d18函數(shù)的連續(xù)性與間斷點省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

第八節(jié)函數(shù)連續(xù)性

與間斷點函數(shù)連續(xù)性(continuity)函數(shù)間斷點小結(jié)(discontinuouspoint)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)1第1頁間改變很小時,生物生長也極少.在函數(shù)關(guān)系上反應(yīng)就是函數(shù)連續(xù)性.在自然界中,許多事物改變是連續(xù),如氣溫改變很小時,金屬棒長改變也很小.時在高等數(shù)學(xué)中,主要研究對象就是連續(xù)函數(shù).這種現(xiàn)象從直觀上不妨這么說,連續(xù)函數(shù)特征就是它圖形是連續(xù),也就是說,能夠一筆畫成.

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第2頁1.函數(shù)增量自變量稱差為自變量在增量;函數(shù)伴隨從稱差為函數(shù)增量.如圖:一、函數(shù)連續(xù)性

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第3頁連續(xù),2.連續(xù)定義定義1設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)f(x)在x0處并稱x0為函數(shù)f(x)連續(xù)點.定義2若則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù).

把極限與連續(xù)性聯(lián)絡(luò)起來了,且提供了連續(xù)函數(shù)求極限簡便方法——只需求出該點函數(shù)特定值.自變量在x0點增量為無窮小時,函數(shù)增量也為無窮小.形象地表示了連續(xù)性特征.采取了無窮小定義法

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第4頁連續(xù)性二種定義形式不一樣,這二種定義中都含有但本質(zhì)相同.f(x)在內(nèi)有定義;(1)(2)(3)三個要素:存在;

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第5頁例證都是連續(xù).類似可證,是連續(xù).即

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第6頁3.左、右連續(xù)左連續(xù)(continuityfromthe右連續(xù)(continuityfromtheleft);right).左連續(xù)右連續(xù)

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第7頁定理1此定理慣用于判定分段函數(shù)在分段點處連續(xù)性.

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第8頁例解右不連續(xù).所以左連續(xù),

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第9頁4.連續(xù)函數(shù)(continousfunction)與連續(xù)區(qū)間上或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).在區(qū)間上每一點都連續(xù)函數(shù),稱該區(qū)間在開區(qū)間右連續(xù)左端點右端點這時也稱該區(qū)間為continuous左連續(xù)連續(xù)函數(shù),連續(xù)區(qū)間.內(nèi)連續(xù)

函數(shù)連續(xù)性與間斷點是一條無縫隙連綿而不停曲線.連續(xù)函數(shù)圖形第10頁比如,多項式函數(shù)內(nèi)是連續(xù).所以有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點有理分式函數(shù)只要都有所以多項式函數(shù)在都是連續(xù).第六節(jié)中已證

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第11頁定義4出現(xiàn)以下三種情形之一:二、函數(shù)間斷點及其分類無定義;不存在;間斷點.

函數(shù)連續(xù)性與間斷點設(shè)函數(shù)f(x)在x0某去心鄰域內(nèi)有定義第12頁間斷點分為兩類:第二類間斷點第一類間斷點及均存在,及中最少有一個不存在.若稱為可去間斷點.若稱為跳躍間斷點.若其中有一個為振蕩,若其中有一個為稱為無窮間斷點.稱為振蕩間斷點.

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第13頁可去型第一類間斷點跳躍型無窮型無窮次振蕩型第二類間斷點

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第14頁例因為函數(shù)無定義,故為f(x)間斷點.且皆不存在.第二類第二類間斷點:最少有且是無窮型間斷點.一個不存在.

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第15頁例有定義,不存在,故為f(x)間斷點.第二類且是無窮次振蕩型間斷點.之間往返無窮次振蕩,

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第16頁例有定義,故為f(x)間斷點.第一類第一類間斷點.則點x0為函數(shù)f(x)且是跳躍間斷點.跳躍型間斷點.及均存在,則點x0為

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第17頁

函數(shù)連續(xù)性與間斷點例討論函數(shù)解為函數(shù)間斷點.第一類

且是可去間斷點(removablediscontinuity).處無定義,可去間斷點.連續(xù).第18頁為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.比如:

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第19頁顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第20頁則可使x0變?yōu)檫B續(xù)點.注對可去間斷點x0,假如于A,

(這就是為何將這種間斷點稱為使之等可去間斷點理由.)補(bǔ)充x0函數(shù)值,或改變

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第21頁如補(bǔ)充定義:如但

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第22頁練習(xí)解函數(shù)無定義,是函數(shù)間斷點.因為所以是函數(shù)第二類間斷點,且是無窮型.因為所以是函數(shù)第一類間斷點,且是跳躍型.并指出其類型.

函數(shù)連續(xù)性與間斷點第23頁疑難解釋：2.第24頁第25頁練習(xí)：1.2.設(shè)3.第26頁內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限最少有一個不存在在點