第五講-邏輯函數(shù)的卡諾圖表示及卡諾圖化簡(jiǎn)法市公開課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第五講

邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法第1頁(yè)

§1.６.3邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法一、邏輯函數(shù)卡諾圖表示1．相鄰最小項(xiàng)概念假如兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反變量，其余變量均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)為邏輯相鄰，簡(jiǎn)稱相鄰項(xiàng)。比如，最小項(xiàng)ABC和就是相鄰最小項(xiàng)。若兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)出現(xiàn)在同一個(gè)邏輯函數(shù)中，能夠合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去互為反變量那個(gè)變量。如2.用卡諾圖表示最小項(xiàng)

變量有個(gè)最小項(xiàng)，用一個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，變量全部最小項(xiàng)就與個(gè)小方格對(duì)應(yīng)。第2頁(yè)小方格排列

美國(guó)工程師卡諾（Karnaugh）將邏輯上相鄰最小項(xiàng)幾何上也相鄰地排列起來

卡諾圖（K-map）。如三變量Ａ、Ｂ、Ｃ有８?jìng)€(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)８?jìng)€(gè)小方格ＡＡＢＢＣＣＣ原變量和反變量各占圖形二分之一這么排列，才能使邏輯上相鄰最小項(xiàng)幾何上也相鄰地表現(xiàn)出來。第3頁(yè)2、圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)

卡諾圖（K圖）圖中一小格對(duì)應(yīng)真值表中一行，即對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，又稱真值圖AB00011011m0m1m2m3AABBABBAABABAB1010m0m1m2m3miABC01000111100001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二變量K圖三變量K圖四變量K圖第4頁(yè)（2）三變量卡諾圖(b)（1）二變量卡諾圖(b)卡諾圖結(jié)構(gòu)“1”原變量；“0”反變量；

“mi”

最小項(xiàng)第5頁(yè)（3）四變量卡諾圖(b)仔細(xì)觀察能夠發(fā)覺，卡諾圖實(shí)際上是按格雷碼排列，含有很強(qiáng)相鄰性：第6頁(yè)每行、列兩頭相鄰3、卡諾圖上相鄰項(xiàng)只要小方格在幾何位置上（不論上下左右）相鄰，它代表最小項(xiàng)在邏輯上一定是相鄰。五變量卡諾圖折疊相鄰m0ABCDABCDm1ABCDm3mABCD2m567mmABCDABCDmABCD4ABCDABCDmm13ABCDABCD1412m15mABCDABCDABCDmABCD8m1011m9mABCDABCD(a)（1）直觀相鄰性：（2）循環(huán)相鄰性：（3）對(duì)稱相鄰性：第7頁(yè)4、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：該函數(shù)為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后依據(jù)真值表將8個(gè)最小項(xiàng)L取值0或者1填入卡諾圖中對(duì)應(yīng)8個(gè)小方格中即可。（1）從真值表到卡諾圖例1某邏輯函數(shù)真值表以下，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。第8頁(yè)例1:圖中給出輸入變量A、B、C真值表，填寫函數(shù)卡諾圖ABCF00000101001110010111011100111000ABC010001111011100000010111001110邏輯函數(shù)卡諾圖表示第9頁(yè)（2）從邏輯表示式到卡諾圖

如表示式不是最小項(xiàng)表示式，不過“與—或表示式”，可將其先化成最小項(xiàng)表示式，再填入卡諾圖。也可直接填入。解：寫成簡(jiǎn)化形式：

然后填入卡諾圖：解：直接填入：例3用卡諾圖表示邏輯函數(shù)假如表示式為最小項(xiàng)表示式，則可直接填入卡諾圖。

例2用卡諾圖表示邏輯函數(shù):第10頁(yè)例3畫出卡諾圖

解:直接填入ABCD00011110000111100010001000110111ABCD0001111000011110第11頁(yè)例：將F(A、B、C、D)化為最簡(jiǎn)與非—與非式。解：0100011110001110CDABAB111111BCD11ACDABC11AC1111m14,m15兩次填10000邏輯函數(shù)卡諾圖表示第12頁(yè)（1）2個(gè)相鄰最小項(xiàng)結(jié)合，２項(xiàng)能夠而合并為１項(xiàng)，并消去1個(gè)不一樣變量。1．卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)原理:含有相鄰性最小項(xiàng)能夠合并，并消去不一樣因子，合并結(jié)果為這些項(xiàng)公因子．（2）4個(gè)相鄰最小項(xiàng)結(jié)合，４項(xiàng)能夠而合并為１項(xiàng)，并消去2個(gè)不一樣變量。

（3）8個(gè)相鄰最小項(xiàng)結(jié)合，８項(xiàng)能夠而合并為１項(xiàng)，并消去3個(gè)不一樣變量。二、邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法

總之，個(gè)相鄰最小項(xiàng)結(jié)合，項(xiàng)能夠而合并為１項(xiàng)，能夠消去n個(gè)不一樣變量。第13頁(yè)2n項(xiàng)相鄰，并組成一個(gè)矩形組，2n項(xiàng)能夠而合并為１項(xiàng)，消去n個(gè)因子，合并結(jié)果為這些項(xiàng)公因子。

化簡(jiǎn)依據(jù)第14頁(yè)利用卡諾圖化簡(jiǎn)規(guī)則相鄰單元格個(gè)數(shù)必須是2n個(gè)，并組成矩形組時(shí)才能夠合并。ABCD0001111000011110ADABCD0001111000011110第15頁(yè)2．用卡諾圖合并最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)（圈“１”標(biāo)準(zhǔn)）

（1）圈能大則大；（并項(xiàng)多，消變量多）但每個(gè)圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個(gè)相鄰項(xiàng)。（2）圈數(shù)能少則少；（與或式中乘積項(xiàng)少）（3）不能漏圈；卡諾圖中全部取值為1方格均要被圈過，即不能漏下取值為1最小項(xiàng)。（4）可重復(fù)圈。但在新畫包圍圈中最少要含有1個(gè)末被圈過1方格，不然該包圍圈是多出。第16頁(yè)

（1）畫出邏輯函數(shù)卡諾圖。（2）合并相鄰最小項(xiàng)，即依據(jù)前述標(biāo)準(zhǔn)圈“１”。（3）寫出化簡(jiǎn)后表示式。每一個(gè)圈寫一個(gè)最簡(jiǎn)與項(xiàng)，規(guī)則是，取值為１變量用原變量表示，取值為0變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將全部與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡(jiǎn)與—或表示式。3．用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)步驟：第17頁(yè)K圖特點(diǎn)圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)

k圖為方形圖。n個(gè)變量函數(shù)--k圖有2n個(gè)小方格，分別對(duì)應(yīng)2n個(gè)最小項(xiàng)；

k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項(xiàng)之間含有邏輯相鄰性。上下左右?guī)缀蜗噜彿礁駜?nèi)，只有一個(gè)因子不一樣

有三種幾何相鄰：鄰接、相對(duì)（行列兩端）和對(duì)稱（圖中以0、1分割線為對(duì)稱軸）方格均屬相鄰0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD四變量K圖兩個(gè)相鄰格圈在一起，結(jié)果消去一個(gè)變量ABDADA1四個(gè)相鄰格圈在一起，結(jié)果消去兩個(gè)變量八個(gè)相鄰格圈在一起，結(jié)果消去三個(gè)變量十六個(gè)相鄰格圈在一起，結(jié)果mi=1卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)規(guī)則：

幾何相鄰2n（n=1、2、3…i）個(gè)小格可合并在一起組成正方形或矩形圈，消去n個(gè)變量，而用含（i-n）個(gè)變量積項(xiàng)標(biāo)注該圈。第18頁(yè)一、依據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖1、已知函數(shù)為最小項(xiàng)表示式，存在最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)方格填1，其余方格均填0。2、若已知函數(shù)真值表，將真值表中使函數(shù)值為1那些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)方格填1，其余格均填0。例子3、函數(shù)為一個(gè)復(fù)雜運(yùn)算式，則先將其變成與或式，再用直接法填寫。舉例二、圈“1”步驟1、孤立單格單獨(dú)畫圈2、圈數(shù)量少、范圍大，圈可重復(fù)包圍但每個(gè)圈內(nèi)必須有新最小項(xiàng)3、含1方格都應(yīng)被圈入，以預(yù)防遺漏乘積項(xiàng)圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)返回第19頁(yè)圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)

與或表示式簡(jiǎn)化步驟

先將函數(shù)填入對(duì)應(yīng)卡諾圖中，存在最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)方格填1，其它填0。

合并：按圈“1”標(biāo)準(zhǔn)將圖上填1方格圈起來，要求圈數(shù)量盡可能少、范圍盡可能大，圈可重復(fù)包圍但每個(gè)圈內(nèi)必須有新最小項(xiàng)。

每個(gè)圈寫出一個(gè)乘積項(xiàng)。按取同去異標(biāo)準(zhǔn)

最終將全部積項(xiàng)邏輯加即得最簡(jiǎn)與或表示式返回第20頁(yè)例：將F(A、B、C、D)化為最簡(jiǎn)與非—與非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化簡(jiǎn)得：最簡(jiǎn)與非—與非式為：圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)第21頁(yè)例：圖中給出輸入變量A、B、C真值表，填寫函數(shù)卡諾圖ABCF00000101001110010111011100111000ABC010001111011100000ABABCF=ABC+AB得：圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)第22頁(yè)例：將F(A、B、C、D)化為最簡(jiǎn)與非—與非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化簡(jiǎn)得：最簡(jiǎn)與非—與非式為：圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)第23頁(yè)利用卡諾圖化簡(jiǎn)ABC0001111001該方框中邏輯函數(shù)取值與變量A無關(guān)，當(dāng)B=1、C=1時(shí)取“1”。例1：第24頁(yè)ABC0001111001ABBCF=AB+BC化簡(jiǎn)過程：卡諾圖適合用于輸入變量為3、4個(gè)邏輯代數(shù)式化簡(jiǎn)；化簡(jiǎn)過程比公式法簡(jiǎn)單直觀。第25頁(yè)例3：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式

首先：邏輯代數(shù)式

卡諾圖

CAB01000111101110000AB1第26頁(yè)例2：化簡(jiǎn)F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A第27頁(yè)例3.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：

L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）

解：（1）由表示式畫出卡諾圖。解：（1）由表示式畫出卡諾圖。例4.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：注意：圖中虛線圈是多出，應(yīng)去掉。（2）畫包圍圈，合并最小項(xiàng)，

得簡(jiǎn)化與—或表示式:

（2）畫包圍圈合并最小項(xiàng)，得簡(jiǎn)化與—或表示式:第28頁(yè)例4.某邏輯函數(shù)真值表以下，用卡諾圖法化簡(jiǎn)該邏輯函數(shù)。（2）畫包圍圈合并最小項(xiàng)。有兩種畫圈方法：（a）：寫出表示式：

解：（1）由真值表畫出卡諾圖。（b）：寫出表示式：經(jīng)過這個(gè)例子能夠看出，一個(gè)邏輯函數(shù)真值表是唯一，卡諾圖也是唯一，但化簡(jiǎn)結(jié)果有時(shí)不是唯一。

第29頁(yè)ABC0100011110111111說明一：化簡(jiǎn)結(jié)果不唯一。ABC0100011110111111第30頁(yè)4．卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)另一個(gè)方法——圈0法例５.已知邏輯函數(shù)卡諾圖如圖所表示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡(jiǎn)與—或式。解：（1）用圈1法畫包圍圈，得：（2）用圈0法畫包圍圈，得：

第31頁(yè)作業(yè)1.16(1)(2)(3)(4)(5)(6)第32頁(yè)第六講含有沒有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法第33頁(yè)

第六講邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法（2）課題：邏輯函數(shù)最簡(jiǎn)式其它形式；含有約束邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)課時(shí)安排：2重點(diǎn)：含有約束邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)難點(diǎn)：含有約束邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)教學(xué)目標(biāo)：使同學(xué)掌握用卡諾圖法求最簡(jiǎn)式其它形式方法，了解約束條件，掌握用約束條件化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)方法，了解多輸出邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法。教學(xué)過程：一、用卡諾圖法求最簡(jiǎn)式其它形式二、用卡諾圖檢驗(yàn)函數(shù)是否最簡(jiǎn)三、含有約束項(xiàng)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)法1、約束概念和約束條件2、有約束邏輯函數(shù)表示方法3、含有約束邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)4、多輸出邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)第34頁(yè)3、含有沒有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)約束項(xiàng)：值恒為0最小項(xiàng)任意項(xiàng)：使函數(shù)值能夠?yàn)?，也能夠?yàn)?最小項(xiàng)無關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)和任意項(xiàng)均為無關(guān)項(xiàng)。含有沒有關(guān)項(xiàng)函數(shù)兩種表示形式：1、L=∑m(…)+∑d(…)2、L=∑m(…)，給定約束條件為ABC+ACD=0第35頁(yè)解：設(shè)紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數(shù)真值。例６.在十字路口有紅綠黃三色交通信號(hào)燈，要求紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信燈之間邏輯關(guān)系。顯而易見，在這個(gè)函數(shù)中，有5個(gè)最小項(xiàng)為無關(guān)項(xiàng)。最小項(xiàng)性質(zhì)：每一組輸入變量都使一個(gè)，而且僅有一個(gè)最小項(xiàng)值為１，所以當(dāng)限制一些輸入變量不出現(xiàn)時(shí)，能夠用它們對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為０表示。這么第36頁(yè)帶有沒有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)最小項(xiàng)另一個(gè)表示式為：Ｆ=∑m（）+∑d（）如本例函數(shù)可寫成Ｆ=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）或?qū)懗缮侠硎臼娇蔀榛虻?7頁(yè)2．含有沒有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)

化簡(jiǎn)含有沒有關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)時(shí)，要充分利用無關(guān)項(xiàng)能夠當(dāng)0也能夠當(dāng)1特點(diǎn)，盡可能擴(kuò)大卡諾圈，使邏輯函數(shù)更簡(jiǎn)。例７.不考慮無關(guān)項(xiàng)時(shí)，表示式為：注意:在考慮無關(guān)項(xiàng)時(shí)，哪些無關(guān)項(xiàng)看成1，哪些無關(guān)項(xiàng)看成0，要以盡可能擴(kuò)大卡諾圈、降低圈個(gè)數(shù)，使邏輯函數(shù)更簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)。考慮無關(guān)項(xiàng)時(shí)，表示式為:第38頁(yè)例：已知函數(shù)：

求其最簡(jiǎn)與或式0100011110001110CDAB解：

填函數(shù)卡諾圖1111111

00000

化簡(jiǎn)不考慮約束條件時(shí)：考慮約束條件時(shí)：0100011110001110CDAB1111111

00000第39頁(yè)例８.某邏輯函數(shù)輸入是8421BCD碼，其邏輯表示式為：

L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15）

用卡諾圖法化簡(jiǎn)該邏輯函數(shù)。解：（1）畫出4變量卡諾圖。將1、4、5、6、7、9號(hào)小方格填入1；將10、11、12、13、14、15號(hào)小方格填入×。（2）合并最小項(xiàng)，如圖（a）所表示。注意，1方格不能漏?！练礁褚罁?jù)需要，能夠圈入，也能夠放棄。（3）寫出邏輯函數(shù)最簡(jiǎn)與—或表示式:假如不考慮無關(guān)項(xiàng)，如圖（b）所表示，寫出表示式為：第40頁(yè)例９：F=∑m(1，3，5，7，9）+∑d(10，11，12，13，14，15）

11

11

××××

1××AB00FCD01111000011110第41頁(yè)

11

11

××××

1××AB00FCD01111000011110L=D第42頁(yè)1××11××1

1

×

1×AB00FCD01111000011110L=A+D例１０：F=∑m(0，2，4，6，9，13）+∑d(1，3，5，7，11，15）第43頁(yè)形如：L=∑m(…)，給定約束條件為：

ABC+ACD=0

×

×

×ABCD0001111000011110約束條件相當(dāng)于：∑d(11,14,15)

第44頁(yè)例11：化簡(jiǎn)含有約束邏輯函數(shù)給定約束條件為:

111

×××

×1

××ABCD0001111000011110

第45頁(yè)

111

×××

×1

××AB00CD01111000011110Y第46頁(yè)例１2：已知真值表如圖，用卡諾圖化簡(jiǎn)。101狀態(tài)未給出，即是無所謂狀態(tài)。第47頁(yè)ABC0001111001化簡(jiǎn)時(shí)能夠?qū)o所謂狀態(tài)看成1或0，目標(biāo)是得到最簡(jiǎn)結(jié)果。認(rèn)為是1AF=A第48頁(yè)四、其它形式最簡(jiǎn)式和多輸出邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)1、邏輯函數(shù)最簡(jiǎn)式其它形式采取前述方法，化簡(jiǎn)結(jié)果通常為與或表示式。若要求用其它形式表示則用反演定理來轉(zhuǎn)換。（1）“與非與非式”——在卡諾圖中圈“1”得“與或”式，然后用反演定理轉(zhuǎn)換求得。例12：第49頁(yè)例13：L(A,B,C,D)=∑m（1,5,8,12）+∑d（3,7,10,14,15）ABCD0001111000011110（2）“與或非式”、“或與式”、“或非或非式”——在卡諾圖上“圈0”得到F最簡(jiǎn)與或式，再由反演律求得。第50頁(yè)ABC0001111001ABC00011110012、多輸出邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)

前述均為單輸出邏輯函數(shù)，而實(shí)際電路經(jīng)常有兩個(gè)或兩個(gè)以上輸出端?；?jiǎn)多輸出邏輯函數(shù)時(shí)，不能單純追求單一函數(shù)最簡(jiǎn)式，因?yàn)檫@么做并不一定能確保整個(gè)系統(tǒng)最簡(jiǎn)，應(yīng)該統(tǒng)一考慮，盡可能利用公共項(xiàng)。例14：對(duì)多輸出函數(shù)解：各自卡諾圖化簡(jiǎn)結(jié)果以下第51頁(yè)ABC0001111001ABC0001111001將兩個(gè)輸出函數(shù)視為一個(gè)整體，其化簡(jiǎn)過程以下邏輯圖如Ｐ２８圖１．２０，圖１．２１第52頁(yè)1111