7、三角形的中位線 - 答案

三角形的中位線(一)三角形中位線的概念（1）如圖,(1)在△ABC中,請(qǐng)你畫出AB邊上的中線CD;(2)對(duì)于△ABC來(lái)說(shuō),中線CD是由怎樣的兩點(diǎn)連接而成的?答:______________________________________________(3)若E為△ABC邊上的一點(diǎn),連接DE,當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AC邊中點(diǎn)時(shí),線段DE稱為△ABC的中位線。(二)三角形中位線定理1.已知;如圖,△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),則DE是△ABC的中位線BC稱為第三邊(1)猜想DE與BC在位置和數(shù)量上各有什么關(guān)系?(2)證明你的猜想.用語(yǔ)言敘述三角形中位線定理:三角形的中位線__________第三邊,且等于第三邊的__________.2.有一位同學(xué)用下列方法證明了三角形中位線定理,(大致思路是構(gòu)造平行四邊形BCGD),請(qǐng)你完成證明.證明:延長(zhǎng)DE至G,使EG=DE,連接CG題型一:中位線-求線段的長(zhǎng)度、角度1．如圖所示，菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，為邊上的中點(diǎn)，菱形的周長(zhǎng)為36，則長(zhǎng)等于（

）

A．4.5 B．5 C．6 D．9【答案】A【詳解】解：∵四邊形為菱形，且周長(zhǎng)為36，∴，又∵O為中點(diǎn)，H為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，故選：A．2．如圖，是的中位線，平分交于點(diǎn)，若，，則邊的長(zhǎng)為(

)

A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：是的中位線，，，，，，平分，，，，，，，故選：B．3.“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點(diǎn)落在的點(diǎn)處，折痕交點(diǎn)，第2次折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)．若，．【答案】7【詳解】解：把圖補(bǔ)全如圖所示：由折疊得：，，，，，是的中位線，，，，故答案為：7．4．如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，若點(diǎn)F在線段上，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，，∴是直角三角形，∴，∴，故C正確．故選：C．5．如圖，四邊形中，，E，F(xiàn)，G分別是AB，DC，AC的中點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為．【答案】【詳解】解：∵、分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴，∵、分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：．題型二：中位線-求幾何圖形面積1．如圖中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，過(guò)F作交于點(diǎn)G，若，且，，則陰影部分的面積為．【答案】【詳解】解：如圖，連接，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，G是的中點(diǎn)，，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，故答案為：．2．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，EF，F(xiàn)D．若△ABC的面積為18cm，則△DEF的面積是cm【答案】4.5【詳解】解：連接BE，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，△ABC的面積的為18cm，∴△AEB的面積△ABC的面積＝9（cm），∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴△DEB的面積△AEB的面積＝4.5（cm），∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DEBC，∴△DEF的面積＝△DEB的面積＝4.5（cm），故答案為：4.5．3．中，點(diǎn)D、E、F分別為邊的中點(diǎn)，作．若的面積是12，則的面積是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【詳解】解：過(guò)A作AH⊥BC于H，取BH中點(diǎn)為G，連結(jié)DG，EM⊥DF于M，∵、分別是的、邊的中點(diǎn)，∴，DF∥BC，∵D、G為AB、BH中點(diǎn)，∴DG∥AH，且DG=，∵AH⊥BC∴DG⊥BC，∵DF∥BC，EM⊥DF∴DG⊥DF，∴DG=ME=∵S△ABC=∴．故選擇B．4．如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的平行線交于點(diǎn)E，作的垂線交于點(diǎn)F，若，且的面積為2，則的長(zhǎng)為（

）A． B．5 C． D．【答案】D【詳解】解：過(guò)A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∵，∴AE=CE，DE=BC，∵DF⊥BC，∴，AD=BD，∴BF=HF，DF⊥DE，∴DF=AH，∵△DFE的面積為2cm2，∴DE?DF=2，∴DE?DF=4，∴BC?AH=2DE?2DF=4×4=16，∴AB?AC=16，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=AC，∴AB?2AB=16，∴AB=2（負(fù)值舍去），∴AC=4，∴BC=（cm），故選：D．5．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)，連接BE、BF、EF，若四邊形ABCD的面積為20，則△BEF的面積為（）A．2 B． C．5 D．9【答案】D【詳解】如圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作EF的垂線交AC于G點(diǎn)，交EF于H點(diǎn)，∵E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)∴EF//AC，△ACD中，AC邊上的高為2GH∴BG⊥AC在Rt△ABC中，AB＝BC＝∴由勾股定理可得：AC＝∵△ABC為等腰三角形∴△ABG和△BCG為等腰直角三角形∴AG＝BG＝AC=4(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)∵S△ABC＝·AB·BC=＝16，且四邊形ABCD的面積為20∴S△ACD＝20－16＝4，∴，∴=，∴BH＝BG+GH＝，又∵，∴S△BEF＝．故選：D．6．如圖，是的中位線，F(xiàn)是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若的面積為，則的值為．【答案】4【詳解】解：取的中點(diǎn)H，連接，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，是的中位線，∴，，∴，∵F是的中點(diǎn)，，在和中，∵∴，∴，，∵，∴，∵的面積為，∴，∴，故答案為：4．題型三：中點(diǎn)四邊形1．若順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則四邊形必定是（

）A．菱形 B．對(duì)角線相互垂直的四邊形C．正方形 D．對(duì)角線相等的四邊形【答案】D【詳解】解：連接、交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，是三角形的中位線，，，同理，，，，四邊形必定是對(duì)角線相等的四邊形．故選：D．2．已知四邊形為菱形，點(diǎn)E、F、G、H分別、、、邊的中點(diǎn)，依次連接E、F、G、H得到四邊形，則四邊形為（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】C【詳解】連接交于，

∵點(diǎn)E、F、G、H分別、、、邊的中點(diǎn)，∴，，，∴四邊形為平行四邊形，∵四邊形為菱形，∴，∴，∴四邊形為矩形，故選：C．3．順次連接一個(gè)菱形的各邊中點(diǎn)所得四邊形的形狀是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【詳解】解：順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得四邊形必定是：矩形，理由如下：（如圖）根據(jù)中位線定理可得：且，且，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．又∵四邊形是菱形，∴，則，∴四邊形是矩形．故選：B．4．順次連接等腰梯形（等腰梯形的兩條對(duì)角線相等）各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（

）．A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【詳解】解：如圖所示，是等腰梯形，E，F(xiàn)，G，H是四邊形四邊的中點(diǎn)，連接，，∵E，F(xiàn)，G，H是四邊形四邊的中點(diǎn)，∴，，，，同理：，∴且，∴四邊形是平行四邊形．∵等腰梯形的兩條對(duì)角線相等，即，∴，∴四邊形是菱形．故選：C．5．如圖，在四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形．若要使四邊形是矩形，則原四邊形必須滿足條件（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，連接，∵E，F(xiàn)，G，H分別是的中點(diǎn)，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴當(dāng)有一個(gè)角為直角時(shí)，即證明四邊形是矩形．∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．故選D．6．如圖，在四邊形中，E、F分別是、的中點(diǎn)，G、H分別是、的中點(diǎn)，依次連接E、G、F、H得到四邊形，要使四邊形是菱形，可添如條件．【答案】（答案不唯一）【詳解】解：∵E、F分別是、的中點(diǎn)，G、H分別是、的中點(diǎn)，∴，∵四邊相等的四邊形是菱形，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)四邊形是菱形；∴可添加的條件為：；故答案為：（答案不唯一）．題型四：與的中位線有關(guān)的證明1．如圖在中，，D、E、F分別是、、邊上的中點(diǎn)．求證：四邊形是菱形．

【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：D、E、F分別是、、邊上的中點(diǎn)且得到，是的中位線，，且四邊形是平行四邊形四邊形是菱形．2．已知：如圖，在四邊形中，，點(diǎn)M，N，P，Q分別是的中點(diǎn)．求證：四邊形是矩形．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：設(shè)與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，∵，，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C都在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線，即，∴，∵點(diǎn)M，N，N，P，Q分別是，，，的中點(diǎn)，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是矩形，∴，同理：，∴四邊形是矩形．3．已知：如圖，在中，中線，交于點(diǎn)O，G，H分別是，的中點(diǎn)，連接．求證：．【答案】∵在中，中線，交于點(diǎn)O，∴E、F分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵G，H分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴．4．在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)們思考如下問(wèn)題：如圖①，我們把一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)依次連接起來(lái)，得到的四邊形是平行四邊形嗎？小敏在思考問(wèn)題時(shí)，有如下思路：如圖①，連接．∵E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴，．∵G，H分別是，的中點(diǎn)，∴，．∴，．∴四邊形是平行四邊形．

(1)若只改變圖①中四邊形的形狀（如圖②），連接，，則四邊形還是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考小敏思考問(wèn)題的方法解決）．(2)如圖②，在（1）的條件下：①當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，四邊形是菱形？寫出結(jié)論并證明．②當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形？直接寫出結(jié)論．【答案】(1)是，見(jiàn)解析(2)①，見(jiàn)解析；②【詳解】（1）四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，，同理，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形；（2）①當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，由（1）知四邊形是平行四邊形，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴平行四邊形是菱形；②當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，由（1）知四邊形是平行四邊形，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴平行四邊形是矩形；5．如圖所示，在四邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是、的中點(diǎn)，且．求證：．

【答案】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，

、分別為、的中點(diǎn)，是的中位線，，同理可得，，，．，又，，，．6．（1）回歸課本請(qǐng)用文字語(yǔ)言表述三角形的中位線定理：________________．（2）回顧證法證明三角形中位線定理的方法很多，但多數(shù)都要通過(guò)添加輔助線構(gòu)圖完成．下面是其中一種輔助線的添加方法．請(qǐng)結(jié)合圖2，補(bǔ)全求證及證明過(guò)程．已知：在中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．求證：________________．證明：過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（3）實(shí)踐應(yīng)用如圖3，點(diǎn)和點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在外選一點(diǎn)，連接，分別取的中點(diǎn)，測(cè)得的長(zhǎng)度為9米，則兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_______________．

【答案】（1）三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半；（2），；詳見(jiàn)解析；（3）18米【詳解】解：（1）三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．故答案為：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半；（2）求證：，．證明：∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴，，過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．∴，在和中，．，．，．四邊形是平行四邊形，，，又，，．故答案為：，；（3）∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，米，∴，即：米故答案為：18米．題型五：構(gòu)造三角形的中位線1．如圖，在中，是中線，是角平分線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，

∵是的角平分線，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴為的中位線，∴，故答案為：．2．如圖，是的中線，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)，若，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【詳解】解：取的中點(diǎn)H，連接，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故選：B．3．如圖，在中，，M、N分別是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使．連接．若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：如圖：連接∵M(jìn)，N分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，M是的中點(diǎn)，∴，∴．故選：C．4．如圖，為中的外角平分線，于，為中點(diǎn)，，，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，，∵為中的外角平分線，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，又為中點(diǎn)，，∴，又，∴．故選：D．5．如圖，在中，平分，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)如圖1，的延長(zhǎng)線與邊相交于點(diǎn)D，求證：；(2)如圖2，請(qǐng)直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系：．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【詳解】（1）證明：如圖1中，平分，于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，即是等腰三角形，∵，，，．（2）解：結(jié)論：，理由：如圖2中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．，，，，，，，，為的中點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，；故答案為．6．已知：如圖①所示，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G．連結(jié)FG，延長(zhǎng)AF、AG，與直線BC相交，易證FG=（AB+BC+AC）．（1）BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線（如圖②）；（2）BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線（如圖③），則在圖②、圖③兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）圖②結(jié)論為：證明：分別延長(zhǎng)、交于、，在和中，，，，同理可證，，又∵，BH=BC-CH=BC-AC，（2）圖3的結(jié)論為．證明：分別延長(zhǎng)、交或延長(zhǎng)線于、,在和中，，，，同理可證，，，又．．題型六：最值問(wèn)題1．在矩形中，，，分別在、上取點(diǎn)P、Q（端點(diǎn)除外），連接，E、F分別為、的中點(diǎn)，連接EF，在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值為（）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】解：連接，∵E、F分別為、的中點(diǎn)，∴，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可得當(dāng)時(shí)，最小，也最小，∵矩形中，，，∴，∵，∴，∴，∴，故選A．2．如圖，在中，，，，點(diǎn)N是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為CN，MN的中點(diǎn)，則DE的最小值是（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【詳解】解：連接，∵點(diǎn)D、E分別為CN，MN的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，即最小，在中，，，，∴，∴的最小值為，∴的最小值為，故選：B．3．如圖，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接和，G，H分別為，的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】連接，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，∵G，H分別為，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，當(dāng)時(shí)，最小，得到最小值，則，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值為．故選：B．4．如圖，矩形的邊，E是上一點(diǎn)，，F(xiàn)是上一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是的中點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【詳解】解：，，，，，延長(zhǎng)到，使，連接，則，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，最小，最小值為．在中，，即最小為5，、分別是、的中點(diǎn)，，，的最小值為．故答案為：.題型七：找規(guī)律的問(wèn)題1．如圖所示，已知的面積為，連接三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，，依此類推，第個(gè)三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作于G，交于H，則，、E、F分別為、、的中點(diǎn)，、、分別為的中位線，，，，，，，，同理：第三個(gè)三角形的面積=，第四個(gè)三角形的面積第三個(gè)三角形面積，……，∴第2013個(gè)三角形的面積為，故選：D．2．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，取BC邊的中點(diǎn)E，作交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)F，得到四邊形EDAF，它的面積記作取BE邊的中點(diǎn)，作FB交EF于，交BF于點(diǎn)，得到四邊形，它的面積記作，…照此規(guī)律作下去，則的值為．【答案】【詳解】∵E是BC中點(diǎn)，，，∴ED、EF是△ABC的中位線，∴ED=EF=AD=AF==，∴四邊形EDAF是菱形，∵△ABC是等邊三角形，∴△ABC的高=，∴菱形EDAF的高為，∴S1===，同理，四邊形也是菱形，F(xiàn)F1==，菱形的高為=，∴S2===，S3===……Sn=，∴=故答案為：

3．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝12，AC＝20．以O(shè)B和OC為鄰邊作第一個(gè)平行四邊形，對(duì)角線BC與相交于點(diǎn)；再以和為鄰邊作第二個(gè)平行四邊形，對(duì)角線與相交于點(diǎn)；再以和為鄰邊作第三個(gè)平行四邊形…依此類推．記第一個(gè)平行四邊形的面積為，第二個(gè)平行四邊形的面積為，第三個(gè)平行四邊形的面積為…則是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵四邊形ABCD矩形，∴∠ABC＝90°，OB＝OC，∴BC＝＝16，∴矩形ABCD的面積＝12×16＝192；∵四邊形是平行四邊形，OB＝OC，∴四邊形是菱形，∴，∴是△ABC的中位線，∴＝AB＝6，∴，∴平行四邊形四邊形的面積＝×12×16＝192；根據(jù)題意得：四邊形是矩形，∴第2個(gè)平行四邊形的面積＝8×6＝48＝×192；同理：第3個(gè)平行四邊形的面積＝×8×6＝24＝×192；．．．，∴第n個(gè)平行四邊形的面積是×192，則是×192＝，故選：B．課后練習(xí)1．如圖，已知四邊形，R，P分別是上點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（

）

A．線段的長(zhǎng)逐漸增大 B．線段的長(zhǎng)逐漸減少C．線段的長(zhǎng)不變 D．線段的長(zhǎng)不能確定【答案】C【詳解】解：如下圖，連接，

分別是的中點(diǎn)，為的中位線，，為定值，線段的長(zhǎng)不改變，故選：C．2．如圖，在四邊形中，，E、F、G分別是的中點(diǎn)，若，則．【答案】【詳解】解：∵，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，是的中位線，,,又,,,,.故答案為：．3．如圖，、、、分別是、、、的中點(diǎn)．要使四邊形是正方形，、應(yīng)滿足的條件是．

【答案】且【詳解】應(yīng)滿足的條件是：且，理由：、、、分別是、、、的中點(diǎn)，在中，是的中位線，，，同理，，同理，，則且，四邊形為平行四邊形，又，，四邊形為菱形，，，，，，，菱形為正方形，故答案為：且．4．如圖，在中，，，，分別是，，，四條邊的中點(diǎn)，連接，，，，若的面積為，則和的面積之和為．【答案】6【詳解】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，的面積為，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，和的面積之和為，故答案為：．4．如圖，在中，是的中點(diǎn)，在上且，連接，相交于點(diǎn)，則．

【答案】【詳解】解：取中點(diǎn)，則是中位線，∴，，∴，∴設(shè)，則，，∴，故答案為．

5．如圖，在菱形中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，G、H分別為的中點(diǎn)，連接．若的最小值為3，則的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】解：連接，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，且，要使最小，只要最小，當(dāng)時(shí)，最小，∵的最小值為3，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴．故答案為：．6．如圖，在中，平分，D是的中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，，，平分，，，是等腰三角形，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，是的中位線，．故選：A．7．如圖，中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若平分，求線段的長(zhǎng)．【答案】2cm【詳解】解：出如圖，延長(zhǎng)交于，由題意知，，，在和中，∵，∴，∴，，∴是的中點(diǎn)，，又∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴的長(zhǎng)為2cm．8．如圖，的周長(zhǎng)為64，．．分別為．．的中點(diǎn)，．．分別為．