論，學生的每天

運動時間過長，反之，只在圖書館做調(diào)查，一定會得到鍛煉時間嚴重不足的結(jié)論。此外，還

要考慮到各年級的學業(yè)負擔不同而導致業(yè)余時間不同，因此應分年級調(diào)查等，可見，在抽樣

的過程中，要考慮的因素非常多，也比較復雜。初中階段讓學生明確取樣時要結(jié)合調(diào)查的目

的，確定調(diào)查對象以及調(diào)查方法，使之盡可能的具有代表性即可。

(三)頻率就是概率嗎？

教學中，經(jīng)常聽到學生這樣敘述：“頻率就是概率?！被蛘摺皩嶒灤螖?shù)越多，用頻

率估計概率越準確”。這樣的敘述準確嗎？嚴密嗎？概率與頻率之間到底是什么樣的關系？

學生理解起來很困難。

首先，頻率不是概率，頻率和概率是兩個不同概念，頻率與實驗的次數(shù)有關，而頻率

的穩(wěn)定性又說明了概率是一個客觀存在的數(shù)，是隨機事件自身的一個屬性，它與實驗次數(shù)

無關。雖然在概率計算中，我們一般用事件發(fā)生的頻率去代替概率，但這并不代表頻率就

是概率。它們二者之間的關系可以借助下面的例子來體會:我們每個人都有一個確定的高度,

我們把它叫做“真實高度”，但在同一時刻用不同的量具去測量，總會有誤差，測得的數(shù)值

總是穩(wěn)定在你的“真實高度”的附近，而很難得到你的“真實高度”值。事實上，我們一般

就用測量所得的近似值去代替你的“真實高度”。只不過根據(jù)實際要求選擇精度不同的量具

罷了。這里你的“真實高度”與測得數(shù)值之間的關系完全等同概率與頻率之間的關系。

因此，頻率既有隨機性（每人每次實驗都是變化的），又有規(guī)律性（也就是穩(wěn)定性），

即隨機事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值就是概率，人們也就把頻率穩(wěn)定的中心值作為事件發(fā)生的概

率?于是我們可以說“頻率是概率的估計”、“頻率的穩(wěn)定值就是概率”，但不能說“頻率

的穩(wěn)定值是概率估計值”。頻率的穩(wěn)定性是概率論的理論基礎。

對概率與頻率的關系的認識可以分三個層次進行教學。

直觀認識：概率描述事件發(fā)生的可能性大小，它是事件本身唯一確定的一個常數(shù)；頻

率反映在n次實驗中，事件發(fā)生的頻繁程度。一般地，如果一個事件的概率較大，頻率也

較大，概率較小，頻率也較小。反之也對。

具體實驗：通過大量重復實驗，借助圖形表示頻率的穩(wěn)定性規(guī)律：隨著實驗次數(shù)的增

多，頻率的波動越來越小，逐漸穩(wěn)定在?個常數(shù)附近。但應該認識到頻率的不確定性，即當

實驗次數(shù)較少時，頻率的波動可能比較大。

精確刻畫：以擲硬幣為例，已知“正面向上”的概率為0.5,擲兩次硬幣，可能

頻率是0.5,用頻率估計概率的誤差為0；而擲100次硬幣，也可能頻率為0.2,

誤差為0.3。顯然上面的敘述不嚴密，太絕對了。比較嚴格的敘述為：“當實驗次數(shù)較

少時，用頻率估計概率誤差較小的可能性較小，實驗次數(shù)越多，用頻率估計概率誤差較小的

可能性越大”。建議參看教材閱讀材料：

歷史上科學家擲幣實驗的記錄

實驗者擲幣次數(shù)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)頻率

?.摩根204810610.5181

蒲豐404020480.5069

德.摩根409220480.5005

費勒1000049790.4979

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005

羅曼諾夫斯基80640396990.4923

（四）抽簽跟先后順序有關嗎？

在生活中，經(jīng)常有這樣一個現(xiàn)象：利用抽簽決定某件好事時，經(jīng)常會出現(xiàn)大家爭搶著

抓簽的現(xiàn)象，因為一部分人有這樣的心理，認為先拿到簽，獲勝的機會就會多些，事實是這

樣嗎？有的教輔材料中也給出抽簽與先后順序有關的解釋。那么到底有沒有關系呢？我們建

議在教學中可以分兩步澄清學生對這個問題的認識。

第一步，摸球?qū)嶒灒好拷M準備一個紙盒和三個球，其中一個紅球，兩個白球。摸到紅

球表示勝。要求甲、乙、丙三個學生依次去摸，記下每人摸到的球的顏色。然后，每組做大

量的重復實驗，再將全班的實驗結(jié)果累加統(tǒng)計?？纯疵咳嗣郊t球的可能性是不是三分之一。

通過這樣的實