第04講 勾股定理的應(yīng)用（解析版）

第04講勾股定理的應(yīng)用類型一：勾股定理解決路徑問題類型二：勾股定理解決折疊問題類型三：勾股定理解決實際問題類型四：勾股定理探究動點問題中的直角三角形存在問題【類型一：勾股定理解決路徑問題】1．（2023春?分宜縣期末）如圖，在長方體ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，長為10cm的細直木棒IJ恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面ABCD接觸，當木棒的端點Ⅰ在長方形ABCD內(nèi)及邊界運動時，GJ長度的最小值為（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【分析】當GI最大時，GJ最小，當I運動到點A時，GI最大，根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：當GI最大時，GJ最小，當I運動到點A時，GI最大，此時GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ長度的最小值為（10﹣5）cm．故選：A．2．（2022秋?永州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D點，AB＝12，BD＝13，點P是線段BC上的一動點，則PD的最小值是（）A．6 B．5 C．13 D．12【分析】過點D作DE⊥BC于點E，則PD的最小值是DE的長，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得AD＝DE，再由勾股定理求出AD的長，即可求解．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥BC于點E，則PD的最小值是DE的長，∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DE，∵AB＝12，BD＝13，∴，∴DE＝5，即PD的最小值是5．故選：B．3．（2023秋?北侖區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【分析】根據(jù)勾股定理得到AB＝10，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CN＝AB＝5，CM＝＝3，由當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，即可求得MN的最小值為2．【解答】解：如圖，連接CM、CN，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵DE＝6，點M、N分別是DE、AB的中點，∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝3，當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，∴MN的最小值為：5﹣3＝2．故選：A．4．（2022秋?綿陽期末）如圖，在△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝6，⊙O的面積為12π，點M，N分別在⊙O、線段AB上運動，則MN長度的最小值等于（）A． B． C． D．【分析】過點O作OC⊥AB，交⊙O于點P，當點M與點P重合，點N與點C重合時，MN長度的最小即為線段PC的長度，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理得出，再由等面積法確定，由圓的面積得出，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果．【解答】解：過點O作OC⊥AB，交⊙O于點P，當點M與點P重合，點N與點C重合時，MN長度的最小即為線段PC的長度，∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝6，∴AB＝2BO＝12，∴，∴，解得：，∵⊙O的面積為12π，設(shè)半徑為r，∴πr2＝12π，，即MN長度的最小值為，故選：C．5．（2023春?廊坊期末）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值是（）A．5 B．6 C．4 D．4.8【分析】根據(jù)點到直線的連線中，垂線段最短，得到當BP垂直于AC時，BP的長最小，過A作等腰三角形底邊上的高AD，利用三線合一得到D為BC的中點，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的長，進而利用面積法即可求出此時BP的長．【解答】解：根據(jù)垂線段最短，得到BP⊥AC時，BP最短，過A作AD⊥BC，交BC于點D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D為BC的中點，又BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，根據(jù)勾股定理得：AD＝＝4，又∵S△ABC＝BC?AD＝BP?AC，∴BP＝＝＝4.8．故選：D．6．（2023秋?桐柏縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是．【分析】連接BP，利用等腰三角形的對稱性得BP＝PC，則PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，當B，P，Q共線時，PC+PQ的值最小，當BQ⊥AC時，BQ的值最小，利用勾股定理列方程即可解決問題．【解答】解：如圖，連接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴當B，P，Q共線時，PC+PQ的值最小，∴當BQ⊥AC時，BQ的值最小，令AQ'＝a，則CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值為，故答案為：．7．（2023秋?吳中區(qū)期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若鉛筆長為18cm，則這只鉛筆露在筆筒外面的長度h的最小值是3cm．【分析】由勾股定理求出AC＝15cm，即可解決問題．【解答】解：如圖，由題意可得：AB＝12cm，BC＝9cm，AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝15（cm），∴這只鉛筆露在筆筒外面的長度h的最小值是：18﹣15＝3（cm），故答案為：3cm．8．（2023秋?大冶市期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，點E，F(xiàn)分別在BC，AC邊上，且AF＝CE，則AE+BF的最小值為2．【分析】過A點作AG∥BC，截取AG＝AC，連接FG，BG，過B作BR⊥AG，交AG的反向延長線于R，則∠RBC＝∠BRA＝90°，利用SAS證明△AFG≌△CEA可求得AE+BF的最小值即為BG的長，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求解．【解答】解：過A點作AG∥BC，截取AG＝AC，連接FG，BG，過B作BR⊥AG，交AG的反向延長線于R，則∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即為BG的長，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值為2．故答案為：2．【類型二：勾股定理解決折疊問題】9．（2023春?息縣月考）已知，如圖長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2【分析】根據(jù)折疊的條件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：將此長方形折疊，使點B與點D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根據(jù)勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面積為3×4÷2＝6．故選：C．10．（2023春?岳麓區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則AE的長為（）A． B．3 C． D．【分析】在Rt△BCE中，由BE2＝CE2+BC2，得到（8﹣x）2＝x2+62，即可求解．【解答】解：設(shè)AE＝BE＝x，則CE＝4﹣x，在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2，即x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，故選：D．11．（2022秋?西峽縣期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．將長方形沿對角線AC折疊，點D落在了D′位置，AD′與BC相交于點E．則BE的長等于（）A． B． C． D．【分析】設(shè)BE＝xcm，則EC＝（4﹣x）cm，根據(jù)題意可證得Rt△ABE≌Rt△CED′，可得BE＝ED′＝xcm，根據(jù)EC2＝ED′2+CD′2可得到關(guān)于x的方程，求解即可得到答案．【解答】解：設(shè)BE＝xcm，則EC＝（4﹣x）cm．根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知CD＝CD′，∠D＝∠D′．∵四邊形ABCD為長方形，∴AB＝CD＝3cm，∠B＝∠D＝90°．∴AB＝CD′＝3cm，∠B＝∠D′＝90°．在△ABE和△CED′中∴△ABE≌△CED′（AAS）．∴BE＝ED′＝xcm．在Rt△CED′中EC2＝ED′2+CD′2，即（4﹣x）2＝x2+32．解得．∴cm．故選：A．12．（2023秋?九臺區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，將△ABC折疊，使點C與AB的中點D重合，折痕交AC于點M，交BC于點N，則線段CN的長為（）A． B． C．3 D．【分析】由折疊的性質(zhì)可得DN＝CN，根據(jù)勾股定理可求DN的長，即可求CN的長．【解答】解：∵D是AB中點，AB＝4，∴AD＝BD＝2，∵將△ABC折疊，使點C與AB的中點D重合，∴DN＝CN，∴BN＝BC﹣CN＝6﹣DN，在Rt△DBN中，DN2＝BN2+DB2，∴DN2＝（6﹣DN）2+4，∴DN＝，∴CN＝DN＝，故選：D．13．（2022秋?東坡區(qū)期末）如圖，將長方形紙片ABCD的邊沿折痕AE折疊，使點D落在BC上的點F處，若AB＝5，AD＝13，則EF的長為（）A． B． C．1 D．【分析】先由長方形的性質(zhì)得到BC＝AD＝13，∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝5，再由折疊的性質(zhì)得到AF＝AD＝13，EF＝DE，利用勾股定理求出BF＝12，則CF＝1，設(shè)EF＝DE＝x，則CE＝CD﹣DE＝5﹣x，利用勾股定理建立方程x2＝12+（5﹣x）2，解方程即可得到答案．【解答】解：由長方形的性質(zhì)可得BC＝AD＝13，∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝5，由折疊的性質(zhì)可得AF＝AD＝13，EF＝DE，在Rt△ABF中，由勾股定理得，∴CF＝BC﹣BF＝1，設(shè)EF＝DE＝x，則CE＝CD﹣DE＝5﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2＝CE2+CF2，∴x2＝12+（5﹣x）2，解得，∴，故選：B．14．（2023秋?銀川期中）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD對折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．【分析】先由勾股定理求AB＝10．再用勾股定理從△DEB中建立等量關(guān)系列出方程即可求CD的長．【解答】解：∵兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD對折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD＝DE，AE＝AC＝6，∴BE＝10﹣6＝4，設(shè)DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．即CD的長為3cm．15．（2023秋?青島期中）如圖，平面直角坐標系中，點D的坐標為（15，9），過點D作DA⊥y軸，DC⊥x軸，點E為y軸上一點，將△AED沿直線DE折疊，點A落在邊BC上的點F處．（1）請你直接寫出點A的坐標；（2）求FC，AE的長；（3）求四邊形EOFD的面積．【分析】（1）證明四邊形AOCD是矩形，再結(jié)合D的坐標即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DF的長，再根據(jù)勾股定理求出CF的長，即可得出OF的長，設(shè)AE＝x，在Rt△OEF中根據(jù)勾股定理得出等式求解得出AE的長即可；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，四邊形EOFD的面積＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【解答】解：（1）∵DA⊥y軸，DC⊥x軸，∠AOC＝90°，∴四邊形AOCD是矩形，∵D的坐標為（15，9），∴AD＝OC＝15，CD＝AO＝9，∴A（0，9）；（2）∵將△AED沿直線DE折疊，點A落在邊BC上的點F處．∴DF＝AD＝15，∴CF＝＝12，∴OF＝OC﹣CF＝15﹣12＝3，設(shè)AE＝x，則EF＝x，OE＝9﹣x，在Rt△OEF中，由勾股定理得，OE2+OF2＝EF2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5，∴AE＝5；（3）由（2）知AE＝5，∴OE＝9﹣5＝4，由折疊的性質(zhì)可知，S△AED＝S△DFE，∴四邊形EOFD的面積＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED＝＝＝．【類型三：勾股定理解決實際問題】16．（2022秋?輝縣市校級期末）如圖1，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，圖2是這棵大樹折斷的示意圖，則這棵大樹在折斷之前的高是（）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米【分析】利用勾股定理進行求解即可．【解答】解：設(shè)大樹在折斷之前的高是xm，由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，解得：x＝18或x＝﹣8（不符合題意，舍去），∴大樹在折斷之前的高是18m；故選：B．17．（2022秋?古縣期末）如圖，為了測量池塘的寬度DE，在池塘周圍的平地上選擇了A，B，C三點，且A，D，E，C四點在同一條直線上，∠C＝90°，已測得AB＝100m，BC＝60m，AD＝20m，EC＝10m，則池塘的寬度DE是（）A．80m B．60m C．50m D．40m【分析】根據(jù)已知條件在直角三角形ACB中，利用勾股定理求得AC的長，用AC減去AD、CE求得DE即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝100m，BC＝60m，∴AC＝＝＝80（m），∴DE＝AC﹣AD﹣EC＝80﹣20﹣10＝50（m），∴池塘的寬度DE為50米．故選：C．18．（2022秋?萬榮縣期末）山西地形較為復雜，境內(nèi)有山地、丘陵、高原、盆地、臺地等多種地貌類型，整個地貌是被黃土廣泛覆蓋的山地型高原．如圖，在A村與B村之間有一座大山，原來從A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）繞過村莊間的大山，打通A，B間的隧道后，就可直接從A村到B村．已知AC＝9km，BC＝12km，那么打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為（）A．7km B．6km C．5km D．2km【分析】由勾股定理求出AB＝＝15（km），因此AC+BC﹣AB＝6（km），即可得到答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝9km，BC＝12km，∴AB＝＝15（km），∴AC+BC﹣AB＝9+12﹣15＝6（km），∴從A村到B村比原來減少的路程為6km．故選：B．19．（2023秋?尤溪縣期中）如圖，一架25m長的梯子AB，斜靠在豎直的墻AC上，這時梯子的底部B到墻底端C的距離為7m．（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的底部B在水平方向滑動了8m至D，那么梯子的頂端A沿墻垂直也下滑了8m嗎？【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理，求出EC即可解答．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：AB＝25，BC＝7，∴AC＝＝24（m），答：這個梯子的頂端距地面有24m；（2）梯子的頂端A沿墻垂直不是下滑了8m，∵BC＝7，BD＝8，∴CD＝15m，∴CE＝＝20（m），∴AE＝AC﹣CE＝24﹣20＝4（m），∴梯子的頂端A沿墻垂直也下滑了4m．20．（2023秋?左權(quán)縣期中）在學校組織的研學活動中，辰星小組合作搭建帳篷．圖是他們搭建帳篷的支架示意圖．在△ABC中，兩根支架從帳篴頂點A支撐在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于點D，另一根支架AE的端點E在線段BD上，且AE＝BE．經(jīng)測量，知BD＝1.6m，AD＝1.2m，AC＝1.5m．根據(jù)測量結(jié)果，解答下列問題：（1）求AE的長；（2）按照要求，當帳篷支架AB與AC所夾的角度為直角時，帳篷最為穩(wěn)定．請通過計算說明辰星小組搭建的帳篷是否符合要求．【分析】（1）設(shè)AE＝xm，則BE＝AE＝xm，ED＝（1.6﹣x）m，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求解；（2）利用勾股定理求出AB與CD的長，從而得出BC的長，再利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，進而得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)AE＝xm，則BE＝AE＝xm，ED＝（1.6﹣x）m，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADE中，AD2+ED2＝AE2，1.22+（1.6﹣x）2＝x2，解得．∴AE的長為；（2）帳篷符合要求．理由如下：在Rt△ABD中，BD＝1.6m，AD＝1.2m，∴，在Rt△ADC中，AD＝1.2m，AC＝1.5m，∴，∴BC＝BD+CD＝2.5m，∵AB2+AC2＝22+1.52＝6.25，BC2＝2.52＝6.25，∴AB2+AC2＝BC2．∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．∴帳篷符合要求．21．（2023秋?二道區(qū)期末）某實踐探究小組在放風箏時想測量風箏離地面的垂直高度，通過勘測，得到如下記錄表：測量示意圖測量數(shù)據(jù)邊的長度①測得水平距離BC的長為15米．②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線AB的長為17米．③小明牽線放風箏的手到地面的距離為1.7米．數(shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認真分析，他們發(fā)現(xiàn)根據(jù)勘測組的全部數(shù)據(jù)就可以計算出風箏離地面的垂直高度AD．請完成以下任務(wù)．（1）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求線段AD的長．（2）如果小明想要風箏沿DA方向再上升12米，BC長度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC，進而求出AD；（2）先根據(jù)勾股定理求出風箏線的長，再根據(jù)題意計算，得到答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17，由勾股定理得：AC＝＝＝8，則AD＝AC+CD＝8+1.7＝9.7；（2）風箏沿DA方向再上升12米后，風箏的高度為20米，則此時風箏線的長為：＝25（米），25﹣17＝8（米），答：他應(yīng)該再放出8米線．【類型四：勾股定理探究動點問題中的直角三角形存在問題】22．（2023秋?新吳區(qū)期中）如圖，點A是射線BC外一點，連接AB，若AB＝5cm，點A到BC的距離為3cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運動．設(shè)運動的時間為t秒，當t為（）秒時，△ABP為直角三角形．A． B． C．2或 D．2或【分析】過點A作AH⊥BC于點H，由勾股定理求得BH＝4cm，當∠APB＝90°時，此時點P與點H重合，求出t＝2；當∠BAP＝90°時，HP＝（2t﹣4）cm，由勾股定理得AP2＝BP2﹣AB2＝AH2+HP2，列出方程，解方程即可．【解答】解：如圖1，過點A作AH⊥BC于點H，∵點A到BC的距離為3cm，∴AH＝3cm，在Rt△AHB中，由勾股定理得：BH＝＝＝4（cm），分兩種情況：①當∠APB＝90°時，此時點P與點H重合，由題意得：2t＝4，解得：t＝2；②如圖2，當∠BAP＝90°時，∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm，∴HP＝（2t﹣4）cm，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣25，AP2＝AH2+HP2＝32+（2t﹣4）2，∴（2t）2﹣25＝32+（2t﹣4）2，解得：t＝，綜上所述，當t為（2或）秒時，△ABP為直角三角形，故選：D．23．（2022秋?泌陽縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BA以2cm/s的速度運動．則當運動時間t＝25或16s時，△BPC為直角三角形．【分析】首先根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的長度，利用三角形的面積求出斜邊上的高CD，再分兩種情況進行討論：①當∠BCP為直角時，②當∠BPC為直角時，分別求出此時的t值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，∴AB＝＝＝50（cm）．如圖，作AB邊上的高CD．∵S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝＝24（cm）．①當∠BCP為直角時，點P與點A重合，BP＝BA＝50cm，∴t＝50÷2＝25（秒）．②當∠BPC為直角時，P與D重合，BP＝2tcm，CP＝24cm，BC＝40cm，在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，∴（2t）2+242＝402，解得t＝16．綜上，當t＝25或16秒時，△BPC為直角三角形．故答案為：25或16．24．（2023秋?樂平市期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動點P從點C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以每秒1cm的速度運動，設(shè)運動時間為t秒．當t為6或13或12或10.8時，△ACP是等腰三角形．【分析】分CA＝CP、PA＝PC、AC＝AP、AC＝CP四種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10，當CA＝CP時，如圖：∴CP＝6cm，∴t＝6÷1＝6；當PA＝PC時，如圖：∴∠PAC＝∠PCA，∵∠PAC+∠B＝90°，∠ACP+∠PCB＝90°，∴∠PCB＝∠PBC∴PA＝PC＝PB＝AB＝5cm，∴t＝（CB+BP）÷1＝13；當AC＝AP時，如圖：AP＝6cm，AB＝10cm，∴PB＝AB﹣AP＝4cm，∴t＝（CB+BP）÷1＝12；當AC＝CP時，如圖：作CD⊥AB于點D△ABC的面積＝×AC×BC＝×AB×CD，即×6×8＝×10×CD，解得，CD＝4.8，在Rt△ACD中，AD＝＝3.6，∴AP＝2AD＝7.2，∴BP＝AB﹣AP＝2.8，∴t＝（CB+BP）÷1＝10.8；綜上所述，當t為6或13或12或10.8時，△ACP是等腰三角形．25．（2023秋?阜寧縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度移動設(shè)運動的時間為ts當t＝2s或s時，△ABP為直角三角形．【分析】首先根據(jù)勾股定理求出BC的長度，再分兩種情況：①當∠APB為直角時，②當∠BAP為直角時，分別求出此時的t值即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴BC＝4cm．①當∠APB為直角時，點P與點C重合，BP＝BC＝4cm，∴t＝4÷2＝2s．②當∠BAP為直角時，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，解得t＝s．綜上，當t＝2s或s時，△ABP為直角三角形．故答案為：2s或s．26．（2022秋?南陽期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若動點P從點A出發(fā)，以1c