有限元數(shù)值求解微分方程原理及其約束條件的處理方法xx市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

有限元數(shù)值求解微分方程原理

及其約束條件處理方法課程：計(jì)算機(jī)在材料科學(xué)中應(yīng)用單位：湖北工業(yè)大學(xué)2月第1頁(yè)微課內(nèi)容摘要

在講述有限元數(shù)值求解微分方程過(guò)程原理基礎(chǔ)上，針對(duì)各種初值與邊界約束條件，重點(diǎn)提出了一個(gè)可行處理方法。該方法簡(jiǎn)練清楚，易學(xué)易用，對(duì)學(xué)習(xí)了解有限元法含有啟發(fā)性。同時(shí)，這種方法含有可靠依據(jù)，加以引申可拓展有限元對(duì)約束條件適定范圍，其理論推導(dǎo)值得深思。第2頁(yè)1.1普通二階線性微分方程形式1、預(yù)備知識(shí)第3頁(yè)例1:詳細(xì)二階線性微分方程及約束條件改寫(xiě)第4頁(yè)1.2最簡(jiǎn)積分型泛函1、預(yù)備知識(shí)例2：第5頁(yè)1、預(yù)備知識(shí)1.2最簡(jiǎn)積分型泛函第6頁(yè)有限元法數(shù)值求解微分方程過(guò)程原理第7頁(yè)伽遼金變分方法第8頁(yè)2、泛函方程近似求解近似解思緒：就是將無(wú)限維函數(shù)解空間降維處理。

詳細(xì)說(shuō)，就是結(jié)構(gòu)有限N維函數(shù)空間，在每一維函數(shù)坐標(biāo)確定一個(gè)基函數(shù)，同時(shí)每個(gè)基函數(shù)滿(mǎn)足初始或邊界條件。N個(gè)基函數(shù)要求線性無(wú)關(guān)，由這N個(gè)基函數(shù)進(jìn)行唯一線性結(jié)合，作為連續(xù)泛函方程近似解。

伴隨N維數(shù)增加，解子空間擴(kuò)大，近似解精度提升。2.1近似求解思想第9頁(yè)如左圖所表示，用4維函數(shù)空間4個(gè)基函數(shù)線性組合去近似更高維（或無(wú)限維）函數(shù)圖14維函數(shù)空間選取4個(gè)基函數(shù)第10頁(yè)因?yàn)槊總€(gè)基函數(shù)滿(mǎn)足約束條件，所以連續(xù)Galerkin變分形式可無(wú)須考慮約束條件。第11頁(yè)第12頁(yè)例4：兩點(diǎn)邊值問(wèn)題：

暫無(wú)須考慮邊界兩點(diǎn)約束條件，上述定解問(wèn)題對(duì)應(yīng)等價(jià)泛函形式：

2.2泛函方程近似求解實(shí)例第13頁(yè)第14頁(yè)第15頁(yè)微分方程有限元法數(shù)值求解過(guò)程原理第16頁(yè)3有限元法求解微分方程及約束條件處理xxxxx

3.1限元法思想將解空間區(qū)間分段，解函數(shù)在每段上用拉格朗格插值基函數(shù)進(jìn)行擬合，最終進(jìn)行約束處理。1.021.251.751.51.751.251.02.01.5y(1)y(1.25)y(1.5)y(1.75)y(2)YX·····第17頁(yè)第18頁(yè)第19頁(yè)第20頁(yè)第21頁(yè)疊加形成“總體剛度矩陣”

和“總體截荷向量”：第22頁(yè)微分方程有限元法數(shù)值求解過(guò)程原理第23頁(yè)3.2、微分方程約束條件處理

例4（續(xù)）兩點(diǎn)邊值問(wèn)題：

現(xiàn)考慮邊界兩點(diǎn)約束條件，即對(duì)總體剛度矩陣與截荷矩陣附加約束。但先要對(duì)所給初始邊界條件改寫(xiě)，使之與第三類(lèi)約束條件在形式上對(duì)應(yīng)相符：第24頁(yè)第25頁(yè)***初始及邊界條件處理技巧第26頁(yè)第27頁(yè)第28頁(yè)第29頁(yè)第30頁(yè)第31頁(yè)第32頁(yè)

1）總結(jié)：

a）本微課中對(duì)約束條件處理適用

于以下4個(gè)式子兩兩任意組合。

4總結(jié)與思索 b）本微課中對(duì)約束條件處理方

法理論依據(jù)是微分方程對(duì)應(yīng)

變分形式。第33頁(yè)伽遼金變分方法第34頁(yè)2)思索：a）微分方程第三類(lèi)約束條件是如

何產(chǎn)生？它有何理論意義或含義？ b）討論與作業(yè)：下兩點(diǎn)邊值問(wèn)題約