9.2-二重積分的計算法省公開課一等獎全國示范課微課金獎課件

1利用直角坐標計算二重積分小結思索題作業(yè)利用極坐標計算二重積分doubleintegral9.2

二重積分計算法第9章重積分第1頁2本節(jié)介紹計算二重積分方法:二重積分化為累次積分(即兩次定積分).第2頁3(1)

積分區(qū)域為：其中函數在區(qū)間[a,b]上連續(xù).一、利用直角坐標計算二重積分第3頁4計算截面面積(紅色部分即A(x0))＊以D為底,以曲面z=

f(x,y)為頂曲頂柱體體積.應用計算“平行截面面積為已知立體求體積”方法.用二重積分幾何意義說明其計算法是區(qū)間曲邊曲邊梯形.為底,曲線z=

f(x0,y)為z=

f(x0,y)因為第4頁5是區(qū)間為底,曲線z=f(x0,y)為曲邊有:＊先對y后對x二次積分稱為累次積分.z=

f(x0,y)曲邊梯形.X－型第5頁6(2)

積分區(qū)域為：Y－型先對x后對y二次積分也即其中函數在區(qū)間[c,d]上連續(xù).第6頁7特殊地如D是上述矩形域,得即等于兩個定積分乘積.注D為矩形域:則則第7頁8abdc

計算結果一樣.又是Y型:(3)積分區(qū)域D既是X型:但可作出適當選擇.第8頁9(4)若區(qū)域如圖,在分割后三個區(qū)域上分別使用(用積分區(qū)域可加性質)D1、D2、D3都是X型區(qū)域則必須分割.穿過區(qū)域且平行于y軸直線X型區(qū)域特點:與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.穿過區(qū)域且平行于x軸直線Y型區(qū)域特點:與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.積分公式.第9頁10考研數學一,選擇,4分第10頁11第11頁12例解

積分域既是X型又是Y型法一所圍平面閉區(qū)域.兩曲線交點計算二重積分先對y后對x積分.第12頁13？先對x后對y積分法二計算二重積分時,適當地選擇積分次序小結十分主要,它不但包括到計算繁簡問題,而且有時出現能否進行計算問題.第13頁14練習計算二重積分所圍成平面區(qū)域.解其中D是由直線原式=碩士考題(三,四)7分

積分域既是X型又是Y型原式=?不易積分!第14頁15例siny2對y積分而它對x積分交換積分次序方法是:改寫D為:oxy

分析所以將二次積分先將所給積分域(1)(2)畫出積分域草圖(3)計算二次積分不能用基本積分法算出,可用基本積分法算出.交換積分次序.用聯立不等式表示D:計算二次積分第15頁16oxy第16頁17解練習交換積分次序第17頁18凡遇以下形式積分:等等,一定要放在后面積分.第18頁19例交換積分次序:解畫出積分區(qū)域草圖:原式=交換積分次序步驟(1)將已給二次積分積分限得出對應(2)按相反次序寫出對應二次積分.并畫出草圖;二重積分積分區(qū)域,交換積分次序第19頁20二次積分一定能交換次序?答:不一定!當f(x,y)在所考慮區(qū)域上連續(xù)時,二次積分能夠交換積分次序.第20頁21解原式=交換積分次序:練習第21頁22設函數f(x,y)連續(xù),則練習考研數學(二),選擇4分C第22頁23例

左邊累次積分中,積分域可表為提醒定積分與積分變量記法無關不能詳細計算.所以,f(y)是y抽象函數,證畢.先交換積分次序.二重積分與定積分關系相關證實求證第23頁24碩士考題(數學一)4分練習設f(x)為連續(xù)函數,等于解先交換積分次序.積分上限函數第24頁25求兩個底圓半徑為R,且這兩個圓柱面方程

解

求所圍成立體體積.?還有別做法嗎

求體積等實際問題例分別為第25頁26某城市受地理限制呈直角三角形分布,解

試計算該市總稅收收入.這是一個二重積分應用問題,臨一條河.斜邊和12km,因為交通關系,城市發(fā)展不太平衡,這一點可從稅收情況反應出來.若以兩直角邊為坐標軸建立直角坐標系,則位于x軸和y軸上城市長度各為16km且稅收情況與地理位置關系大致為其中積分區(qū)域D圍成.于是所求總稅收收入為(萬元).例由x軸、y軸及直線第26頁27設函數f(x,y)連續(xù),則二次積分練習考研數學(二)選擇4分第27頁28例分析由被積函數表示式及積分區(qū)域情況,公共部分面積.解無公共部分,第28頁29例無公共部分,總而言之,第29頁30兩相鄰弧半徑平均值.內取圓周上一點其直角坐標則設為二、利用極坐標系計算二重積分第30頁31得即也即極坐標系中面積元素第31頁32(1)積分區(qū)域D:θθ其中函數第32頁33(2)積分區(qū)域D(曲邊扇形):第33頁34極坐標系下區(qū)域面積(3)積分區(qū)域D:

注普通,在極坐標系下計算:θ第34頁35直角坐標系與極坐標系中圓方程直角坐標極坐標直角坐標極坐標第35頁36直角坐標極坐標直角坐標極坐標第36頁37直角坐標極坐標第37頁38解所圍成平面閉區(qū)域.例及直線

正確選擇適當坐標系計算二重積分其中D為由圓極坐標如被積函數為時,圓域、扇域、環(huán)域、環(huán)扇域等或其一部分則用極坐標計算.等形式,或積分域為第38頁39解雙紐線求曲線所圍成圖形面積.例依據對稱性有在極坐標系下由得交點面積第39頁40碩士考題(一,二)10分設區(qū)域練習計算二重積分解對稱性極第40頁41解a例(1)在極坐標系下計算反常積分計算(2)(1)該積分在直角坐標下無法計算.第41頁42解顯然,計算反常積分(2)考慮無界區(qū)域上二重積分其中D是全坐標平面.由(1),Da表示圓域:于是概率積分第42頁43或解顯然有計算反常積分(2)因為所以第43頁44又因為對稱性質第44頁45概率積分夾逼定理即所求反常積分因為所以第45頁46例計算

分析從被積函數看,用極坐標系要簡單些,但從積分域D形狀看宜.用卻又以直角坐標系為在二者不可兼得情況下,應以D形狀來決定用什么坐標系,此題用直角坐標系.第46頁47第47頁48解例寫出積分極坐標二次積分其中積分區(qū)域形式,在極坐標系下圓方程為直線方程為

直角坐標化為極坐標系下二次積分形式第48頁49將直角坐標系下累次積分:化為極坐標系下累次積分.oxy解練習原式=第49頁50碩士考題(一,二)選擇4分設f(x,y)為連續(xù)函數,則練習等于oxy極坐標化為直角坐標二次積分形式第50頁51碩士考題(數學二),4分練習設函數f(u)連續(xù),區(qū)域等于第51頁52因被積函數D2極坐標例分析故在積分域內變號.D1解被積函數帶絕對值、最大(小)值符號積分二重積分第52頁53

計算解

積分區(qū)域D關于x軸對稱,被積函數關于y為偶函數.原式=記D1為Dy≥0部分.則練習D1第53頁54其中選擇適當坐標計算:解原式=

練習積分區(qū)域可加性第54頁55其中選擇適當坐標計算:解原式=

第55頁56

二重積分計算規(guī)律再確定交換積分次(1)交換積分次序:先依給定積分次序寫出積分域D不等式,并畫D草圖;序后積分限;(2)

如被積函數為時,圓域、扇域、環(huán)域、環(huán)扇域等或其一部分則用極坐標計算;等形式,或積分域為第56頁57

(3)注意利用對稱性質,方便簡化計算;(4)當被積函數含有絕對值函數、符號普通將積分區(qū)域適當分塊,使函數(sgn)、取大或取小函數(max或min)等特殊函數時,被積函數在各子塊上都表示為初等函數形式,然后分別計算之.第57頁58計算二重積分極坐標例將D分成D1與D2兩部分.其中解碩士考題數學(二,三,四)9分因為直角坐標D1D2第58頁59其中所以第59頁60碩士考題,7分練習計算二重積分其中

解

設第60頁61考研數學(二,三,四)11分練習設二元函數解

計算二重積分其中由區(qū)域對稱性和被積函數奇偶性有其中D1為D在第Ⅰ象限部分,而其中第61頁62練習設二元函數計算二重積分其中因為直極所以考研數學(二,三,四)11分第62頁63練習證法一交換積分次序化為累次積分設f(t)為連續(xù)函數,證實定積分換元第63頁64定積分性質第64頁65法二令則設f(t)為連續(xù)函數,證實二重積分換元法第65頁66故對稱性第66頁67二重積分在直角坐標系下計算二重積分在極坐標系下計算公式

(注意使用對稱性)三、小結(注意正確選擇積分次序,掌握交換積分次序恰當選擇坐標系計算二重積分(注意選擇標準)方法)第67頁68思索題1考研數學(一)5分解令不能直接積出,改變積分次序.法一因為所