2020-2021學(xué)年遼寧省葫蘆島市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年遼寧省葫蘆島市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)集合，再求集合交集．【詳解】由，則故選：C2．已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】空間向量坐標(biāo)形式的加減，直接對(duì)坐標(biāo)的值分別對(duì)應(yīng)加減即可.【詳解】由題意得.故選：B.3．已知直線過(guò)兩點(diǎn)，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線斜率公式直接求解即可．【詳解】直線的斜率為故選：A4．已知直線，圓，則圓的圓心到直線的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由距離公式求解即可.【詳解】圓心到直線的距離故選：D5．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將拋物線化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式再分析即可.【詳解】即,故拋物線焦點(diǎn)在軸上,,焦點(diǎn)縱坐標(biāo)為.故焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),需要將拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)形式再判斷,屬于基礎(chǔ)題.6．如圖，一只螞蟻在處覓食（螞蟻只能走黑色實(shí)線)，處有一塊巧克力，螞蟻找到巧克力的最短路徑爬法有（）A．種 B．種C．種 D．種【答案】C【分析】分析得，最短路徑爬法必須沿著黑色實(shí)線爬行，且只能爬7步，豎著的爬3步，橫著的爬4步，即得解.【詳解】由圖可知，最短路徑爬法必須沿著黑色實(shí)線爬行，且只能爬7步，豎著的爬3步，橫著的爬4步，所以最短路徑爬法有種.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：排列組合問(wèn)題常用的解題策略：簡(jiǎn)單問(wèn)題原理法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、復(fù)雜問(wèn)題分類(lèi)法、至少問(wèn)題間接法、等概率問(wèn)題縮倍法、小數(shù)問(wèn)題列舉法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.7．將邊長(zhǎng)為的正方形及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè)，則直線與平面所成的角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，然后在直角三角形中求解即可．【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，又點(diǎn)到平面的距離為1，故直線與平面所成的角的正弦值為．故選：B．8．若是雙曲線的左右焦點(diǎn)，作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，找出，的齊次關(guān)系式即可得到雙曲線的離心率.【詳解】由題意得，，，在中，，因，故，在，由余弦定理得，即，計(jì)算得，故.故選：D.【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、多選題9．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系，選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】對(duì)A：∵，，∴，又∵，∴，故A正確對(duì)B：∵，，∴，故B正確對(duì)C：∵，，∴或，又∵，∴或與相交或與異面，故C錯(cuò)誤對(duì)D：∵，，∴，又∵，∴，故D正確故選：ABD.10．已知曲線，則下列正確的是（）A．若則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B．若則是圓，其半徑為C．若則是雙曲線，其漸近線方程為D．若，則是兩條直線【答案】BD【分析】根據(jù)的取值結(jié)合圓、橢圓、雙曲線方程的特點(diǎn)逐項(xiàng)分析曲線的方程.【詳解】A．因?yàn)椋?，所以，所以曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故錯(cuò)誤；B．因?yàn)榍?，所以曲線是半徑為的圓，故正確；C．因?yàn)?，所以一正一?fù)，所以曲線是雙曲線，令，所以，所以漸近線方程為，故錯(cuò)誤；D．因?yàn)椋?，所以曲線是垂直于軸的兩條直線，故正確；故選：BD.11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，過(guò)的平面與棱，分別交于點(diǎn).設(shè).下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形一定是菱形B．平面C．四棱錐的體積為定值D．四邊形的面積在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABC【分析】A．根據(jù)線線平行關(guān)系去證明；B．根據(jù)的位置關(guān)系結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明；C．根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化將變形為，然后根據(jù)條件去分析；D．根據(jù)線段長(zhǎng)度以及勾股定理表示出，然后借助二次函數(shù)分析其單調(diào)性.【詳解】A．因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面平面，所以，同理可知：，所以四邊形為平行四邊形，又由題意可知，所以四邊形為菱形，故A正確；B．因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；C．由條件可知：，，，因?yàn)?，所以平面，所以到平面的距離即為，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又，所以到平面的距離為，同理到平面的距離為，所以，為定值，故C正確；D．當(dāng)，由對(duì)稱性可知，所以，過(guò)作交于點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以，所以，所以，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中求幾何體體積常用的方法：（1）直接法：所給的是規(guī)范幾何體，且已知條件比較集中時(shí)，就按所給圖象的方位用公式直接計(jì)算體積；（2）等體積法（換底法）：當(dāng)按所給圖象的方位不易計(jì)算體積，可選擇其中較集中的面作為底面，以便計(jì)算底面積和高；（3）割補(bǔ)法：所給的是非規(guī)范的幾何體，通過(guò)對(duì)圖象的割補(bǔ)或體積變換，化為與已知條件直接聯(lián)系的規(guī)范幾何體，并作體積的加減法.12．泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話:世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互了望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓，已知，直線，若某直線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離大.則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．是“最遠(yuǎn)距離直線”B．不是“最遠(yuǎn)距離直線”C．點(diǎn)的軌跡與直線是沒(méi)有交匯的軌跡(即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn)）D．點(diǎn)的軌跡曲線是一條線段【答案】BCD【分析】根據(jù)題意可判斷點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，求得拋物線方程，與直線方程聯(lián)立即可判斷.【詳解】點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離大，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，因此點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，故D錯(cuò)誤；則可得點(diǎn)的軌跡方程為，聯(lián)立方程可得，則，有解，故是“最遠(yuǎn)距離直線”，故A正確；聯(lián)立方程可得，則，有解，故是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B錯(cuò)誤；聯(lián)立方程，可解得，故兩個(gè)軌跡有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.綜上，選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤.故選：BCD.三、填空題13．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的取值為_(kāi)___．【答案】或【分析】根據(jù)直線與直線垂直的關(guān)系可得，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，即或.故答案為：或.14．若的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】2【分析】首先由通項(xiàng)，令可得，可得，再利用基本不等式即可得解.【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：.15．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書(shū)》中的一部，相傳是漢末徐岳所著，該書(shū)主要記述了積算（即籌算)、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計(jì)數(shù)種計(jì)算器械的使用方法，某研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁、戊五人.該小組搜集兩儀、三才、五行、八卦、九宮種計(jì)算器械的資料.每人搜集一種，每種資料都要有人搜集，其中甲乙不搜集兩儀，丙丁不搜集三才，戊不搜集八卦和九宮，則不同的分配方案的種數(shù)____.(用數(shù)字填寫(xiě)答案）【答案】32【分析】根據(jù)題意，戊不搜集八卦和九宮，則戊可能收集兩儀、三才、五行，則分3種情況討論：①戊收集五行；②戊收集三才；③戊收集兩儀；【詳解】根據(jù)題意，戊不搜集八卦和九宮，則戊可能收集兩儀、三才、五行，則分3種情況討論：①戊收集五行，在甲乙中選出1人收集三才，丙丁中選出1人收集兩儀，剩下2人收集其他2種，則有種分配方案；②戊收集三才，在丙丁中選出1人收集兩儀，剩下3人收集其他3種，則有種分配方案；③戊收集兩儀，在甲乙中選出1人收集三才，剩下3人收集其他3種，則有種分配方案；綜上，種分配方案故答案為：3216．在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，為線段分別為的動(dòng)點(diǎn)，則最小時(shí)直線與直線所成的角的余弦值為_(kāi)__________．【答案】【分析】連結(jié)交于點(diǎn)，利用平面幾何知識(shí)的線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理得到，經(jīng)過(guò)分析可知當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，最小，然后利用三角形全等得到，從而，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，然后利用空間向量基本定理和模的求解，分別求出，，的值，利用余弦定理分析求解即可．【詳解】解：連結(jié)交于點(diǎn)，因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，則，由和為底面正方形的兩條對(duì)角線，故，所以，又側(cè)棱底面，且底面，故，又和為平面內(nèi)兩條相交的直線，所以平面，故，若點(diǎn)不在處，則，故點(diǎn)在處時(shí)，最小，連結(jié)，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，，，所以，所以，故，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，因?yàn)?，所以，則，，所以，所以，又，所以，設(shè)最小時(shí)直線與直線所成的角為，所以，所以最小時(shí)直線與直線所成角的余弦值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求兩個(gè)線段和的最值時(shí)通常會(huì)用到三角形兩邊和大于第三邊，本題中關(guān)鍵就是用這個(gè)結(jié)論確定最小時(shí)的點(diǎn)的位置然后結(jié)合解三角形求解.四、解答題17．在的展開(kāi)式中.（1）若存在常數(shù)項(xiàng)，求的最小值；（2）①展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為；②展開(kāi)式中所有的系數(shù)和為；③展開(kāi)式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等在以上①②③中任選一項(xiàng)作答.（i）求；（ii）若展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，求常數(shù)項(xiàng)；若不存在說(shuō)明理由．(如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)【答案】（1）5；（2）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）答案見(jiàn)解析．【分析】（1）利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式，令變量指數(shù)為零即可解出結(jié)果；（2）選①：利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式得，結(jié)合通項(xiàng)公式即可求得常數(shù)項(xiàng)；選②：令代入二項(xiàng)式得系數(shù)和，即可得，結(jié)合通項(xiàng)公式即可求得常數(shù)項(xiàng)；選③：利用第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等得，結(jié)合通項(xiàng)公式即可判斷結(jié)果．【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，有最小正整數(shù)值（2）選①：（i）由題意得，（ii）展開(kāi)式通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為:選②：（i）由題意，令，有（ii）展開(kāi)式通項(xiàng)當(dāng)時(shí)，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為:選③：（i）（ii）展開(kāi)式通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，不是整數(shù)，因此無(wú)常數(shù)項(xiàng)．18．如圖，已知在直四棱錐中，，，（1）求證:平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）通過(guò)證明，，結(jié)合線面垂直的判定定理完成證明；（2）根據(jù)，分別求解出的值，則點(diǎn)到平面的距離可求.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，四邊形為正方形，，，，即.又平面，平面，且.平面；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易知，由知，，且，，平面，，，點(diǎn)到平面的距離為.19．已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若直線，且與圓交于點(diǎn)且以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）先求垂直平分線方程，與直線交點(diǎn)得圓心，再根據(jù)圓心到點(diǎn)距離得半徑，最后寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）先設(shè)直線斜截式方程，則垂直，利用坐標(biāo)表示，再聯(lián)立直線方程與圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得，即得直線的方程.【詳解】，線段的中點(diǎn)，斜率，則的垂直平分線方程為，即解方程組得圓心，半徑故圓的方程為.由，設(shè)的方程為.代入圓的方程，得.設(shè)，則故，設(shè)原點(diǎn)為依題意知，則.，于是，即.或，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足故直線的方程為或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于把直線的方程代入圓的方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理，消參得到，最后求出，屬于中檔題20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離為（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由外接圓的圓心在的垂直平分線上得出外接圓的圓心橫坐標(biāo)，結(jié)合外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離為，得出方程；（2）聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達(dá)定理得出，由三角形面積公式得出，再由換元法以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍.【詳解】（1）由題意，的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線由外接圓的圓心在的垂直平分線上所以外接圓的圓心橫坐標(biāo)為又因?yàn)橥饨訄A的圓心到準(zhǔn)線的距離為所以，所以，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為由韋達(dá)定理得因?yàn)檩S，則因?yàn)?，令所以所以，即所以的面積的取值范圍為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題二的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理以及三角形面積公式得出，再由換元法以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍.中.平面.點(diǎn)在側(cè)棱上，.（1）證明:平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明在側(cè)棱的中點(diǎn)，再由線面平行的判定證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角的余弦值.【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)由得即，解得，即故在側(cè)棱的中點(diǎn)；連接交于點(diǎn)，連接，則為三角形的中位線平面平面平面；（2）設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則而，，則取，；設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則而，則取于是，而二面角為鈍角，故二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量方法求解二面角的余弦值的步驟：（1）建立合適空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一個(gè)法向量；（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量亦可）（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量夾角的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是鈍角還是銳角，從而得到二面角的余弦值22．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，面積最大值為，離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)，使得的值.如果不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在實(shí)數(shù)．【分析】（1）根據(jù)離心率公式，三角形