廣東省實驗中學2024屆高三第三次調研數(shù)學試卷含答案解析

廣東實驗中學2024屆高三第三次調研數(shù)學命題：張平劉濤審定：劉濤校對：王隆華本試卷共5頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卷上.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卷收回.第一部分選擇題（共60分）一．單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，，則的真子集的個數(shù)為（

）A．9 B．8 C．7 D．62．若，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．4．將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前10項和為（

）A． B． C． D．6．設，為任意兩個事件，且，，則下列選項必成立的是（

）A． B．C． D．7．已知四棱錐中，側面底面，，底面是邊長為的正方形，是四邊形及其內部的動點，且滿足，則動點構成的區(qū)域面積為（

）A． B． C． D．8．已知是雙曲線的兩個焦點，為上除頂點外的一點，，且，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二．多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9．對于下列四種說法，其中正確的是（

）A．的最小值為4 B．的最小值為1C．的最小值為4 D．最小值為10．已知函數(shù)．若將的圖象向左平移個單位長度后，在上有且只有兩個零點，則的取值可以是（

）A． B．3 C．4 D．11．已知函數(shù)分別與直線交于點A，B，則下列說法正確的（）A．的最小值為B．，使得曲線在點A處的切線與曲線在點B處的切線平行C．函數(shù)的最小值小于2D．若，則12．已知橢圓上有不同兩點，，，則（

）A．若過原點，則B．，的最小值為C．若，則的最大值為9D．，，異于點，若線段的垂直平分線與軸相交于點，則直線的斜率為第二部分非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．的展開式中的常數(shù)項為.14．已知數(shù)列中，，，，則．15．如圖，在中，，過的中點的動直線與線段交于點，將沿直線向上翻折至，使得點在平面內的射影落在線段上，則斜線與平面所成角的正弦值的最大值為．16．設函數(shù)，.若在恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本題10分）在中，分別是的內角所對的邊，且.(1)求角的大??；(2)若，，求邊.18．（本題12分）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．19．（本題12分）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，，，．(1)若，求證：平面；(2)若平面與平面ABCD夾角的余弦值為，求的值．20．（本題12分）設有甲、乙、丙三個不透明的箱子，每個箱中裝有除顏色外都相同的4個球，其中甲箱有2個籃球和2個黑球，乙箱有3個紅球和1個白球，丙箱有2個紅球和2個白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個球，若從甲箱中摸出的2個球顏色相同，則從乙箱中摸出1個球放入丙箱，再從丙箱中一次摸出2個球；若從甲箱中摸出的2個球顏色不同，則從丙箱中摸出1個球放入乙箱，再從乙箱中一次摸出2個球.(1)若最后摸出的2個球顏色不同，求這2個球是從丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每個紅球記2分，每個白球記1分，用隨機變量表示最后摸出的2個球的分數(shù)之和，求的分布列及數(shù)學期望.21．（本題12分）已知拋物線：，直線，且點在拋物線上．(1)若點在直線上，且四點構成菱形，求直線的方程；(2)若點為拋物線和直線的交點（位于軸下方），點在直線上，且四點構成矩形，求直線的斜率．22．（本題12分）已知函數(shù)（），為的導數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)當時，求證：．參考答案：1．C2．B3．A4．A5．D6．D7．B【詳解】取線段的中點，連接、，因為，為的中點，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為平面，則，因為四邊形是邊長為的正方形，則，所以，，，所以，點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓及其內部，因此，動點構成的區(qū)域面積為.故選：B.8．A【詳解】

設，顯然，則，所以的離心率．由于，所以，所以的取值范圍是；故選：A9．BD10．BC11．AB【詳解】設，對于A項：由題意可得，解得，所以，構建，則在上單調遞增，且，當時，；當時，；則在單調遞增，在上單調遞減，所以，故，即的最小值為，故A正確；對于B項：∵，，可得，，即函數(shù)在點處切線的斜率為，函數(shù)在點處切線的斜率為，令，整理得，故原題意等價于方程有根，構建，故原題意等價于有零點，因為，則有零點，故B正確；對于C項：構建，因為在上單調遞增，且，，則存在，使得，整理得，當時，；當時，；則在上單調遞減，在單調遞增，所以，（由于，故等號取不到），又因為，則，即函數(shù)的最小值大于2，故C錯誤；對于D項，∵，即整理得：，由可知：，則有：當時，則，可得；當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述；若，則，故D錯誤.故選：AB.12．ABD【詳解】因為橢圓，所以，則是其右焦點，對于A，設橢圓的左焦點為，因為過原點，所以由橢圓的對稱性易知四邊形是平行四邊形，則，故A正確；對于B，因為，則，又，所以，當在線段與橢圓的交點位置時，等號成立，故B正確；對于C，當軸，點為橢圓的右頂點時，滿足，此時，但，故C錯誤；對于D，因為在橢圓上，所以，，所以，同理：，而由，可知，所以由，得，則，故可設的中點坐標為，又在橢圓上，所以，，兩式相減，得，所以.所以直線的斜率為，則直線的方程為，令，得，即，所以直線的斜率，故D正確.故選：ABD.13．4014．15．【詳解】中，根據(jù)余弦定理，，根據(jù)正弦定理，得，由知，則，如圖1，以底面點為空間原點建系，根據(jù)底面幾何關系，得點，設點，點的投影在軸上，即，由，根據(jù)兩點間距離公式，可得，整理為．

圖1

圖2如圖2，在翻折過程中，作于點，則，并且平面，所以平面平面，所以，即，其中．又動點在線段上，設，所以，且．由，得，又因為，對應的的取值為，即，由已知斜線與平面所成角是，所以．故斜線與平面所成角的正弦值的最大值為．故答案為：．16．【詳解】在恒成立等價于，所以，即對任意恒成立，設，則所以，當時，，函數(shù)單調遞增，且當時，，當時，，若，則，若，因為，且在上單調遞增，所以，綜上可知，對任意恒成立，即對任意恒成立.設，，則，所以在單調遞增，所以，即a的取值范圍為．故答案為：17．【詳解】（1）由和正弦定理可得：，整理得：，由余弦定理得：，因，故得：.（2）由，可得：，又由正弦定理：可得：，由（1）知，代入解得：.18．【詳解】（1）由，得，所以．所以數(shù)列是常數(shù)列．又，所以．所以．（2）因為，所以數(shù)列的前n項和．19．【詳解】（1）如圖1，連接，設．在直四棱柱中，O為菱形對角線的交點，所以O為對角線的中點．當時，E為的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．

（2）如圖2，設CD的中點為F，連接AF．因為為等邊三角形，所以．又，所以．又平面ABCD，所以，．以A為坐標原點，建立如圖2所示的空間直角坐標系．則，，，，，．所以，，，．設平面的一個法向量為，則即取，則，，所以．又平面ABCD的一個法向量為，所以．因為平面與平面ABCD夾角的余弦值為，所以，解得．

20．【詳解】（1）記事件為最后摸出的2個球顏色不同，事件為這2個球是從丙箱中摸出的，又，有；（2）由條件知，3，4，且，，，的分布列為：X234P故.21．【詳解】（1）由題意知，設直線．聯(lián)立得，則，，則的中點在直線上，代入可解得，，滿足直線與拋物線有兩個交點，所以直線的方程為，即．

（2）當直線的斜率為或不存在時，均不滿足題意．由得或（舍去），故．方法一：當直線的斜率存在且不為時，設直線．聯(lián)立得，所以．所以．同理得．由的中點在直線上，得，即．令，則，解得或．當時，直線的斜率；當時，直線的斜率不存在．所以直線的斜率為．方法二：設，線段的中點，則．由，得，即．所以．又，故可轉化為，即．解得或．所以直線的斜率．當