新教材2020-2021學(xué)年高中人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊單元素養(yǎng)檢測：第九章 統(tǒng)計

單元素養(yǎng)檢測（四）（第九章）

（120分鐘150分）

一、單項選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出

的四個選項中，只有一項符合題目要求）

1.一個容量為80的樣本中，數(shù)據(jù)的最大值為152,最小值為60,組距為

10,應(yīng)將樣本數(shù)據(jù)分為（）

A.10組B.9組C.8組D.7組

【解析】選A.由題意可知，空$9.2,故應(yīng)將數(shù)據(jù)分為10組.

10

【補償訓(xùn)練】

一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.125,則該組樣本的頻

數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

頻數(shù)

【解析】選B.頻率二q二h=,則頻數(shù)二頻率X樣本容量=0.125X32=4.

樣本容重

2.在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形,若中間一個小長方形

的面積等于其他8個長方形的面積和的,且樣本容量為140,則中間一

組的頻數(shù)為（）

A.28B.40C.56D.60

【解析】選B.設(shè)中間一組的頻數(shù)為x,

則其他8組的頻數(shù)和為三x,

2

所以x+-x=140,

2

解得x=40.

3.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了

解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層隨機抽樣的方法抽取2%的

學(xué)生進行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）

A.200,20B.100,20

C.200,10D.100,10

【解析】選A.該地區(qū)中小學(xué)生總?cè)藬?shù)為3500+2000+4500=10000,

則樣本容量為10000X2%=200,其中抽取的高中生近視人數(shù)為2000X

2%X50%=20.

4.某市刑警隊對警員進行技能測試，測試成績分為優(yōu)秀、良好、合格三

個等級，測試結(jié)果如下表：（單位:人）

優(yōu)秀|良好合格

男4010525

女a(chǎn)155

若按優(yōu)秀、良好、合格三個等級分層，從中抽取40人，成績?yōu)榱己玫挠?/p>

24人，則a等于（）

A.10B.15C.20D.30

4024

【解析】選A.設(shè)該市刑警隊共n人，由題意得一二二一,解得,n=200；

n105+15

則a=200-(40+105+15+25+5)=10.

5.為了反映各行業(yè)對倉儲物流業(yè)務(wù)需求變化的情況，以及重要商品庫

存變化的動向，中國物流與采購聯(lián)合會和中儲發(fā)展股份有限公司通過

聯(lián)合調(diào)查,制定了中國倉儲指數(shù).由2017年1月至2018年7月的調(diào)查

數(shù)據(jù)得出的中國倉儲指數(shù),繪制出如圖所示的折線圖.

中國倉儲指數(shù)走勢圖（％）

58.0

56.0

54.0

52.0

50.0

48.0

46.0

44.0

42.0

1234101112I234

20172018

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.2017年各月的倉儲指數(shù)最大值是在3月份

B.2018年1月至7月的倉儲指數(shù)的中位數(shù)為55

C.2018年1月與4月的倉儲指數(shù)的平均數(shù)為52

D.2017年1月至4月的倉儲指數(shù)相對于2018年1月至4月，波動性更

大

【解析】選D.2017年各月的倉儲指數(shù)最大值是在11月份，所以A是

錯誤的；由圖可知,2018年1月至7月的倉儲指數(shù)的中位數(shù)約為53,所

以B是錯誤的；2018年1月與4月的倉儲指數(shù)的平均數(shù)為巴巴=53,所

2

以C是錯誤的；由圖可知，2017年1月至4月的倉儲指數(shù)比2018年1

月至4月的倉儲指數(shù)波動更大.

6.某中學(xué)從某次考試成績中抽取若干名學(xué)生的分數(shù),并繪制成如圖所

示的頻率分布直方圖,樣本數(shù)據(jù)分組為

［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］.若用分層抽樣的方法

從樣本中抽取分數(shù)在［80,100］范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)16個,則其中分數(shù)在

［90,100］范圍內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)有()

A.5個B.6個

C.8個D.10個

【解析】選B.分數(shù)段在［80,100］范圍內(nèi)占所有分數(shù)段的百分比為

(0.025+0.015)X10=0.4,其中分數(shù)在［90,100］范圍內(nèi)的人數(shù)占所有分

數(shù)段的百分比為0.015X10=0.15,因此分數(shù)在［90,100］范圍內(nèi)占分數(shù)

013

在［80,100］范圍內(nèi)的百分比為一—因此分數(shù)在［90,100］范圍內(nèi)的樣

0.48

3

本數(shù)據(jù)有16X-6.

8

7.某工廠生產(chǎn)A,B,C,D四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為

2：3：5：1.現(xiàn)用分層隨機抽樣方法抽出一個容量為n的樣本,樣本中

A種型號有16件,那么此樣本的容量n為（）

A.88B.44C.22D.11

【解析】選A.在分層抽樣中，每一層所抽的個體數(shù)的比例與總體中各層

個體數(shù)的比例是一致的.所以，樣本容量n=-X16=88.

2

8.某種球的總數(shù)量為M,其中帶有標記的有N個,現(xiàn)用簡單隨機抽樣的

方法從中抽出一個容量為m的樣本,則抽取的m個個體中帶有標記的個

數(shù)估計為（）

A.N?—B.m,—

MN

M

C.N--D.N

m

【解析】選A.根據(jù)樣本中帶標記所占比例與總體中帶標記的比例近似

相等.

yTH

設(shè)m個個體中帶標記的為x個，則有三二N^=x=”N.

mMM

二、多項選擇題（本大題共4小題,每小題5分，共20分,在每小題給出

的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的

得3分,有選錯的得0分）

9.2020年寒假疫情期間，某校要求學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)對空氣質(zhì)量進行一次

分析調(diào)查.如圖是某同學(xué)結(jié)合環(huán)保部門2020年1月21日一27日空氣質(zhì)

量指數(shù)（AQI）制作的柱狀圖，已知空氣質(zhì)量指數(shù)為0?50表示空氣質(zhì)量

為優(yōu),51~100表示空氣質(zhì)量為良好，大于100表示不同程度的污染.在

這一周內(nèi)，下列結(jié)論正確的是（）

A.空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為3天

B.空氣質(zhì)量不是良好的天數(shù)為6

C.這周的平均空氣質(zhì)量為良好

D.前三天AQI的方差大于后四天AQI的方差

【解析】選AB.由題圖可知空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)應(yīng)為3天，故選項A正

確；選項C中，這周的平均空氣質(zhì)量為污染；選項D中，前三天AQI的方

差小于后四天AQI的方差；選項B正確.

10.三個同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績及班級平均分關(guān)系如圖，則下列說法正確

的是（）

A.王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績高于班級平均水平,且較穩(wěn)定

B.張誠同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績波動較大

C.趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績低于班級平均水平

D.在6次測驗中，每一次成績都是王偉第1,張誠第2,趙磊第3

【解析】選ABC.從圖中看出王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績始終高于班級平

均水平，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀.張誠同學(xué)的數(shù)學(xué)成績不穩(wěn)定,

總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度較大.趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)成績低于班級平均水平，但他的成績曲線呈上升趨勢，表明他的數(shù)學(xué)

成績在穩(wěn)步提高，第6次考試張誠沒有趙磊的成績好.故D錯誤.

11.在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如

下:52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)

都加6后所得數(shù)據(jù)，則A,B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是（）

A.方差B.平均數(shù)

C.中位數(shù)D.標準差

【解析】選AD.A樣本的平均數(shù)為54.8,B樣本的平均數(shù)為60.8,B選項

錯誤;A樣本的中位數(shù)為55,B樣本的中位數(shù)為61,C選項錯誤；事實上，

在A樣本的每個數(shù)據(jù)上加上6后形成B樣本，樣本的穩(wěn)定性不變，因此

兩個樣本的方差相同，標準差相等.

12.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均

最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫

約為15℃,B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述正確的是

平均最低氣溫

平均最高氣溫

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20。。的月份有5個

［解析］選ABC.由圖形可得各月的平均最低氣溫都在0℃以上,A正確；

七月的平均溫差約為10℃,而一月的平均溫差約為5℃，故B正確；三

月和十一月的平均最高氣溫都在10℃左右，基本相同，C正確；平均最

高氣溫高于20℃時月份只有3個,D錯誤.

三、填空題（本大題共4個小題,每小題5分，共20分.把答案填在題

中的橫線上）

13.某中學(xué)高一年級有400人,高二年級有320人,高三年級有280人，

若每人被抽到的可能性為20%,用隨機數(shù)法在該中學(xué)抽取容量為n的樣

本,則n等于.

n

【解析】由二20%,解得n=200.

400+320+280

答案：200

【補償訓(xùn)練】

某社區(qū)對居民進行某車展知曉情況的分層隨機抽樣調(diào)查.已知該社區(qū)

的青年人、中年人和老年人分別有800人、1600人、1400人.若在

老年人中的抽樣人數(shù)是70,則在中年人中的抽樣人數(shù)應(yīng)該是

70y

［解析】依題意，應(yīng)有----=----,解得x=80,即在中年人中應(yīng)抽取80

14001600

人.

【解析】頻率為一=——=0.52.

100

答案:0.52

15.某工廠從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽出一部分,對這些產(chǎn)品的一項質(zhì)

量指標進行了檢測，整理檢測結(jié)果得到如下頻率分布表：

質(zhì)量指標分組[10,30)[30,50)[50,70]

頻率0.10.60.3

據(jù)此可估計這批產(chǎn)品的此項質(zhì)量指標的方差為一

【解析】由題意得這批產(chǎn)品的此項質(zhì)量指標的平均數(shù)為

20X0.1+40X0.6+60X0.3=44,

故方差為(20-44)2X0.1+(40-44)2X0.6+(60-44)2X0.3=144.

答案：144

16.從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:cm)數(shù)據(jù)繪制成

頻率分布直方圖(如圖所示).由圖中數(shù)據(jù)可知a=.若要從身高

在［120,130),［130,140),［140,150］三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層隨機抽樣

的方法選取18人參加一項活動，則從身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取

的人數(shù)應(yīng)為.

【解析】由10X(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,得a=0.03,從而這

三組的頻數(shù)之比為0.03:0.02：0.01=3:2:1,故從身高在[140,150]

-1

內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為18X-=3.

6

答案：0.033

【補償訓(xùn)練】

為了解某校學(xué)生的視力情況,隨機抽查了該校的100名學(xué)生,得

到如圖所示的頻率分布直方圖.由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4

組的頻數(shù)和為40,后6組的頻數(shù)和為87.設(shè)最大頻率為a,視力在4.5

到5.2之間的學(xué)生數(shù)為b,則a,b的值分別為()

O4.34.44.54.64.74.84.95.05.15.2視力

A.0.27,96B.0.27,83

C.2.7,78D.2.7,83

【解析】選A.由頻率分布直方圖知組距為0.1,前3組頻數(shù)和為13,則

4.6到4.7之間的頻數(shù)最大為27,故最大頻率a=0.27,視力在4.5到5.2

之間的頻率為0.96,故視力在4.5到5.2之間的學(xué)生數(shù)b=96.

四、解答題（本大題共6個小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、

證明過程或演算步驟）

17.（10分）中小學(xué)生的視力狀況受到全社會的廣泛關(guān)注.某市有關(guān)部門

對全市4萬名初中生的視力狀況進行一次抽樣調(diào)查,所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)

繪制成頻率分布直方圖如圖所示.從左至右五個小組的頻率之比依次

是2：4：9：7：3,第五小組的頻數(shù)是30.

頻率

薪

O3.954.254.554.855.155.45視力

⑴本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生？

⑵如果視力在［4.85,5.45）屬正常,那么全市初中生視力正常的約有

多少人？

【解析】（1）頻率之比等于頻數(shù)之比.

設(shè)第一小組的頻數(shù)為2k,則其余各組的頻數(shù)依次為4k,9k,7k,3k,于是

3k=30,解得k=10.

則2k=20,4k=40,9k=90,7k=70,故本次調(diào)查的抽樣總?cè)藬?shù)為

20+40+90+70+30=250.

（2）因為視力在［4.85,5.45）范圍內(nèi)的有100人,所以頻率為4.所

250

以全市初中生視力正常的約有

40000X0.4=16000（人）.

18.（12分）某城市有210家百貨商店,其中大型商店20家，中型商店40

家，小型商店150家.為了掌握各商店的營業(yè)情況,計劃抽取一個容量為

21的樣本,按照分層隨機抽樣方法抽取時，各種百貨商店分別要抽取多

少家?寫出抽樣過程.

【解析】（1）樣本容量與總體的個體數(shù)的比為幺=3

21010

⑵確定各種商店要抽取的數(shù)目：

11

大型：20X一2（家），中型：40X—=4（家），

1010

小型:150義工15（家）.

10

⑶采用簡單隨機抽樣在各層中抽取大型：2家；中型：4家；小型：15家.

這樣便得到了所要抽取的樣本.

19.（12分）某單位最近組織了一次健身活動,活動分為登山組和游泳組,

且每個職工至多參加其中一組.在參加活動的職工中，青年人占42.5%,

中年人占47.5%,老年人占10%,登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的工,且

4

該組中，青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.為了了解各組不同

的年齡層的職工對本次活動的滿意程度,現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法從

參加活動的全體職工中抽取容量為200的樣本.試求：

⑴游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例.

⑵游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù).

【解析】⑴設(shè)登山組人數(shù)為x,游泳組中，青年人、中年人、老年人各

L-八L.「1七％?40$+3xb_x?10%+3zc.^

占比例分別為a,b,c,貝I有---------=47.5%ft/,---------=10%n/.

4x4x

解得b=50%,c=10%.

故a=1-50%70%=40%.即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分

另1為40%,50%,10%.

3

⑵游泳組中，抽取的青年人人數(shù)為200X-義40%=60；抽取的中年人人

3

數(shù)為200X-X50%=75;

4

3

抽取的老年人人數(shù)為200X-X10%=15.

4

20.(12分)兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，在10天中，兩臺機床每天的次

品數(shù)如下：

甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.

乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.

⑴哪臺機床次品數(shù)的平均數(shù)較?。?/p>

⑵哪臺機床的生產(chǎn)狀況比較穩(wěn)定？

_-1

【解析】(1)X=(1+0+2+0+2+3+0+4+1+2)X—1.5,

a10

_-1

X7-(1+3+2+1+0+2+1+1+0+1)X-1.2.

乙10

因為土田,所以乙機床次品數(shù)的平均數(shù)較小.

(2)Sg=—X

甲10

[(1-1.5)2+(0-1.5)2+(2-1.5)2+(0-1.5)2+(2-1.5)2+(3-1.5)2+(0-1.5)2+

(4-1.5)2+(1-1.5)2+(2-1.5)2]=1.65,

同理S：=0.76,因為S*>S；,

乙中乙

所以乙機床的生產(chǎn)狀況比較穩(wěn)定.

【補償訓(xùn)練】

已知樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,

且樣本的中位數(shù)為10.5,若使該樣本的方差最小，則a,b的值分別為

()

A.10,11B.10.5,9.5

C.10.4,10.6D.10.5,10.5

【解析】選D.由于樣本共有10個值，且中間兩個數(shù)為a,b依題意，得

—=10.5,即b=21-a.

2

因為平均數(shù)為(2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20)4-10=10,

所以要使該樣本的方差最小，只需(a-10)2+(b-10)2最小.

又(a-10y+(b-10)2=(a-10)2+(21-a-10)2=2a-42a+221,

-42

所以當(dāng)2=—=10.5時，[-10)2+(1)-10)2最小，此時6=10.5.

2X2

21.(12分)我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方

案,對居民用水情況進行了調(diào)查.通過抽樣,獲得了某年100位居民每人

的月均用水量(單位:噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),-[4,4.5]分

成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴求直方圖中a的值；

⑵設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),

并說明理由；

⑶估計居民月均用水量的中位數(shù).

【解析】⑴由頻率分布直方圖，可知，月均用水量在[0,0.5)的頻率為

0.08X0.5=0.04,

同理，在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]組的頻

率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由

1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5Xa+0.5Xa,解得

a--0.30.

⑵由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為

0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上樣本的頻率，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸

的人數(shù)為300000X0.12=36000.

⑶設(shè)中位數(shù)為X噸.因為前5組的頻率之和為

0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0,5,

而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0,5,所以2W

x<2.5.

由0.50X（x-2）=0.5-0.48,

解得x=2.04.

故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.

22.（12分）從某校隨機抽取100名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時間

（單位:小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方

圖：

組號分組頻數(shù)

1[0,2)6

2[2,4)8

3[4,6)17

4[6,8)22

5[8,10)25

6[10,12)12

7[12,14)6

8[14,16)2

9[16,18)2

合計100

b

O24681012141618

閱讀時間

⑴從該校隨機選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于

12小時的頻率；

⑵求頻率分布直方圖中的a,b的值；

⑶假設(shè)同