專題09 平面向量及其應(yīng)用（5知識(shí)點(diǎn)+4重難點(diǎn)+8方法技巧+6易錯(cuò)易混）（解析版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)

專題09平面向量及其應(yīng)用（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）知識(shí)點(diǎn)1向量的有關(guān)概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2、零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作.3、單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：與任一向量平行．5、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．6、相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．知識(shí)點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：；結(jié)合律：減法求與的相反向量的和的運(yùn)算數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量的積的運(yùn)算，當(dāng)λ>0時(shí)，與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，與的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，結(jié)合律：；第一分配律：；第二分配律：知識(shí)點(diǎn)3向量共線定理與基本定理1、向量共線定理：如果，則，反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使.2、三點(diǎn)共線定理：平面內(nèi)三點(diǎn)、、三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)。23、平面向量基本定理（1）定義：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使（2）基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．（3）對(duì)平面向量基本定理的理解=1\*GB3①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．=2\*GB3②基底給定時(shí)，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．=3\*GB3③是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．=4\*GB3④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．知識(shí)點(diǎn)4平面向量的數(shù)量積1、向量的夾角（1）定義：已知兩個(gè)非零向量和，作，，則∠AOB就是向量與的夾角．（2）范圍：設(shè)θ是向量與的夾角，則0°≤θ≤180°.（3）共線與垂直：若θ＝0°，則與同向；若θ＝180°，則與反向；若θ＝90°，則與垂直．2、平面向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為θ，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.（2）幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積．【注意】（1）數(shù)量積也等于的長(zhǎng)度|b|與在方向上的投影的乘積，這兩個(gè)投影是不同的．（2）在方向上的投影也可以寫成，投影是一個(gè)數(shù)量，可正可負(fù)可為0，取決于θ角的范圍．3、向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是兩個(gè)非零向量，是單位向量，α是與的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì)：（1）.（2）.（3），同向?；，反向?.特別地或.（4）若θ為，的夾角，則.4、向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）(交換律)．（2）(結(jié)合律)．（3）(分配律)．【注意】對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c有，但對(duì)于向量，，而言，不一定成立，即不滿足向量結(jié)合律．這是因?yàn)楸硎疽粋€(gè)與c共線的向量，而表示一個(gè)與a共線的向量，而與不一定共線，所以不一定成立．知識(shí)點(diǎn)5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示（1）已知，則，．結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．（2）若，則；結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。2、向量平行坐標(biāo)表示：已知，則向量，共線的充要條件是3、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知非零向量，，與的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模夾角的充要條件與的關(guān)系重難點(diǎn)01平面向量最值或范圍問(wèn)題1、定義法：=1\*GB3①利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；=2\*GB3②運(yùn)用基本不等式求其最值問(wèn)題；=3\*GB3③得出結(jié)論。2、坐標(biāo)法：=1\*GB3①根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；=2\*GB3②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化；=3\*GB3③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解。3、基底法：=1\*GB3①利用基底轉(zhuǎn)化向量；=2\*GB3②根據(jù)向量運(yùn)算化簡(jiǎn)目標(biāo)；=3\*GB3③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；4、幾何意義法：=1\*GB3①結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)；=2\*GB3②利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡；=3\*GB3③結(jié)合圖形，確定臨界位置的動(dòng)態(tài)分析求出范圍。類型1數(shù)量積的最值或范圍【典例1】（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，點(diǎn)滿足，在平面中，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)（是中點(diǎn)），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵诰匦沃?，，，，，所以?dòng)點(diǎn)在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)，則,，其中銳角滿足，故的最大值為,故選：A.【典例2】（2024·江西鷹潭·二模）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊為,，，，是外接圓上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)的外心為，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，由，因，故,而，故當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào).故選：A.類型2模長(zhǎng)的最值或范圍【典例1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，則的最小值為.【答案】【解析】，所以.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.【典例2】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，若則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由可得，因，故時(shí)，，即的最小值為.故選：B．類型3向量夾角的最值或范圍【典例1】（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為.【答案】/【解析】，令，則，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．故答案為：【典例2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，滿足，若對(duì)任意模為的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍為.【答案】【解析】由，若對(duì)任意模為的向量，均有，由三角不等式得，，因?yàn)橄蛄繛槿我饽榈南蛄?，所以?dāng)向量與向量夾角為時(shí)，上式也成立，設(shè)向量的夾角為.，，平方得到，即，則，即，即，同時(shí)，所以，平方得到，即，解得，即，，綜上，又因?yàn)?，即，向量的夾角的取值范圍.故答案為：.類型4線性系數(shù)的最值或范圍【典例1】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，為邊上一點(diǎn)且滿足，若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為4【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以，又，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，又，為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD【典例2】（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為．【答案】【解析】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，，即，解得，,因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值1，則的最大值為.故答案為：.重難點(diǎn)02運(yùn)用向量表示三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心1、常見(jiàn)重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP2、常見(jiàn)垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：=1\*GB3①OA?OB==2\*GB3②OA2+BC=3\*GB3③動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABcosB+ACACcosC3、常用外心向量式：O是?ABC的外心，=1\*GB3①OA=OB==2\*GB3②OA+OB?=3\*GB3③動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OB+OC2+λABABcosB+AC=4\*GB3④若OA+OB?AB=OB+OC?4、常見(jiàn)內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，=1\*GB3①ABPC+BCPA+CA其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長(zhǎng)，=2\*GB3②AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)【典例1】（2024·四川南充·三模）已知點(diǎn)P在所在平面內(nèi)，若，則點(diǎn)P是的（

）A．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心【答案】D【解析】在中，由，得，即，由，同理得，顯然，即與不重合，否則，同理，則，即，，于是平分，同理平分，所以點(diǎn)P是的內(nèi)心.故選：D【典例2】（23-24高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點(diǎn)G，O，H依次為的（

）A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心【答案】C【解析】因?yàn)椋?，設(shè)AB的中點(diǎn)D，則，所以，所以C，G，D三點(diǎn)共線，即G為的中線CD上的點(diǎn)，且，所以G為的重心．因?yàn)?，所以，所以O(shè)為的外心；因?yàn)?，所以，即，所以，同理可得：，，所以H為的垂心.故選：C.重難點(diǎn)03奔馳定理及其應(yīng)用1、奔馳定理：O是內(nèi)的一點(diǎn)，且x?OA+y?OB則S2、證明過(guò)程：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，?BOC，?COA，?AOB的面積分別為SA，SB，S求證：SA延長(zhǎng)OA與BC邊相交于點(diǎn)D，則BDDCOD=∵ODOA=∴OD=-∴-S所以SA（3）奔馳定理推論：x?OA=1\*GB3①S?BOC:S=2\*GB3②S?BOCS?ABC=xx+y+z，S由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．（4）對(duì)于三角形面積比例問(wèn)題，常規(guī)的作法一般是通過(guò)向量線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案?！镜淅?】（23-24高三上·江西新余·期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，取的中點(diǎn)，則，所以，故三點(diǎn)共線，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以M為的重心，A正確；B選項(xiàng)，若M為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；C選項(xiàng)，若M為的垂心，，則，如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)?，，所以，即，同理可得，即，故，，則，故，，則，故，，故，同理可得，故，C正確；D選項(xiàng)，若，，M為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，故，，，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC【典例2】（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（

）

A．B．有可能是的重心C．若為的外心，則D．若為的內(nèi)心，則為直角三角形【答案】AD【解析】對(duì)于A，由奔馳定理可得，，因?yàn)?，，不共線，所以，故A正確；對(duì)于B，若是的重心，，因?yàn)?，所以，即共線，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，當(dāng)為的外心時(shí)，，所以，即，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，當(dāng)為的內(nèi)心時(shí)，（為內(nèi)切圓半徑），所以，所以，故D正確.故選：AD.重難點(diǎn)04極化恒等式及其應(yīng)用1、極化恒等式：2、平行四邊形模式：平行四邊形ABCD，O是對(duì)角線交點(diǎn)．則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．3、三角形模式：在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．【典例1】（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一，即如圖所示，，我們稱為極化恒等式.已知在中，是中點(diǎn)，，，則（

）A． B．16 C． D．8【答案】A【解析】由題設(shè)，可以補(bǔ)形為平行四邊形，由已知得．故選：A．【典例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）四邊形中，M是上的點(diǎn)，，,若N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，的取值范圍是.【答案】【解析】M是上的點(diǎn)且C、D兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，且圓心為M，是等腰直角三角形，所以又，所以，在等腰直角中,點(diǎn)M到線段MN上的一點(diǎn)N的距離最大值為1,取最小值時(shí),N為的中點(diǎn),此時(shí)，，所以.故答案為：一、解決向量概念問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．2、共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．5、非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量，因此單位向量與方向相同．6、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能．但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小．7、在解決向量的概念問(wèn)題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．【典例1】（2023·湖南長(zhǎng)沙·一模）（多選）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若，則與的方向相同或者相反B．若，為非零向量，且，則與共線C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得D．若是兩個(gè)單位向量，且，則【答案】ACD【解析】對(duì)A，若為零向量時(shí)，與的方向不確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，分別表示，方向上的單位向量，根據(jù)題意可知B正確；對(duì)C，若為零向量，不為零向量時(shí)，不存在實(shí)數(shù)使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ACD【典例2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列命題正確的是（

）A．若都是單位向量，則.B．“”是“”的必要不充分條件C．若都為非零向量，則使＋＝成立的條件是與反向共線D．若，則【答案】BCD【解析】對(duì)A，都是單位向量，則模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，所以得不到，A錯(cuò)誤；對(duì)B，“”推不出“”，但“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；對(duì)C，因?yàn)榕c反向共線，且，都為單位向量，則＋＝，C正確；對(duì)D，若，則，D正確，故選:BCD.二、平面向量共線定理的應(yīng)用1、證明向量共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則與非零向量共線；2、證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，與有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線；3、求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值【典例1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點(diǎn)共線 B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線 D．、、三點(diǎn)共線【答案】C【解析】對(duì)A，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，，則，故、、三點(diǎn)共線，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋?，不存在?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：C【典例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，M，N分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，線段AM，BN交于點(diǎn)D，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一：因?yàn)镸，N分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，可由三角形重心的性質(zhì)知.解法二：設(shè)，則，又由B，D，N三點(diǎn)共線，可知，解得，所以，故，故選：C.三、平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．2、用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．【典例1】（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在中，取為基底，則，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，,所以，所以.故選：B.【典例2】（23-24高三下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）四邊形ABCD中，，且，若，則．【答案】2【解析】如圖，由可得且，易得,則有于是,

因，故得由，解得：.故答案為：2.四、平面向量數(shù)量積的求解方法1、定義法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，即（2）適用范圍：已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角。2、基底法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別用這組基底表示出來(lái)，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量級(jí)的運(yùn)算律和定義求解。（2）適用范圍：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可將已知模和夾角的兩個(gè)不共線的向量作為基底，采用“基底法”求解。3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若，，則；（2）適用范圍：=1\*GB3①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；=2\*GB3②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積?！镜淅?】（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，（分別為正交單位向量），則（

）A． B．1 C．6 D．【答案】B【解析】因?yàn)榉謩e為正交單位向量，所以，，所以，故選：B.【典例2】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，，，，，所以.故選：D.五、解決有關(guān)垂直問(wèn)題兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：=1\*GB3①；=2\*GB3②若，，則.【典例1】（2024·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以即，故，故選：D.【典例2】（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，．若，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由題意得，．，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得．故選：A．六、求向量模的常用方法1、定義法：利用及，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；2、坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；3、幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解．【典例1】（2024·山東菏澤·二模）已知向量，且，則的值是（

）A． B． C． D．6【答案】D【解析】因?yàn)?，即，化?jiǎn)，整理得，則，解得.故選：D【典例2】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，，則（

）A．5 B． C．6 D．8【答案】B【解析】由，，，得，則，因此，所以．故選：B七、平面向量的夾角問(wèn)題求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟：第一步，由坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積；第二步，分別求出這兩個(gè)向量的模；第三步，根據(jù)公式求出這兩個(gè)向量夾角的余弦值，其中，；第四步，根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍及其夾角的余弦值，求出兩個(gè)向量的夾角.【典例1】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，解得，所以，設(shè)與的夾角為，所以，又，所以.故選：A【典例2】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）平面四邊形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槠矫嫠倪呅沃?，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，所以，由可得：，兩邊同時(shí)平方可得：，所以，解得：，所以.故選：A.八、投影向量及其應(yīng)用設(shè)向量是向量在向量上的投影向量，則有，則【典例1】（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，所以在上的投影向量為.故選：A【典例2】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在直線上，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，則，則在上的投影向量為.故選：C易錯(cuò)點(diǎn)1平面向量的概念模糊，尤其是零向量點(diǎn)撥：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等?！镜淅?】（23-24高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線C．單位向量是模為的向量 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等【答案】ACD【解析】對(duì)于A，零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，根據(jù)共線向量的定義，可知方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)單位向量的定義，可知C項(xiàng)正確；對(duì)于D，方向相同且模相等的兩個(gè)向量相等，因此方向相反的兩個(gè)非零向量一定不相等，D項(xiàng)正確．故選：ACD．易錯(cuò)點(diǎn)2忽視兩個(gè)向量成為基底的條件點(diǎn)撥：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使。在平面向量知識(shí)體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具。考生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，務(wù)必要注意這兩個(gè)定理的作用和成立條件?！镜淅?】（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】對(duì)A：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對(duì)B：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對(duì)C：對(duì)和，因?yàn)槭遣还簿€的兩個(gè)非零向量，且存在實(shí)數(shù)，使得，故和共線，不可作基底；對(duì)D：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底.故選：C.【典例2】（23-24高三上·福建·階段練習(xí)）（多選）下列各組向量中，可以作為所有平面向量的一個(gè)基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】易知能作為基底的兩個(gè)平面向量不能共線，因?yàn)椋?，，則選項(xiàng)A、C、D中兩個(gè)向量均不共線，而B(niǎo)項(xiàng)中，則B錯(cuò)誤.故選：ACD易錯(cuò)點(diǎn)3錯(cuò)誤使用向量平行的等價(jià)條件點(diǎn)撥：對(duì)于，，，若是使用，容易忽略0這個(gè)解.考生解題過(guò)程中要注意等價(jià)條件的完備性?！镜淅?】（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)