1數(shù)學(xué)建模簡介省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

數(shù)學(xué)建模與競賽徐州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室數(shù)學(xué)建模介紹第1頁

數(shù)學(xué)教育，既應(yīng)該讓學(xué)生掌握準(zhǔn)確快捷計算方法和嚴(yán)密邏輯推理，也需要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)工具分析處理問題意識和能力,數(shù)學(xué)建模課是加強用數(shù)學(xué)處理問題一個嘗試。數(shù)學(xué)建模課程是20世紀(jì)80年代初進入我國大學(xué)。1987年，只有少數(shù)幾所高校數(shù)學(xué)系開設(shè)這門課程。1992年開始由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會舉行、每年一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，得到廣大同學(xué)熱烈歡迎，成為我國高校規(guī)模最大課外科技活動，促進了數(shù)學(xué)建模教學(xué)發(fā)展。當(dāng)前開設(shè)這門課程學(xué)校已經(jīng)有幾百所。第2頁一、名詞解釋1、原型和模型

原型是人們在現(xiàn)實世界里關(guān)心、研究、或從事生產(chǎn)、管理實際對象。如機械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、導(dǎo)彈飛行過程、化學(xué)反應(yīng)過程等。我們學(xué)習(xí)中所闡述現(xiàn)實對象、研究對象、實際問題均指原型。模型是指為某個特定目標(biāo)將原型某一部分信息進行簡縮、提煉而組成原型替換物。一個原型能夠有多個不一樣模型。第3頁2、數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實世界一個特定對象，一個特定目標(biāo)，依據(jù)特有內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要假設(shè)，利用適當(dāng)數(shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。簡單地說：就是反應(yīng)客觀對象或系統(tǒng)某種特征本質(zhì)數(shù)學(xué)表示式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語對部分現(xiàn)實世界描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究客觀對象或系統(tǒng)在某首先存在規(guī)律。第4頁3、數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型以及對模型求解、檢驗、分析、修改、推廣、評價和應(yīng)用等步驟全過程。

下面來體會一下什么是數(shù)學(xué)建模：第5頁例題：甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順?biāo)叫行?0h，從乙到甲逆水航行需50h，問船速、水速各是多少？分析：用x、y分別表示船速與水速，可列出方程組實際上方程組就是上述航行問題數(shù)學(xué)模型。列出方程組，原問題已轉(zhuǎn)化為純粹數(shù)學(xué)問題。方程解x=20km/h、y=5km/h，最終給出了航行問題答案。第6頁

大家都做過數(shù)學(xué)應(yīng)用題，比如說“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？”，這么問題就是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，正確答案應(yīng)該是0只。這么題一樣是數(shù)學(xué)建模題，不過答案就不主要了，主要是過程。

真正數(shù)學(xué)建模選手會這么回答這道題?！笆菬o聲手槍嗎？”“您確定那只鳥真被打死啦？”

“樹上鳥里有沒有聾子？”“有沒相關(guān)在籠子里？”

“邊上還有沒有其它樹，樹上還有沒有其它鳥？”

“有沒有殘疾或餓飛不動鳥？”“算不算懷孕肚子里小鳥？”“打鳥人眼有沒有花？確保是十只？”

“有沒有傻不怕死？”“會不會一槍打死兩只？”“全部鳥都能夠自由活動嗎？”“假如您問題沒有騙人，打死鳥要是掛在樹上沒掉下來，那么就剩一只，假如掉下來，就一只不剩?！钡?頁這就是數(shù)學(xué)建模。從不一樣角度思索一個問題，想盡全部可能，這才是數(shù)學(xué)建模高手。然后，數(shù)學(xué)建模高手搭擋----論文寫作高手(暫稱寫手)，會把以上思想用最好方式表示出來。普通寫手會直接把以上文字放到論文里就成了。不過專職數(shù)學(xué)建模論文寫手不會這么做，他們會先分析這些思想，歸整好條理；然后，會試著用圖畫來深入淺出表示這些思想，或者再使用一些表格。有了思想，也有了表示思想人，還少一樣?xùn)|西----實現(xiàn)。所以要一個編程高手實現(xiàn)之(暫稱為程序員吧)。就上面所說問題，程序員會編一個仿真程序，實現(xiàn)以上全部情況。仿真程序會盡一切可能按實際所限制條件遍歷全部情況，看一看還剩下幾只鳥。當(dāng)然，也能夠拿把仿真槍到去實踐。這么就完美了....把實踐結(jié)果與仿真結(jié)果、理論結(jié)果做比較，再修改理論、仿真程序、論文，再做試驗、做仿真，再比較，再修改，遞歸到時間完結(jié)。第8頁

數(shù)學(xué)建模其實并不是什么新東西，能夠說有了數(shù)學(xué)并需要用數(shù)學(xué)去處理實際問題，就一定要用數(shù)學(xué)語言、方法去近似地刻劃該實際問題，這種刻劃數(shù)學(xué)表述就是一個數(shù)學(xué)模型，其過程就是數(shù)學(xué)建模過程。數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定技術(shù)伎倆（計算、證實等）來求解并驗證，其中大量計算往往是必不可少，高性能計算機出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似得到了飛速發(fā)展，掀起一個高潮。

數(shù)學(xué)建模將各種知識綜合應(yīng)用于處理實際問題中，是培養(yǎng)和提升同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識分析問題、處理問題能力必備伎倆之一。第9頁二、數(shù)學(xué)建模普通方法和步驟建立數(shù)學(xué)模型方法和步驟并沒有一定模式，但一個理想模型應(yīng)能反應(yīng)系統(tǒng)全部主要特征（模型可靠性和使用性）第10頁數(shù)學(xué)建模普通步驟：●模型準(zhǔn)備（或稱問題分析）假如想對某個實際問題進行數(shù)學(xué)建模，通常要先了解該問題實際背景和建模目標(biāo)，盡可能搞清要建模問題屬于哪一類學(xué)科問題，然后經(jīng)過互聯(lián)網(wǎng)或圖書館查找搜集與建模要求相關(guān)資料和信息為接下來數(shù)學(xué)建模做準(zhǔn)備。這一過程稱為模型準(zhǔn)備。因為人們所掌握專業(yè)知識是有限，而實際問題往往是多樣和復(fù)雜，模型準(zhǔn)備對做好數(shù)學(xué)建模問題是非常主要。第11頁●模型假設(shè)

一個實際問題會包括到很多原因，假如把包括全部原因都考慮到，既不可能也沒必要，而且還會使問題復(fù)雜化造成建模失敗。要想把實際問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題還要對其進行必要合理簡化和假設(shè)，這一過程稱為模型假設(shè)。在明確建模目標(biāo)和掌握相關(guān)資料基礎(chǔ)上，去除一些次要原因。以主要原因為主來對該實際問題進行適當(dāng)簡化并提出一些合理假設(shè)能夠為數(shù)學(xué)建模帶來方便使問題得到處理。普通，所得建模結(jié)果依賴于對應(yīng)模型假設(shè)，終究模型假設(shè)到何種程度，要依據(jù)經(jīng)驗和詳細(xì)問題決定。在整個建模過程中，模型假設(shè)能夠在模型不停修改中得到逐步完善。第12頁●建立模型

有了模型假設(shè)后，就能夠選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)工具并依據(jù)已知知識和搜集信息來描述變量之間關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（如數(shù)學(xué)公式、定理、算法等）了，這一過程稱為建立模型。建立模型時能夠使用各種各樣數(shù)學(xué)理論和方法，必要時還要創(chuàng)造新數(shù)學(xué)理論和方法，但要注意是在確保精度條件下盡可能用簡單數(shù)學(xué)方法是建模時要遵照一個標(biāo)準(zhǔn)。記住：你模型總是希望更多人了解和使用，而不是少數(shù)幾個教授觀賞。（所以越簡單越好）第13頁●模型求解和分析在模型組成中建立數(shù)學(xué)模型能夠采取解方程、推理、圖解、計算機模擬、定理證實等各種傳統(tǒng)和當(dāng)代數(shù)學(xué)方法對其進行求解，其中有些能夠用計算機軟件來做這些工作。建模目標(biāo)是解釋自然現(xiàn)象、尋找規(guī)律以處理實際問題。要到達此目標(biāo)，還要對取得結(jié)果進行數(shù)學(xué)上分析，如分析變量之間依賴關(guān)系和穩(wěn)定情況等，這一過程稱為模型求解與分析。第14頁●模型檢驗把模型在數(shù)學(xué)上分析結(jié)果與研究實際問題做比較以檢驗?zāi)Ｐ秃侠硇苑Q為模型檢驗。模型檢驗對建模成敗是很主要，假如檢驗結(jié)果不符合實際，應(yīng)該修改補充假設(shè)或改換其它數(shù)學(xué)方法重新做模型組成。通常，一個模型要經(jīng)過如此屢次重復(fù)修改才能得到滿意結(jié)果?！衲Ｐ蛻?yīng)用利用建模中取得正確模型對研究實際問題給出預(yù)報或?qū)︻愃茖嶋H問題進行分析、解釋和預(yù)報，以供決議者參考稱為模型應(yīng)用。第15頁總而言之，能夠用以下列圖示說明數(shù)學(xué)建模普通步驟

問題分析

模型假設(shè)

建立模型

模型求解與分析

模型檢驗

模型應(yīng)用

要指出是上述數(shù)學(xué)建模普通步驟中每個過程不一定在每個建模問題中都要出現(xiàn)，而且有時各個過程之間沒有顯著界限，所以，在建模中無須在形式上按部就班，只要反應(yīng)出建模特點即可。第16頁數(shù)學(xué)建模特點：1.不一定有確定唯一答案。（無對錯，有優(yōu)劣）2.模型逼真性與可行性。3.模型漸進性。4.模型可轉(zhuǎn)移性。（類比法建模應(yīng)用）5.數(shù)學(xué)建模沒有統(tǒng)一方法。第17頁◆按研究方法和對象數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴散模型等。三、數(shù)學(xué)模型分類◆按研究對象實際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟模型、社會模型等。第18頁四、數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)用數(shù)學(xué)建模方法處理實際問題，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)語言表述問題（模型假設(shè)、模型組成），其次才是用數(shù)學(xué)工具求解模型。這就說明，除了要有廣博知識（包含數(shù)學(xué)知識和各種實際知識）和足夠經(jīng)驗外，尤其需要豐富想象力和敏銳洞察力，直覺和靈感往往也起著不可忽略作用。下面看幾個小問題，來一起領(lǐng)會一下吧第19頁問題1、已知甲桶中放有10000個藍(lán)色玻璃球，乙桶中放有10000個紅色玻璃球，任取甲桶中100個球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中100個球放入甲桶中，如此重復(fù)5次，問甲桶中紅球多還是乙桶中藍(lán)球多？分析：設(shè)甲桶中有x個紅球，乙桶中有y個藍(lán)球，因為對甲桶來說，甲桶中藍(lán)球數(shù)加上乙桶中藍(lán)球數(shù)等于10000，所以10000-x+y=10000即x=y故甲桶中紅球和乙桶中藍(lán)球一樣多。第20頁問題2、哥哥和妹妹分別在離家2km和1km且方向相反兩所學(xué)校上學(xué)，天天同時放學(xué)后分別以4km/h和2km/h速度步行回家。一小狗以6km/h速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中，問小狗奔跑了多少旅程？分析：放課時小狗跑了3km。思索：放課時，小狗起始位置和最終奔跑旅程有沒相關(guān)系？分析：放課時，小狗從任何位置起跑，都會和孩子同時到家，都是跑了3km。第21頁問題3、某人家住T市在異鄉(xiāng)工作，天天下班后乘火車于6:00抵達T市車站，他妻子駕車按時到車站接他回家。一日，他提前下班搭早一班火車于5:30抵達T市車站，隨即步行回家，他妻子象往常一樣駕車前來，在半路上碰到他，即接他回家，此時發(fā)覺比往常提前了10分鐘，問他步行了多少時間？分析：步行了25分鐘。構(gòu)想他妻子駕車碰到他后，先帶他去車站，再回家，汽車多行駛了10分鐘，于是帶他去車站這段旅程汽車跑了5分鐘，而到車站時間是6:00，所以妻子駕車碰到他時間是5:55。第22頁問題4：能否在8×8方格表各個空格中分別填寫1、2、3這三個數(shù)中任一個，使得每行、每列及對角線和都不相同？為何？第23頁分析：直接填寫，情況太多太復(fù)雜，難以下手，我們考查極端情況。在全部可能組合中，最大和是幾？最小和是幾？然后求出一共有多少個不一樣和。解答：如圖所表示，因為每行、每列及對角線上數(shù)都是8個，所以8個數(shù)和最小值是1×8＝8，最大值是3×8＝24，總共17個不一樣和。而由題意可知，每行、每列及對角線上和應(yīng)有8+8+2＝18個，所以要想使每行、每列及對角線上18個和都不相同是辦不到。第24頁問題5：能否將一張紙對折100次？分析：不妨假設(shè)一張紙已經(jīng)對折了100次，現(xiàn)在來預(yù)計它厚度。我們知道，對折1次這張紙就變成2層，對折2次變成4層，對折3從變成8層，…，對折100次以后應(yīng)為2100層。第25頁依據(jù)資料，普通紙每張厚度0.05mm，而210=1024>1000=103故2100>1030若每層紙厚度0.05mm，1030層就有5×1022km，即五萬億億千米，而從地球到太陽也不過1.5億千米。結(jié)論：不算不知道，一算下一跳！薄薄一張紙對折100次以后，竟然變得如此之厚，當(dāng)然對折100次就無法辦到了?？偨Y(jié)：處理實際問題時，要學(xué)習(xí)問題轉(zhuǎn)換和簡化，要注意搜集相關(guān)數(shù)據(jù)資料！第26頁問題4、某人早上8:00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5:00抵達山頂并留宿；次日早上8:00沿同一路徑下山，下午5:00回到旅店，則此人在兩天中同一時刻經(jīng)過路徑中同一地點，為何？分析：構(gòu)想有兩個人，一人上山，一人下山，同一天同時刻出發(fā)，沿同一路徑，必定相遇。思索：若下山時，這人下午3:00就抵達山下飯店，結(jié)論是否成立？第27頁數(shù)學(xué)建模實例體會——解題步驟牛吃草問題：3頭牛2個星期吃2畝地草2頭牛4個星期吃2畝地草問：多少頭牛6個星期吃6畝地草？第28頁問題分析：1.一片地上草被吃完并不意味著草高度不存在；2.一片地上草被吃之前，草高度未必一致；3.草是隨吃隨長，且各處草長不盡相同；4.每頭牛吃草也不相同。第29頁模型假設(shè)：1.牛吃不到草高度為吃完高度，假設(shè)此時草高為零；2.吃草前，各處草高度一致，設(shè)為H0；3.天天牛吃草量相同，均為a單位/周；4.草生長速度相同，均勻生長，v單位/周。第30頁建立模型：設(shè)需要x頭牛6周吃完6畝地草則：a*x*6=6(h0+6v)已知條件：a*3*2=2(h0+2v)a*2*4=2(h0+4v)模型為：a*x