北京市北師大二附中2021-2022學(xué)年高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中左視圖中三角形為等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積是（）A． B．C． D．2．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．（）A． B． C． D．4．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．635．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．126．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．7．給出以下四個(gè)命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．38．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．若單位向量，夾角為，，且，則實(shí)數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－110．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．11．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．412．某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為2的直線與的交點(diǎn)為，若，則直線的方程為___________．15．已知向量，，則______.16．已知直角坐標(biāo)系中起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量滿足，且，，，存在，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線C交于點(diǎn)A（不同于極點(diǎn)O），與直線l交于點(diǎn)B，求的最大值.18．（12分）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為3的菱形，平面.（1）求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明.20．（12分）已知?jiǎng)訄A恒過點(diǎn)，且與直線相切.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，的平行線交軌跡于，兩點(diǎn)，交軌跡在處的切線于點(diǎn)，問：是否存在實(shí)常數(shù)使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，是與的等比中項(xiàng).（1）求；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.22．（10分）已知橢圓：過點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點(diǎn).（1）證明：當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

作出三視圖所表示幾何體的直觀圖，可得直觀圖為直三棱柱，并且底面為等腰直角三角形，即可求得外接球的半徑，即可得外接球的體積.【詳解】如圖為幾何體的直觀圖，上下底面為腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，三棱柱的高為4，其外接球半徑為，所以體積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意球心的確定.2．B【解析】

由題可知，，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得，對(duì)有，即，解得，再對(duì)，由勾股定理可得，化簡(jiǎn)即可求解【詳解】如圖，因?yàn)?，所?因?yàn)樗?在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題3．A【解析】

分子分母同乘,即根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】

根據(jù)，得到，即，由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列，然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)椋裕?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.5．A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項(xiàng)，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差數(shù)列，一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來，繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對(duì)比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計(jì)算量大大減少.6．D【解析】因?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.7．B【解析】

用空間四邊形對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)公理2對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)空間角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對(duì)④進(jìn)行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯(cuò)誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查空間點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認(rèn)識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.8．A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計(jì)算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.9．D【解析】

利用向量模的運(yùn)算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解．【詳解】，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用．掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ)．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．11．B【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，①.成等比數(shù)列，②，解①②可得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績(jī)相比，成績(jī)和平均數(shù)都增加了50，所以沒有改變，根據(jù)方差公式可知方差不變.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，再依據(jù)分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問題，進(jìn)而求得的取值范圍?！驹斀狻坑傻茫瑑蛇呁?，得到，，，設(shè)，，由函數(shù)在上遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。14．【解析】

設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，得到A，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，代入到中，解出t的值，即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線．由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．

由可得，

則，從而，得，所以l的方程為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.15．【解析】

求出，然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ)．本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算．16．【解析】

由題意可設(shè)，，，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及恒成立思想可設(shè)，的最小值即為點(diǎn)，到直線的距離，求得，可得不大于．【詳解】解：，且，可設(shè)，，，，可得，可得的終點(diǎn)均在直線上，由于為任意實(shí)數(shù)，可得時(shí)，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，可得，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式，可得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模的求法，以及兩點(diǎn)的距離的運(yùn)用，考查直線方程的運(yùn)用，以及點(diǎn)到直線的距離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）：，直線：；（2）．【解析】

（1）由消參法把參數(shù)方程化為普通方程，再由公式進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化；（2）由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標(biāo)方程，求出極徑，把比值化為的三角函數(shù)，從而可得最大值、【詳解】（1）消去參數(shù)可得曲線的普通方程是，即，代入得，即，∴曲線的極坐標(biāo)方程是；由，化為直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，掌握公式可輕松自如進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化．18．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由已知線面垂直得，結(jié)合菱形對(duì)角線垂直，可證得線面垂直；（2）由已知知兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由已知線面垂直知與平面所成角為，這樣可計(jì)算出的長(zhǎng)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，由法向量夾角可得二面角．【詳解】證明：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?又因?yàn)?，平面，平面，所以平?解：（2）據(jù)題設(shè)知，兩兩互相垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)榕c平面所成角為，即，所以又，所以，所以所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則.因?yàn)槠矫妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量，且所以，．所以二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查用向量法求二面角．立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空間角，這樣可減少思維量，把問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算．19．（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，，無單調(diào)遞增區(qū)間（2）證明見解析【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性，（2）整理，化簡(jiǎn)為，令，求的單調(diào)性，以及，即證.【詳解】解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，則，令，，則，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；故，，，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，無單調(diào)遞增區(qū)間.（2）證明，即為，因?yàn)?，即證，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，則，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以要證原不等式成立，只需證當(dāng)時(shí)，，令，，，可知對(duì)于恒成立，即，即，故，即證，故原不等式得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．20．（1）；（2）存在，.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結(jié)合已知點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得方程；（2）由拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，利用導(dǎo)數(shù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求得，進(jìn)而求得與之間的大小關(guān)系，即可求得參數(shù).【詳解】（1）由題意得，點(diǎn)與點(diǎn)的距離始終等于點(diǎn)到直線的距離，由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，則，.∴圓心的軌跡方程為.（2）因?yàn)槭擒壽E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，由（1）不妨取，所以直線的斜率為1.因?yàn)?，所以設(shè)直線的方程為，.由，得，則在點(diǎn)處的切線斜率為2，所以在點(diǎn)處的切線方程為.由得所以，所以.由消去得，由，得且.設(shè)，，則，.因?yàn)辄c(diǎn)，，在直線上，所以，，所以，所以.∴故存在，使得.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中定值問題的求解，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬綜合性中檔題.21．（1）；（2）.【解析】

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