北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題

PAGEPAGE10北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題2024.4本試卷共4頁(yè)，100分.考試時(shí)長(zhǎng)90分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知等差數(shù)列中，，公差，則（）A.9B.10C.11D.122.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為若，則（）A.8B.12C.14D.163.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（）A.B.C.D.4.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的微小值點(diǎn)的集合為（）A.B.C.D.5.已知函數(shù)若對(duì)于隨意都有，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A.B.C.D.6.科學(xué)家經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)，發(fā)覺(jué)在某一段時(shí)間內(nèi)，某物種的種群數(shù)量可以近似看作時(shí)間的函數(shù)，記作，其瞬時(shí)改變率和的關(guān)系為，其中為常數(shù).在下列選項(xiàng)所給函數(shù)中，可能是（）A.B.C.D.7.若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.或8.一個(gè)小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，其中(單位：是小球相對(duì)于平衡點(diǎn)的位移，(單位：)為運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則小球的瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大時(shí)，（）A.1B.C.D.9.已知等比數(shù)列滿意，記，則數(shù)列（）A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)10.已知等比數(shù)列滿意若，則（）A.B.C.D.二?填空題：共5小題，每小題4分，共20分.11.函數(shù)在處的切線方程為_(kāi)_________.12.已知函數(shù)，則__________.13.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________，__________.14.已知等比數(shù)列滿意能說(shuō)明“若，則為假命題的數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.(寫(xiě)出一個(gè)即可)15.物體的溫度在恒定溫度環(huán)境中的改變模型為：，其中表示物體所處環(huán)境的溫度，是物體的初始溫度，是經(jīng)過(guò)小時(shí)后物體的溫度，且現(xiàn)將與室溫相同的食材放進(jìn)冰箱的冷凍室，假如用以上模型來(lái)估算放入冰箱食材的溫度改變狀況，則食材的溫度在單位時(shí)間下降的幅度__________(填寫(xiě)正確選項(xiàng)的序號(hào)).①越來(lái)越大②越來(lái)越?、酆愣ú蛔?nèi)?解答題：共4小題，每小題10分，共40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前20項(xiàng)和；（3）在數(shù)列中是否存在不同的兩項(xiàng)，使得它們的等比中項(xiàng)中至少有一個(gè)仍是該數(shù)列中的項(xiàng)？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出這兩項(xiàng)的值(寫(xiě)出一組即可)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍.18.易拉罐用料最省問(wèn)題的探討.小明同學(xué)最近留意到一條新聞，易拉罐(如圖所示)作為飲品的容器，每年的用量可達(dá)數(shù)萬(wàn)億個(gè).這讓他想到一個(gè)用料最優(yōu)化的問(wèn)題，即在易拉罐的體積肯定的狀況下，如何確定易拉罐的高和半徑才能使得用料最??？他探討發(fā)覺(jué)易拉罐的上蓋?下底和側(cè)壁的厚度是不同的，進(jìn)而結(jié)合數(shù)學(xué)建模學(xué)問(wèn)進(jìn)行了深化探討.以下是小明的探討過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)全缺失的部分.以下是小明的探討過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)全缺失的部分.（I）模型假設(shè)：①易拉罐近似看成圓柱體；②上蓋?下底?側(cè)壁的厚度到處勻稱；③上蓋?下底?側(cè)壁所用金屬相同；④易拉罐接口處的所用材料忽視不計(jì).（II）建立模型記圓柱體積為，高為，底面半徑為，上蓋?下底和側(cè)壁的厚度分別為，金屬用料總量為C.由幾何學(xué)問(wèn)得到如下數(shù)量關(guān)系：①②由①得，代入②整理得：.因?yàn)槎际浅?shù)，不妨設(shè)，則用料總量的函數(shù)簡(jiǎn)化為.請(qǐng)寫(xiě)出表格中代入整理這一步的目的是：___________________________.（III）求解模型：所以，在___________(用表示)時(shí)，取得最小值，即在此種狀況下用料最省.(Ⅳ)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停盒∶魃暇W(wǎng)查閱到目前330毫升可樂(lè)易拉罐的數(shù)據(jù)，得知，代入（III）的模型結(jié)果，經(jīng)計(jì)算得閱歷算，確認(rèn)計(jì)算無(wú)誤，但是這與實(shí)際罐體半徑差異較大.事實(shí)上，在經(jīng)濟(jì)利益驅(qū)動(dòng)之下，目前的罐體成本應(yīng)當(dāng)已經(jīng)達(dá)最優(yōu).(Ⅴ)模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)：模型計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)存在較大差異的緣由可能為：_________________________________________________________________________________________________.相應(yīng)改進(jìn)措施為：_________________________________________________________________________________________________________________________________.19.集合，集合，若集合中元素個(gè)數(shù)為，且全部元素從小到大排列后是等差數(shù)列，則稱集合為“好集合”.（1）推斷集合是否為“好集合”；（2）若集合是“好集合”，求的值；（3）“好集合”的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.海淀區(qū)高二年級(jí)其次學(xué)期期中練習(xí)參考答案數(shù)學(xué)2024.4本試卷共4頁(yè)，100分.考試時(shí)長(zhǎng)90分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)12345678910CCABBADDAA二?填空題共5小題，每小題4分，共20分.11.12.13.(每空2分)14.(答案不唯一)15.②三?解答題共4小題，每小題10分，共40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.16.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以.（2）由可得，由可得，所以，所以.（3）存在答案不唯一)17.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）定義域?yàn)椋院愠闪ⅲ葍r(jià)于恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是所以，的極大值，此時(shí)也是最大值，為.所以的取值范圍是.18.【解析】（2）表格中代入整理這一步的目的是：消元，消去變量，使②中的表達(dá)式只含有一個(gè)自變量.（3）解：由可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.所以，在時(shí)，取得最小值，即在此種狀況下用料最省.（Ⅴ）說(shuō)明：本小題的答案不唯一，下面兩種是常見(jiàn)的兩個(gè)考慮維度，答出任何一條即可，但是學(xué)生指出的緣由和改進(jìn)措施必需相匹配，只填出一空不給分.模型計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)存在較大差異的緣由可能為：①模型假設(shè)過(guò)于簡(jiǎn)潔，把易拉罐近似看成圓柱體，但事實(shí)上易拉罐的上部為近似圓臺(tái)體，尤其是底部有凹進(jìn)去的部分相應(yīng)改進(jìn)措施：更精細(xì)描述易拉罐，例如將易拉罐體看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體.②模型主要考慮了如何設(shè)計(jì)使得用料最省，但事實(shí)上還須要考慮生產(chǎn)與運(yùn)輸中的其它限制條件，還有消費(fèi)者的喜好等其它因素.相應(yīng)改進(jìn)措施：了解在現(xiàn)實(shí)中，商家認(rèn)為的最優(yōu)內(nèi)涵要素，重新界定問(wèn)題.19.【解析】（1），相應(yīng)的符合題意，所以是“好集合”；，因?yàn)?，所以不符合題意，所以不是“好集合”；（2），相應(yīng)的，又因?yàn)?，所以元素由小到大排列后為：或因?yàn)檫@個(gè)序列是等差數(shù)列，所以公差.所以或，所以或經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，符合題意；時(shí)，不符合題意.所以（3）“好集合”的元素個(gè)數(shù)存在最大值.由（2）可知即為“好集合”.以下證明都不是“好集合"，共分為兩步：先證明“好集合”的元素個(gè)數(shù)，再證明也不符合題意.不妨設(shè)，記，中的全部元素從小到大排列為，構(gòu)成的等差數(shù)列公差為明顯，所以.第一步，證明“好集合”的元素個(gè)數(shù).(反證法)假設(shè)，以下分與兩種狀況進(jìn)行探討：（1）若，又因?yàn)榍夜?，可得，所以，所以，因?yàn)橛嘞碌膬身?xiàng)之和中，最小，所以，所以，因?yàn)?，在余下的?xiàng)中，是和是較小的，因?yàn)?，所以，所以，則所以這與“中元素個(gè)數(shù)為”沖突!（2）若，則，在余下的項(xiàng)中，是和是較小的，①若，那么，所以，，而與“中元素個(gè)數(shù)為”沖突