103三重積分(2)104應(yīng)用省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

三重積分計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)(最終都化為三次積分)方法3.利用對(duì)稱性.性質(zhì)略:§10.3內(nèi)容回顧定義:若Ω關(guān)于yoz面(或xoz面,xoy面)對(duì)稱,且f(x,y,z)為關(guān)于x(或y,z)連續(xù)奇函數(shù),則=0第1頁(yè)方法1.投影法(“先一后二”)(頂部)(底部)(在xoy面上投影域)第2頁(yè)方法2.截面法(“先二后一”)=方法２尤其適合用于，當(dāng)被積函數(shù)為ｚ一元函數(shù)時(shí)，而截面圖形非常清楚且面積易知(記為S(z))情況,不然普通不用方法2．第3頁(yè)在柱面坐標(biāo)系中體積元素為所以適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示也簡(jiǎn)單.2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分實(shí)際上是先一(直角坐標(biāo))后二(二重積分化為極坐標(biāo)下二次積分)復(fù)合結(jié)果第4頁(yè)例7.計(jì)算三重積分解:Ω如圖所圍成.與平面其中

由拋物面原式=第5頁(yè)3.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分就稱為點(diǎn)M球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面第6頁(yè)如圖所表示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為所以有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)也簡(jiǎn)單.第7頁(yè)例8.計(jì)算三重積分解:Ω如圖所圍立體.其中

與球面第8頁(yè)例9.設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算解:利用對(duì)稱性(同例8)第9頁(yè)作業(yè)P16410

(2)；11

(1),(4)；12(1),(4)

第10頁(yè)●將三次積分⑴先對(duì)y三次積分：⑵柱面坐標(biāo)下三次積分：⑶球面坐標(biāo)下三次積分：

化為Ω如圖…則(1)則(2)則(3)-1第11頁(yè)一、立體體積二、曲面面積三、物體質(zhì)心與形心四、物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、物體間引力§10.4重積分應(yīng)用第十章第12頁(yè)

二重積分應(yīng)用：計(jì)算一小片dσ上部分量近似值

用微元法(或元素法)建立被積表示式用重積分處理問(wèn)題方法

三重積分應(yīng)用：計(jì)算一小塊dv上部分量近似值以后講到線積分、面積分應(yīng)用也是這個(gè)思想(微元法

)微元第13頁(yè)一、立體體積曲頂柱體頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

立體體積為第14頁(yè)例1.求半徑為a

球面與半頂角為

內(nèi)接錐面所圍成立體(上部)體積.P163例4解:建坐標(biāo)系如圖:則立體體積為P16512第15頁(yè)二、曲面面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D上投影為d

,(面積微元或面積元素)則第16頁(yè)故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即若光滑曲面方程為則有第17頁(yè)例2.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影為則出面積A.第18頁(yè)例3.計(jì)算半徑為a

球表面積.解:設(shè)球面方程為曲面在xoy面上投影為(P167例1)由對(duì)稱性,所求面積為上半球面面積二倍第19頁(yè)(為瑕積分)a為瑕點(diǎn)第20頁(yè)三、物體質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有平面域D,并有連續(xù)密度函數(shù)則分別位于為為其質(zhì)心公式.推導(dǎo)以下:第21頁(yè)將D分割,對(duì)于y軸靜力矩Dxy另首先,設(shè)物體質(zhì)心為則所以同理當(dāng)μ為常數(shù)時(shí),得形心坐標(biāo)：

(其中A為D面積)第22頁(yè)若物體為占有空間區(qū)域Ω,則它質(zhì)心坐標(biāo)為其密度為則得形心坐標(biāo)：第23頁(yè)例4.求位于兩圓和質(zhì)心.(P171例3)解:利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片總之,薄片質(zhì)心(形心)坐標(biāo)為:第24頁(yè)四、物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處微元dv所以物體對(duì)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.第25頁(yè)類似可得:對(duì)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第26頁(yè)假如物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示式是二重積分.第27頁(yè)例5.求半徑為a

均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(P172例5)第28頁(yè)解:取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則例6.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心一條軸

l轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(P173)設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))看教材上是怎么計(jì)算第29頁(yè)五、物體引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于P0(x0,y0,z0)質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上投影分別為其中P0第30頁(yè)G

為引力常數(shù)設(shè)尤其地,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)時(shí)在上積分即得各引力分量:引力元素在三坐標(biāo)軸上投影分別為第31頁(yè)對(duì)xoy面上平面薄片D,它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)引力分量為第32頁(yè)例7.設(shè)面密度為μ,半徑為R圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解:由對(duì)稱性知引力處質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)引力.。第33頁(yè)作業(yè)P154

7，10,17P175

1，3，6,11,