大學(xué)導(dǎo)數(shù)練習(xí)題

大學(xué)導(dǎo)數(shù)練習(xí)題一、基本概念題1.判斷下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否存在，若存在，求出其導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)=x^33x+2(2)g(x)=|x1|(3)h(x)=e^xln(x)2.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，求下列極限：(1)lim(x→a)[f(x)f(a)]/(xa)(2)lim(x→0)[f(x)f(0)]/x3.討論函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)是否存在。二、求導(dǎo)法則題1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=(3x^2+4x1)^5(2)y=(x^2+1)/(x^32x)(3)y=arcsin(x^2)2.設(shè)y=e^(x^2)ln(x)，求y'。3.設(shè)y=(x+1)^2(x2)^3，求y''。三、高階導(dǎo)數(shù)題1.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)y=x^42x^3+3x^2(2)y=sin^2(x)(3)y=e^(x^2)2.設(shè)y=(x^2+1)/(x^32x)，求y的第三階導(dǎo)數(shù)。四、應(yīng)用題1.某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(x)=1000+5x^2，其中x為生產(chǎn)量。求：(1)生產(chǎn)100件產(chǎn)品的平均成本。(2)生產(chǎn)100件產(chǎn)品的邊際成本。2.設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=1002P，其中P為價(jià)格，Q為需求量。求：(1)當(dāng)價(jià)格為20元時(shí)的需求彈性。(2)價(jià)格P為多少時(shí)，需求彈性為1。五、綜合題1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^33x+2，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程。2.討論函數(shù)f(x)=x^2e^x的單調(diào)性。3.已知函數(shù)f(x)=x^22x+1，求證：在區(qū)間(0,1)內(nèi)，f(x)的圖像是凹的。六、極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題1.判斷下列極限是否存在，若存在，求出其值：(1)lim(x→0)(1cos(x))/x^2(2)lim(x→∞)(xln(x))(3)lim(x→0)(e^x1)/x2.若函數(shù)f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)f'(0)存在，求下列極限：(1)lim(x→0)[f(x^2)f(x)]/x(2)lim(x→0)[f(x^3)f(x^2)]/x^2七、隱函數(shù)求導(dǎo)題1.設(shè)y是x的函數(shù)，由下列方程確定，求dy/dx：(1)x^3+y^3=6xy(2)e^(x+y)=xy(3)sin(x+y)=cos(xy)2.設(shè)x=cos(t)，y=sin(t)，求dy/dx。八、參數(shù)方程求導(dǎo)題1.設(shè)參數(shù)方程為x=t^21，y=t^3+2，求dy/dx。2.設(shè)參數(shù)方程為x=2cos(θ)，y=sin(θ)，求dy/dx。九、多元函數(shù)求導(dǎo)題1.設(shè)z=f(x,y)=x^2yy^3+4，求?z/?x和?z/?y。2.設(shè)u=f(x,y,z)=e^(xyz)x^2y+z^3，求?u/?x、?u/?y和?u/?z。十、實(shí)際應(yīng)用題1.一物體從靜止開始做直線運(yùn)動(dòng)，其加速度a(t)=4t2（m/s^2），求物體在t=3秒時(shí)的速度。2.某企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，總成本C(x,y)=x^2+2xy+y^2，其中x和y分別為產(chǎn)品A和B的產(chǎn)量。求：(1)當(dāng)x=10，y=20時(shí)，產(chǎn)品A和B的邊際成本。(2)當(dāng)總產(chǎn)量固定為30時(shí)，產(chǎn)品A和B的最佳產(chǎn)量組合。答案一、基本概念題1.(1)f'(x)=3x^23(2)g'(x)=1,x>1;g'(x)=1,x<1,g'(x)不存在,x=1(3)h'(x)=e^xln(x)+e^x/x2.(1)f'(a)(2)f'(0)3.f'(x)不存在。二、求導(dǎo)法則題1.(1)y'=5(3x^2+4x1)^4(6x+4)(2)y'=[(x^32x)(2x)(x^2+1)(3x^22)]/(x^32x)^2(3)y'=1/sqrt(1x^4)2.y'=e^(x^2)ln(x)+2xe^(x^2)/x3.y''=2(x+1)(x2)^3+3(x+1)^2(x2)^2三、高階導(dǎo)數(shù)題1.(1)y''=12x^212x(2)y''=sin(2x)(3)y''=4xe^(x^2)2e^(x^2)2.y'''=[2(x^32x)^33(x^2+1)(x^32x)^2(3x^22)]/(x^32x)^4四、應(yīng)用題1.(1)平均成本=(1000+5100^2)/100=1505(2)邊際成本=10x=10100=10002.(1)需求彈性=(220)/(100220)=0.8(2)價(jià)格P=50元五、綜合題1.切線方程：y0=0(x1)，即y=02.f'(x)=3x^2e^x+x^2e^x，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(∞,0)3.f''(x)=2，在區(qū)間(0,1)內(nèi)，f''(x)>0，故f(x)的圖像是凹的。六、極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題1.(1)lim(x→0)(1cos(x))/x^2=1/2(2)lim(x→∞)(xln(x))=∞(3)lim(x→0)(e^x1)/x=12.(1)lim(x→0)[f(x^2)f(x)]/x=f'(0)(2)lim(x→0)[f(x^3)f(x^2)]/x^2=3f'(0)2f'(0)=f'(0)七、隱函數(shù)求導(dǎo)題1.(1)dy/dx=(2x6y)/(3y^22x)(2)dy/dx=(1e^(x+y))/(1+e^(x+y))(3)dy/dx=(cos(x+y)+sin(xy))/(sin(x+y)cos(xy))2.dy/dx=sin(t)/cos(t)=tan(t)八、