文科高考概率大題各省歷年真題及答案

概率與統(tǒng)計

1.袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)一次有放回地隨機摸取3次，每次摸取一個

球

(I)試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果；

(II)若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5的概率。

2.為了對某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關(guān)人員中，抽取若干人組

成研究小組、有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位：人)

高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)

A18X

B362

C54y

(I)求x,y;

(11)若從高校8、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這二人都來自高校C的概率。

3.為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行出樣檢查，測得身

高情況的統(tǒng)計圖如下:

男生

15

10

5

I心出J

―1601651701751801?5190身高/cm

(I)估計該校男生的人數(shù)；

(II)估計該校學(xué)生身高在170、185cm之間的概率；

(III)從樣本中身高在180~190cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185190cm

之間的概率。

4.一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球.的編號分別為1,2,3,4.

(I)從袋中隨機抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；

(n)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m,將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個

球，該球的編號為n,求〃<m+2的概率.

5.有編號為Ai,A2,…Al。的io個零件，測量其直徑（單位：cm）,得到下面數(shù)據(jù):

其中直徑在區(qū)間［1.48,1.52）內(nèi)的零件為一等品

編號4①44A4744Ao

直在1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47

（I）從上述10個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率;

（II）從一等品零件中，隨機抽取2個.

（i）用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；

（ii）求這2個零件直徑相等的概率。

6.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵樹.乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確

認(rèn)，在圖中以X表示.

甲組乙組

990X89

1110

（1）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；

（2）如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19

的概率.

（注：方差S?=—［（%,-X）2+（々-X）2+---（X?-X）2］,其中X為的,％2,…,X”的平均數(shù)）

7.甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

（I）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名

教師性別相同的概率；

（II）若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來

自同一學(xué)校的概

8.某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1.2.3.4.5.現(xiàn)從一批該

日用品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：

X12345

fa0.20.45bC

（I）若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有4件，等級系數(shù)為5的恰有2件,

求a、b、c的值；

（11）在（1）的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為Xi,X2,X3,等級系數(shù)為5的2

件日用品記為丫1,丫2，現(xiàn)從Xi,X2,X3,yi,y2,這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品

被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好

相等的概率。

9.(2009廣東).隨機抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高(單位:cm),獲得身高

數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7.

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高；

(2)計算甲班的樣本方差

(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué)，求身高為176cm的同學(xué)

被抽中的概率.

甲班乙班

2181

99101703689

883216258

8159

圖7

10.(2010廣東)某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機抽取了

100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：

文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計

20至40歲401858

大于40歲152742

總計5545100

(1)由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)？

(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾

名？

(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率.

廣東)在某次測驗中，有位同學(xué)的平均成績?yōu)榉帧Ｓ帽硎揪幪枮?/p>

11.(2011675xnn(n=l,2,...,6)

的同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢?/p>

編號n12345

成績76727072

Xn70

(1)求第6位同學(xué)的成績X6,及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s;

(2)從前5位同學(xué)中，隨機地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間(68,75)中

的概率。

12.（2012廣東）某學(xué)校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成

績分組區(qū)間是：

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,109.

（1）求圖中a的值

⑵根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分；

⑶若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（x）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（y）

之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50,90）之外的人數(shù).

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

X：y1:12：13：44：5

13.（2013廣東）從一批蘋果中，隨機抽取50只，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下:

分組（重量）

[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

頻數(shù)（個）5102015

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計算革果的重量在[90,95）的頻率；

（2）用分層抽樣的方法從重量在[80,85）和[95,100）的蘋果中共抽取4個，其中重量在

[80,85）的有幾個?

（3）在（2）中抽出的4蘋果中，任取2個，求重量在［80,85）和［95,100）中各有一個的概

率.

概率與統(tǒng)計答案

1.解：（I）一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：

（紅、紅、紅、）、（紅、紅、黑）、（紅、黑、紅）、（紅、黑、黑）、（黑、紅、紅）、

（黑、紅、黑）、（黑、黑、紅）、（黑、黑、黑）

（II）記“3次摸球所得總分為5”為事件A

事件A包含的基本事件為：（紅、紅、黑）、（紅、黑、紅）、（黑、紅、紅）事件A

包含的基本事件數(shù)為3

由（I）可知，基本事件總數(shù)為8,所以事件A的概率為P（A）=9

解（I）由題意可得，者=令=女，所以x=|,y=3.

（U）記從高校B抽取的2人為名.從高校C抽取的3人為則從高校

B.C抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的基本事件有

（4也）,（42）,（4，。），（々，＜:,

（,Cj）,（fcj,Cj）,（C）,Cj）,（,Cj）,（Cj,C））

共10種.

設(shè)選中的2人都來自高校C的事件為X,則X包含的基本事件有（q,j）,

共3種.因此/=

故選中的2人都來自高校C的概率為吉.

3.解（I）樣本中男生人數(shù)為40,由分層出樣比例為10%估計全校男生人數(shù)為400。

（II）有統(tǒng)計圖知,樣本中身高在.170~185cm之間的學(xué)生有14+13+4+3+1=35人，樣本容量

35

為70,所以樣本中學(xué)生身高在170185cm之間的頻率/=工=0.5故有f估計該校學(xué)生

70

身高在170~180cm之間的概率p=0.5

（III）樣本中身高在180~185cm之間的男生有4人，設(shè)其編號為①②③④

樣本中身高在185190cm之間的男生有2人，設(shè)其編號為⑤⑥

從上述6人中任取2人的樹狀圖為：

⑤------⑥

故從樣本中身高在180—190cm之間的男生中任選2人得所有可能結(jié)果數(shù)為15,求至少有1

93

人身高在185190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9,因此，所求概率p2=百=g

4.

解：(I)從裝中隨加取兩個球,其一切可能的勘如十友的二不事件有】IQ2」和3＜卜和4,2和

3.2和；,3和4,共6個.

從袋中取出的球的編號之和不/?上4f事件共有1和2.1和3兩個.

因此所求事件的概率)'一卷

(n＞先從袋中曲機取一個球,記下編號為放回后.再從袋中ra[機取一個球,記下堀號為

n.其一切可他的結(jié)果(m,n)有，

(4,D,《4,2》.(4,33(4,4).共1&人

又橫尾般件”》m+2的事件為\1.3人日,4).(2,4)，共3個.

所以滿足條件“》，”+2的事件的概率為P,=

10.

故滿足條件nVm+2的事件的概率為1-p,=J-A=15.

J、19

5.(I)解：由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個.設(shè)“從10個零件中，隨機抽取一個為

A2

一等品”為事件A,則P(A)

(ID(i)解：一等品零件的編號為4,4,A，4,A，A.從這6個一等品零件中隨

機抽取2個，所有可能的結(jié)果有：{A，AJ,{A，4},{A，4},{A，A},{A，A}，{4，A}，

{&,&},{4,A},{&,4},{A，4},{&A},{a'A},{4,A}'{4,A},{A，A}共有

15種.

(ii)解：“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能

結(jié)果有：{A，4},{A，A},{4，A}，{4,a},{&,A},{A，A}，共有6種.

6__2

所以P(B)」55.

6.解(1)當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10,

所以平均數(shù)為

-8+8+9+1035

x=----------------一;

44

方差為

/=1((8-—)2+(9-—)2+(10-—)2]=—.

444416

(II)記甲組四名同學(xué)為Ai，A2,A3,A4,他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11；

乙組四名同學(xué)為Bi，B2,B3,B4,他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10,分別從甲、

乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個，它們是:

(A”Bi),(Ai，B2),(Ai，B3),(Ai，B4),

B),(A2，B3),(A2,B4),

(A2,BI),(A2,2

(A3,B3),(A［，B4),

(A3,Bi),(A2,B2),

(A4?Bj)，(A4,B?),(A4,B3),(A4,B4),

用C表示："選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19"這一事件，則C中的結(jié)果有4個，它

41

們是：(Ai，B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4.B2),故所求概率為P(C)=-=-.

164

7.解：(I)甲校兩男教師分別用A、B表示，女教師用C表示；

乙校男教師用D表示，兩女教師分別用E、F表示

從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為:

(A,D)(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)共9

種。

從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有：(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)共4種,

4

選出的兩名教師性別相同的概率為尸=一.

9

(II)從甲校和乙校報名的教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為：

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),

(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15種,

從中選出兩名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有：

(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)共6種，

選出的兩名教師來自同一學(xué)校的概率為p=—

155

8.解：(I)由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=O.35,

因為抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件,

3

所以8=3=0.15,

20

等級系數(shù)為5的恰有2件，所以，=已2=().1,

20

從而a=0.35-c=0.1

所以a=0.1,b=().15,c=0.1.

(II)從日用品x,，w，x，必中任取兩件，

所有可能的結(jié)果為：

｛冷而｝,｛石,玉｝,｛4。｝,｛飛,必｝，｛電，f｝，｛/，X｝，｛/，%｝，｛￡，%｝，｛￡，%｝，｛D，必｝，

設(shè)事件A表示“從日用品玉,馬,七,亂,為中任取兩件，其等級系數(shù)相等”，則A包含的

基本事件為：

｛4工2｝,｛%,&｝,｛々,芻｝,｛乂,%｝共4個，

又基本事件的總數(shù)為10.

4

故所求的概率P(A)=—=0.4.

9.【解析】(1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于160:179之間，而乙班身高集中于170:180

之間。因此乙班平均身高高于甲班；

__158+162+163+168+168+170+171+179+179+182

vx——1/U

10

甲班的樣本方差為([(158-170)2+(162-17砰+(163-170)2+(168-170)2+(168-170)2

+(170-WO)?+(171—170)2+(179—170)2+(179—170『+(182—170)1=57

(3)設(shè)身高為176cm的同學(xué)被抽中的事件為A；

從乙班10名同學(xué)中抽中兩名身高不低于173cm的同學(xué)有：(181,173)(181,176)

(181,178)(181,179)(179,173)(179,176)(179,178)(178,173)

(178,176)(176,173)共10個基本事件，而事件A含有4個基本事件;

10.解：(1)畫出二維條形圖，通過分析數(shù)據(jù)的圖形，或者聯(lián)列表的對角線的乘積的差的絕

對值來分析，得到的直觀印象是收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)；

(2)在100名電視觀眾中，收看新聞的觀眾共有45人，其中20至40歲的觀眾有18

人，大于40歲的觀眾共有27人。

故按分層抽樣方法，在應(yīng)在大于40歲的觀眾中中抽取ax27=3人.

45

(3)法一：由(2)可知，抽取的5人中，年齡大于40歲的有3人，分別記作1,2,3：

20歲至40歲的觀眾有2人，分別高為。力，若從5人中任取2名觀眾記作(x,y),則包含

的總的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,a),(1,0),(2,3),(2,以),(2,。),(3,a),(3力),3,。)共10個。

其中恰有1名觀眾的年齡為20歲至40歲包含的基本事件有：

(l,a),(l,0),(2,a),(2,0),(3,a),(3,加共6個.

AQ

故P(“恰有1名觀眾的年齡為20至40歲")=歷=:

11.解：⑴

_5

:.x6=6x-^xn=6x75-70-76-72-70-72=90,

n=l

S2-l1y(x?-%-)2=-1(52+l2+32+52+32+152)=49,

6臺6

/.5=7.

(2)從5位同學(xué)中隨機選取2位同學(xué)，共有如下10種不同的取法：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},

選出的2位同學(xué)中，恰有1位同學(xué)的成績位于(68,75)的取法共有如下4種取法:

{1,2},{2,3},{2,4},{2,5},

2

故所求概率為

m,、1Ox（a+0.04+0.03+0.02+a）=1.............................2分

12.解⑴：、

a=0.005.......................................................3分

（2）:50-60段語文成績的人數(shù)為：1OxO.OO5x100%x100=5人..........3.5分

60-70段語文成績的人數(shù)為：1Ox0.04x100%x100=40人.............4分

70-80段語文成績的人數(shù)為：1Ox0.03x100%x100=30人

80-90段語文成績的人數(shù)為:1Ox0.02x100%x100=20A.............5分

90-100段語文成績的人數(shù)為：1Ox0.005x1OG%x100=5人.............5.5

55x5+65x40+75x30+85x20+95x5

x................................................................7.5

100

=73...............................................................8分

（3）:依題意:

50-60段數(shù)學(xué)成績的人數(shù)=50-60段語文成績的人數(shù)為=5人........................9分

60-70段數(shù)學(xué)成績的的人數(shù)為=50-60段語文成績的人數(shù)的一半='x40=20人……10分

2

4

70-80段數(shù)學(xué)成績的的人數(shù)為二一x30=40人..............................11分

3

80-90段數(shù)學(xué)成績的的人數(shù)為=2x20=25人..............................12分

4

90-100段數(shù)學(xué)成績的的人數(shù)為=100—5-20—40—25=10人................13分

13.解：（1）抽取的蘋果總數(shù)為50個,重量在［90,95）的蘋果有20個，所以蘋果重量在［90,95）

的頻率=錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。=0.4

（2）重量在［80,85）的蘋果數(shù)=錯誤!未找到引用源。X4=l（個）

（3）重量在［95,100）的蘋果數(shù)=錯誤!未找到引用源。X4=3（個）

記重量在［80,85）的1個蘋果為A,重量在［95,100）的三個蘋果分別是瓦,

B2>BJ

在這四個蘋果中任取兩個，包括6個基本事件，分別是：

A和Bi、A和B2、A和B3、Bi和B2、Bi和B3、和B3

符合要求的基本事件有：A和Bi、A和B2、A和B3.共3個，

所以重量在［80,85）和［95,10