安徽省渦陽縣第四中學2022年高三第一次調研測試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．明代數(shù)學家程大位（1533~1606年），有感于當時籌算方法的不便，用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計算的鼻祖．如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題．執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（）A． B． C． D．2．袋中裝有標號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（）A． B． C． D．3．已知命題p：“”是“”的充要條件；，，則（）A．為真命題 B．為真命題C．為真命題 D．為假命題4．已知為正項等比數(shù)列，是它的前項和，若，且與的等差中項為，則的值是()A．29 B．30 C．31 D．325．已知復數(shù)是正實數(shù)，則實數(shù)的值為()A． B． C． D．6．復數(shù)滿足，則復數(shù)等于（）A． B． C．2 D．-27．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）A． B． C． D．8．在中，，則（）A． B． C． D．9．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知，，分別為內角，，的對邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．11．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．812．將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象關于直線對稱，則函數(shù)在上的值域是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數(shù)為__________．14．在邊長為的菱形中，點在菱形所在的平面內．若，則_____．15．從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，，，則事件“抽到的產品不是一等品”的概率為________16．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集用區(qū)間表示為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)有兩個零點.(1)求的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，對于符合題意的任意，當時均有?若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．18．（12分）如圖，在四棱錐中，側棱底面，，，，，是棱中點.（1）已知點在棱上，且平面平面，試確定點的位置并說明理由；（2）設點是線段上的動點，當點在何處時，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.19．（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，，，，恰為等比數(shù)列的前3項．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為；若對均滿足，求整數(shù)的最大值；（3）是否存在數(shù)列滿足等式成立，若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由．20．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關，若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級，若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級.已知每一次質量把關中一件手工藝品被1位行家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立.（1）求一件手工藝品質量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.21．（12分）某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產品所用時間，對每個工人組裝一個該產品的用時作了記錄，得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時不超過（分鐘），則稱這個工人為優(yōu)秀員工．（1）求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調查名工人，求被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學期望．22．（10分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若均為正實數(shù)，且滿足，為的最小值，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】，；，；，；，；，此時不滿足，跳出循環(huán)，輸出結果為，由題意，得．故選:【點睛】本題考查了程序框圖的計算，意在考查學生的理解能力和計算能力.2．C【解析】

先確定摸一次中獎的概率，5個人摸獎，相當于發(fā)生5次試驗，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨立重復試驗的公式得到結果．【詳解】從6個球中摸出2個，共有種結果，兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有摸一次中獎的概率是，5個人摸獎，相當于發(fā)生5次試驗，且每一次發(fā)生的概率是，有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是，故選：．【點睛】本題主要考查了次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率，考查獨立重復試驗的概率，解題時主要是看清摸獎5次，相當于做了5次獨立重復試驗，利用公式做出結果，屬于中檔題．3．B【解析】

由的單調性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對值，可得q是假命題，依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題．對于命題q，當，即時，；當，即時，，由，得，無解，因此命題q是假命題．所以為假命題，A錯誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯誤；為真命題，D錯誤．故選：B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學生邏輯推理，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.4．B【解析】

設正項等比數(shù)列的公比為q，運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質，求出公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求．【詳解】設正項等比數(shù)列的公比為q，則a4=16q3，a7=16q6，a4與a7的等差中項為，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（負值舍去），則有S5===1．故選C．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數(shù)列的性質，考查運算能力，屬于中檔題．5．C【解析】

將復數(shù)化成標準形式，由題意可得實部大于零，虛部等于零，即可得到答案.【詳解】因為為正實數(shù)，所以且，解得.故選：C【點睛】本題考查復數(shù)的基本定義，屬基礎題.6．B【解析】

通過復數(shù)的模以及復數(shù)的代數(shù)形式混合運算，化簡求解即可.【詳解】復數(shù)滿足，∴，故選B.【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本運算，復數(shù)模長的概念，屬于基礎題．7．B【解析】

由等差數(shù)列的性質和已知可得，即可得到，代入由誘導公式計算可得．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質可得，解得，，故選：B．【點睛】本題考查等差數(shù)列的下標和公式的應用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎題．8．A【解析】

先根據(jù)得到為的重心，從而，故可得，利用可得，故可計算的值．【詳解】因為所以為的重心，所以,所以,所以，因為，所以，故選A．【點睛】對于，一般地，如果為的重心，那么，反之，如果為平面上一點，且滿足，那么為的重心．9．D【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為時【詳解】當時，，但，故充分條件推不出；當時，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應用，屬于基礎題10．D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出，結合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.【點睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關系.本題的關鍵是通過正弦定理結合已知條件，得到角的正弦值余弦值.11．A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結構特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．12．D【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結果.【詳解】解：把函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，可得的圖象；再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關于直線對稱，，，，函數(shù).在上，，，故，即的值域是，故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．3【解析】

分別用1和進行分類討論即可【詳解】當?shù)谝粋€因式取1時，第二個因式應取含的項，則對應系數(shù)為：；當?shù)谝粋€因式取時，第二個因式應取含的項，則對應系數(shù)為：；故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：3【點睛】本題考查二項式定理中具體項對應系數(shù)的求解，屬于基礎題14．【解析】

以菱形的中心為坐標原點建立平面直角坐標系,再設,根據(jù)求出的坐標,進而求得即可.【詳解】解：連接設交于點以點為原點,分別以直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則：設得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,．故答案為：．【點睛】本題主要考查了建立平面直角坐標系求解向量數(shù)量積的有關問題,屬于中檔題.15．0.35【解析】

根據(jù)對立事件的概率和為1，結合題意，即可求出結果來．【詳解】解：由題意知本題是一個對立事件的概率，抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品，，抽到不是一等品的概率是，故答案為：．【點睛】本題考查了求互斥事件與對立事件的概率的應用問題，屬于基礎題．16．【解析】設，則，由題意可得故當時，由不等式，可得，或求得，或故答案為（三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)；(2).【解析】

（1）對求導，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)函數(shù)單調性即可求得.（2）先根據(jù)，得，再根據(jù)零點解得，轉化不等式得，令，化簡得，因此，，最后根據(jù)導數(shù)研究對應函數(shù)單調性，確定對應函數(shù)最值，即得取值集合.【詳解】（1），當時，對恒成立，與題意不符，當，，∴時，即函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，∵和時均有，∴，解得：，綜上可知：的取值范圍；（2）由(1)可知，則，由的任意性及知，，且，∴，故，又∵，令，則，且恒成立，令，而，∴時，時，∴，令，若，則時，，即函數(shù)在單調遞減，∴，與不符；若，則時，，即函數(shù)在單調遞減，∴，與式不符；若，解得，此時恒成立，，即函數(shù)在單調遞增，又，∴時，；時，符合式，綜上，存在唯一實數(shù)符合題意.【點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.18．（1）為中點，理由見解析；（2）當點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.【解析】

(1)為中點,可利用中位線與平行四邊形性質證明，，從而證明平面平面；（2）以A為原點，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出當點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.【詳解】（1）為中點，證明如下：分別為中點，又平面平面平面又，且四邊形為平行四邊形，同理，平面，又平面平面（2）以A為原點，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系則，設直線與平面所成角為，則取平面的法向量為則令，則所以當時，等號成立即當點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.【點睛】本題主要考查了平面與平面的平行，直線與平面所成角的求解，考查了學生的直觀想象與運算求解能力.19．（2），（2），的最大整數(shù)是2．（3）存在，【解析】

（2）由可得（），然后把這兩個等式相減，化簡得，公差為2，因為，，為等比數(shù)列，所以，化簡計算得，，從而得到數(shù)列的通項公式，再計算出，，，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）令，化簡計算得，從而可得數(shù)列是遞增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值為，所以可得答案；（3）由題意可知，，即，這個可看成一個數(shù)列的前項和，再寫出其前（）項和，兩式相減得，，利用同樣的方法可得.【詳解】解：（2）由題，當時，，即當時，①②①-②得，整理得，又因為各項均為正數(shù)的數(shù)列．故是從第二項的等差數(shù)列，公差為2．又恰為等比數(shù)列的前3項，故，解得．又，故，因為也成立．故是以為首項，2為公差的等差數(shù)列．故．即2，4，8恰為等比數(shù)列的前3項，故是以為首項，公比為的等比數(shù)列，故．綜上，（2）令，則所以數(shù)列是遞增的，若對均滿足，只要的最小值大于即可因為的最小值為，所以，所以的最大整數(shù)是2．（3）由，得，③④③-④得，⑤，⑥⑤-⑥得，，所以存在這樣的數(shù)列，【點睛】此題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，最值，恒成立問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.20．（1）；（2）①可能是2件；②詳見解析【解析】

（1）由一件手工藝品質量為B級的情形，并結合相互獨立事件的概率公式，列式計算即可；（2）①先求得一件手工藝品質量為D級的概率為，設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、，可求出使得最大的整數(shù)，進而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù)；②分別求出一件手工藝品質量為A、B、C、D級的概率，進而可列出X的分布列，求出期望即可.【詳解】（1）一件手工藝品質量為B級的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質量為D級的概率為，設10件