導(dǎo)數(shù)壓軸題中的虛設(shè)零點(diǎn),整體代換講義 高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

導(dǎo)數(shù)壓軸題中的虛設(shè)零點(diǎn),整體代換對(duì)于導(dǎo)數(shù)壓軸試題中的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問(wèn)題,經(jīng)常虛設(shè)零點(diǎn),整體代換,可以化繁為簡(jiǎn),化抽象為具體,順利實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.本文以幾道導(dǎo)數(shù)壓軸試題進(jìn)行說(shuō)明.例1.已知函數(shù),且.(1)求;(2)證明:存在唯一的極大值點(diǎn),且.解析:(1),過(guò)程略.(2),.,.令得.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;有最小值.結(jié)合,畫(huà)出的大致圖像,如圖(1)所示. 圖(1)可知存在一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為.即,.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;故函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn).由,可得.故.令,.由得在上單調(diào)遞增,則有,即.綜合上述分析有存在唯一的極大值點(diǎn),且.簡(jiǎn)評(píng):的零點(diǎn)不可求,但是考查其單調(diào)性以及特殊值,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可知存在隱零點(diǎn),隱零點(diǎn)的區(qū)間為,且將替換成為,如此一來(lái)解題過(guò)程不僅嚴(yán)密,而且思路自然流暢,一氣呵成.本道高考試題充分體現(xiàn)了虛設(shè)零點(diǎn),整體代換的強(qiáng)大作用.例2.討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)時(shí),.證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)()有最小值.設(shè)的最小值為,求函數(shù)的值域.解析:(1),,在和上單調(diào)遞增.顯然,,所以當(dāng)時(shí),,即,故有.,,.令.由第(1)步在上單調(diào)遞增可得在上單調(diào)遞增.又,,故存在唯一的,使得,即,故.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故,此即為.令,.由可知在單調(diào)遞增,故有,即.簡(jiǎn)評(píng):的零點(diǎn)不可求,但是考查其單調(diào)性以及特殊值,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可知存在隱零點(diǎn),隱零點(diǎn)的區(qū)間為,且將替換成為,順利實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.例3.已知函數(shù).證明:當(dāng)時(shí),.證明:,.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,且只有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為.即.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故.由得,,,,化簡(jiǎn)得.故.故,即當(dāng)時(shí),.簡(jiǎn)評(píng):的零點(diǎn)不可求,但是考查其單調(diào)性以及和的圖像關(guān)系可知存在隱零點(diǎn),隱零點(diǎn)的區(qū)間為,且將替換成為,將替換成為,順利實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.例4.已知函數(shù),(1)略.(2)當(dāng)時(shí),求證:.證明:.當(dāng)時(shí),,,,.故只需證.令,,在上單調(diào)遞增.由,,可知存在,使得.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故.由得,,即,.則.故,則當(dāng)時(shí),.簡(jiǎn)評(píng):的零點(diǎn)不可求,但是考查其單調(diào)性以及特殊值,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可知存在隱零點(diǎn),隱零點(diǎn)的區(qū)間為,且將替換成為,將替換成為,順利實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.通過(guò)上述幾道試題的分析,不難發(fā)現(xiàn)全國(guó)卷高考試題偏愛(ài)此類導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問(wèn)題.對(duì)于導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求的問(wèn)題,在虛設(shè)零點(diǎn),整體代換的過(guò)程中必須把握好兩個(gè)原則.原則一:在虛設(shè)零點(diǎn)的過(guò)程中,對(duì)隱零點(diǎn)的估值區(qū)間要盡量縮小.原則二:在整體代換的過(guò)程中,要把握好用什么樣的式子代替什么樣的式子(其依據(jù)是使得計(jì)算簡(jiǎn)潔,解題過(guò)程流暢).如果忽略了這兩個(gè)原則,不僅會(huì)使得解題過(guò)程較為繁瑣,甚至?xí)贸鲥e(cuò)誤結(jié)果.練習(xí)1:已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使得成立,求整數(shù)的最小值.解析:由已知有.令,只需.,,在上單調(diào)遞增.由,,可知存在,使得.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故.由得,,即.則.當(dāng)時(shí),,則.故整數(shù)的最小值為0.練習(xí)2:已知函數(shù),證明:當(dāng)時(shí),不等式.證明:,.由,得在上單調(diào)遞增.又,,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知,