四川省南充市儀隴縣儀隴中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

儀隴中學(xué)2023—2024學(xué)年度上期第一次月考高二數(shù)學(xué)試卷滿分：150分考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題（每小題5分，共40分）1.若，則z的虛部為（）A. B. C.1 D.3【答案】B【解析】【分析】復(fù)數(shù)乘法運算化簡，即可得虛部.【詳解】，虛部為.故選：B2.下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓臺的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征逐一分析四個選項得答案．【詳解】由圖可知，A選項中的直角梯形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓臺，B選項中的半圓繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成球體，C選項中的矩形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓柱，D選項中直角三角形繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓錐．故選：A3.已知角終邊上有一點，則為（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角終邊上的點所在象限判斷即可.【詳解】因為點在第四象限，所以角為第四象限角.故選：D.4.一個水平放置的平面四邊形采用斜二側(cè)畫法得到的直觀圖是菱形，如圖所示，則平面四邊形的形狀為（）A.正方形 B.長方形 C.菱形 D.梯形【答案】B【解析】【分析】直接將直觀圖進行還原即可得結(jié)果.【詳解】將直觀圖還原得如圖：所以平面四邊形的形狀為長方形，故選：B.5.已知，若，則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.9【答案】D【解析】【分析】由乘“1”法將變形為，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由題意，且，所以由基本不等式可得，當且僅當即時，等號成立，綜上所述：的最小值為9.故選：D.6.已知正方體的棱長為1，則點到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求解.【詳解】設(shè)點到平面的距離為，因為正方體的棱長為1，所以由題意可知，即，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查空間中點到面的距離，等體積法求點到面的距離是最常用的一種做法，屬于基礎(chǔ)題型.7.計算等函數(shù)值時，計算器使用的是數(shù)值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數(shù)，通過計算該多項式的值求出原函數(shù)近似值，如，其中.英國數(shù)學(xué)家泰勒（B.Taylor，16851731）發(fā)現(xiàn)了這些公式，從中可以看出，右邊的項用得越多，計算得出和的值也就越精確.運用上述思想，可得到的近似值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運用誘導(dǎo)公式，結(jié)合題中所給公式進行求解即可.【詳解】.故選：C8.在直三棱柱中分別為的中點，沿棱柱的表面從到兩點的最短路徑的長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】考慮將直棱柱的側(cè)面按不同方式展開，使得點在一個平面內(nèi)，再利用勾股定理求得EF的長度，比較大小，即得答案.【詳解】由題意得直三棱柱底面為等腰直角三角形．①若把面和面展開在同一個平面內(nèi)，則線段在直角三角形中，由勾股定理得；②若把面和面展開在同一個平面內(nèi)，則線段在直角三角形中，此時.③若把面和面展開在同一個平面內(nèi)，設(shè)的中點為，在直角三角形中，由勾股定理得．④若把面和面展開在同一個面內(nèi)，過作與行的直線，過作與平行的直線，所作兩直線交于點，則在直角三角形中，由勾股定理得．由于，可得從到兩點的最短路徑的長度為,故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵時考慮到將棱柱側(cè)面展開時有幾種展開方式，使得在一個平面內(nèi)，從而將立體問題轉(zhuǎn)化平面問題解決.二、多選題（每小題5分，選錯不得分，部分選對得2分，共20分）9.在中，三個內(nèi)角分別為A，B，C，下列結(jié)論錯誤的是（）A.B.若，則是銳角三角形C.D.若，則【答案】BC【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可判定A，C；注意考察角B,C可能為鈍角，判定B；由，根據(jù)三角形內(nèi)角的范圍，利用三角函數(shù)線可得或，利用三角形內(nèi)角和定理否定后者，即可判定D正確.【詳解】對A：，故A正確；對B：若，則A為銳角，但B或C可能是鈍角，故B錯誤；對C：，故C錯誤；對D：，由于或，但在三角形中不可能有，故,故D正確.故選：BC.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)線，和三角函數(shù)值的符號的綜合應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題..10.已知向量，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的模長、數(shù)量積的坐標運算，以及平行、垂直的坐標表示即可求解.【詳解】對于A,，，故A錯誤；對于B，，則，故B錯誤；對于C,，則，則，故C正確；對于D，，故D正確.故選:CD.11.下列命題中，真命題的是（）A.，都有B.，使得C.若，則D.式子的最小值為2【答案】ABC【解析】【分析】AC選項，作差法比較出大小；B選項，解方程，得到或5，B正確；D選項，利用基本不等式進行求解.【詳解】A選項，，故，都有，A正確；B選項，變形得到，解得或5，故，使得，B正確；C選項，，因為，所以，故，故，C正確；D選項，，當且僅當時，等號成立，但無實數(shù)解，故式子的最小值不是2，D錯誤.故選：ABC12.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P在線段BC1上運動時，下列命題正確的是（）A.三棱錐A?D1PC的體積不變B.直線CP與直線AD1的所成角的取值范圍為C.直線AP與平面ACD1所成角的大小不變D.二面角P?AD1?C的大小不變【答案】ABD【解析】【分析】對于選項A，由已知可得平面，可得BC1上任意一點到平面AD1C的距離相等，由此可判斷；對于選項B，由，可得直線CP與直線AD1的所成角即為直線CP與直線BC1的所成角，由此可判斷；對于選項C，點P在直線BC1上運動時，直線AB與平面AD1C所成的角和直線AC1與平面AD1C所成的角不相等，可判斷；對于選項D，當點P在直線BC1上運動時，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影響，故D正確.【詳解】對于選項A，因為，面，面，所以平面，所以BC1上任意一點到平面AD1C的距離相等，又，所以三棱錐A﹣D1PC的體積不變，故A正確；對于選項B，因為，點P在直線BC1上運動，所以直線CP與直線AD1的所成角即為直線CP與直線BC1的所成角，因為為等腰直角三角形，故B項正確；對于選項C，點P在直線BC1上運動時，直線AB與平面AD1C所成的角和直線AC1與平面AD1C所成的角不相等，故C錯誤；對于選項D，當點P在直線BC1上運動時，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影響，故D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（每小題5分，共20分）13.從某小學(xué)所有學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中樣本數(shù)據(jù)分組，則=______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)頻率和為，結(jié)合圖表中數(shù)據(jù)，列式計算即可.【詳解】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可得：，即，.故答案為：.14.已知，，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，，因為，可得，解得.故答案為：.15.電流隨時間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則時的電流為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖象可求函數(shù)的解析式，從而可求對應(yīng)的函數(shù)值.【詳解】由函數(shù)的圖象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案為：.16.如圖，正方體的棱長為2，點是線段的中點，過點做平面，使得平面平面，則平面與正方形的交線的長度為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，取的中點，利用面面平行的判定定理即可證明平面平面，所以平面與正方形的交線即為，可得.【詳解】取的中點，連接，如下圖所示：因為平面平面，所以平面；因為平面平面，所以平面；又因為平面，，所以平面平面．因此平面即為平面，即平面與正方形交線即為．所以．故答案為：四、解答題（第17題10分，其余各題每題12分，共70分）17.已知，，，（1）求的坐標；（2）若、、、四點構(gòu)成平行四邊形，求點的坐標．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量加減法和數(shù)乘的坐標運算求解即可；（2）由已知可得，利用坐標列出方程組求解即可．【詳解】（1），，（2）四邊形為平行四邊形，，又，，，，即．18.習(xí)近平總書記指出：“要健全社會心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機制、危機干預(yù)機制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用.某心理調(diào)查機構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機抽取位市民進行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個等級：調(diào)查評分心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在的市民為人.（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取人，進行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨立，試問在抽取的人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?【答案】（1）2000，（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)列式求解，（2）由分層抽樣與對立事件的概率公式求解．【小問1詳解】由已知條件可得，每組的縱坐標的和乘以組距為1，所以，解得.小問2詳解】由（1）知，所以調(diào)查評分在的人數(shù)占調(diào)查評分在人數(shù)的，若按分層抽樣抽取人，則調(diào)查評分在有人，有人，因為經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨立，所以選出的人經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，心理等級均達不到良好的概率為，所以經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為良好的概率為.19.如圖，矩形所在平面與直角梯形所在的平面垂直，，.（1）求證：平面；（2）若，求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由可得平面；（2）先由面面垂直的性質(zhì)得，再由可得平面，進而可得平面ABC⊥平面.【小問1詳解】因為是矩形，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為是矩形，所以，．因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，而平面，所以，因，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面20.已知函數(shù)．（1）求的值．（2）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換可得，代入可求；（2）根據(jù)周期公式可求得最小正周期，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即得；（3）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)即得．【小問1詳解】∵，∴；【小問2詳解】最小正周期，由，，得，，∴單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問3詳解】∵，∴，∴，∴，∴在上最大值為，最小值為．21.在四棱錐中，平面平面．底面為梯形，，，且，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的定義可證得命題成立；（Ⅱ）利用三垂線法得到二面角平面角，計算出其余弦值可得答案．【詳解】（Ⅰ）證明：因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2），，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，延長交于，過作，連接，則為二面角的平面角中，，則，中，，，則，即，故二面角的余弦值為．22.已知．（1）求函數(shù)在的最小值．（2）對于任意，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用換元法將表達式寫成，再由對勾函數(shù)性質(zhì)即