專題01 集合與常用邏輯用語（解析版）-2025高考數(shù)學一輪復習知識

專題01集合與常用邏輯用語（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1集合與元素1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；2、元素與集合的關系：屬于或不屬于，用符號或表示3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法4、常見數(shù)集的記法與關系圖集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR知識點2集合間的基本關系表示關系文字語言符號語言圖形語言基本關系子集集合A的所有元素都是集合B的元素（則）或真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A或相等集合A，B的元素完全相同空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集知識點3集合的基本運算1、集合交并補運算的表示集合的并集集合的交集集合的補集圖形語言符號語言2、集合運算中的常用二級結論（1）并集的性質：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.（2）交集的性質：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.（3）補集的性質：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?．?U(?UA)＝A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．知識點4充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關系p?qp?q條件關系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關系判定定理給出了相應數(shù)學結論成立的充分條件性質定理給出了相應數(shù)學結論成立的必要條件2、充要條件（1）充要條件的定義如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均為真命題，即既有，又有，就記作。此時，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說是的充分必要條件，簡稱充要條件。（2）充要條件的含義若是的充要條件，則也是的充要條件，雖然本質上是一樣的，但在說法上還是不同的，因為這兩個命題的條件與結論不同。（3）充要條件的等價說法：是的充要條件又常說成是成立當且僅當成立，或與等價。知識點5全稱量詞與存在量詞1、全稱量詞與全稱量詞命題（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“”表示．【注意】（1）全稱量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；（2）常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”（2）全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．符號表示：通常，將含有變量的語句用，，，…表示，變量的取值范圍用表示，那么，全稱量詞命題“對中任意一個，成立”可用符號簡記為【注意】（1）從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題；（2）一個全稱量詞命題可以包含多個變量；（3）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行”。2、存在量詞與存在量詞命題（1）存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“”表示．【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；（2）存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。符號表示：存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號簡記為【注意】（1）從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質的命題；（2）一個存在量詞命題可以包含多個變量；（3）有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征都是存在量詞命題3、命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定．（1）全稱量詞命題的否定：一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題：．（2）存在量詞命題的否定：一般地，存在量詞命題“”的否定是全稱量詞命題：．（3）命題與命題的否定的真假判斷：一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然．（4）常見正面詞語的否定：正面詞語等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面詞語至多有一個至少有一個任意所有至多有n個否定至少有兩個一個都沒有某個某些至少有n+1個重難點01已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數(shù)值．（1）確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；（2）互異性的運用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗．【典例1】（23-24高三上·廣東惠州·月考）集合，若且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為且，所以且，解得.故選：B.【典例2】（23-24高三下·江西·月考）已知，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得且，解得．故選：A重難點02利用兩個集合之間的關系確定參數(shù)的取值范圍第一步：弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若，且A中含參數(shù)應考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；第三步：將集合間的包含關系轉化為方程(組)或不等式(組)，求出相關的參數(shù)的值或取值范圍.常采用數(shù)形結合的思想，借助數(shù)軸解答.【典例1】（2024·陜西西安·三模）設集合，，若，則（

）A．2 B．3 C．1 D．1或2【答案】C【解析】因為，且，所以，則或，解得或，當時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；當時，符合題意.綜上可得.故選：C【典例2】（2024·黑龍江·二模）已知，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，又，所以，故.故選：A.重難點03根據(jù)集合運算的結果確定參數(shù)的取值范圍法一：根據(jù)集合運算結果確定集合對應區(qū)間的端點值之間的大小關系，確定參數(shù)的取值范圍.法二：（1）化簡所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；（3）根據(jù)集合端點間關系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“=”；（2）千萬不要忘記考慮空集。【典例1】（2024·重慶·模擬預測）設集合，，若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】當時，，則，即此時，，不符合要求；當時，，則，即此時，，符合要求；故.故選：B.【典例2】（2024·重慶·模擬預測）已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由不等式，解得或，所以或，又由不等式，當時，不等式解集為空集，不滿足，不符合題意，舍去；當時，解得，即，此時不滿足，不符合題意，舍去；當時，解得，即，要使得，則滿足，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.重難點04利用充分必要條件求參數(shù)的策略1、巧用轉化法求參數(shù)：把充分條件、必要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式（不等式組）求解；2、端點取值需謹慎：在求參數(shù)范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍?！镜淅?】（23-24高三上·上海松江·期中）已知，且是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，解得，設，，若是的充分不必要條件，則，則有，且等號不會同時取到，解得，則實數(shù)的取值范圍是.【典例2】（23-24高三上·江蘇揚州·月考）（多選）若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由不等式，可得或，因為是的必要不充分條件，可得或，解得或，即實數(shù)的取值范圍為，結合選項，可得A、D符合題意.故選：AD.重難點05根據(jù)全稱（存在）量詞命題的真假求參數(shù)1、全稱量詞命題求參的問題，常以一次函數(shù)、二次函數(shù)等為載體進行考察，一般在題目中會出現(xiàn)“恒成立”等詞語，解決此類問題時，可構造函數(shù)，利用數(shù)形結合求參數(shù)范圍，也可用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍；2、存在量詞命題求參數(shù)范圍的問題中常出現(xiàn)“存在”等詞語，對于此類問題，通常時假設存在滿足條件的參數(shù)，然后利用條件求參數(shù)范圍，若能求出參數(shù)范圍，則假設成立；否則，假設不成立。解決有關存在量詞命題的參數(shù)的取值范圍問題時，應盡量分離參數(shù)?！镜淅?】（2024·四川·模擬預測）已知命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為命題“”為真命題，所以．令與在上均為增函數(shù)，故為增函數(shù)，當時，有最小值，即，故選：A．【典例2】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知命題：為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知命題：為假命題，則命題：為真命題，故當時，，即為，符合題意；當時，需滿足，解得，綜合可得實數(shù)的取值范圍是，故選：D一、子集的個數(shù)問題如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數(shù)有2n個．（2）A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．（3）A的真子集的個數(shù)有2n－1個（4）A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．【典例1】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】因為，所以可以是，共8個，故選：D【典例2】（2024·全國·一模）已知集合，，則子集的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由，得，解得，所以，所以，所以子集的個數(shù)為.故選：D二、判斷集合與集合的關系判斷集合間關系的常用方法：1、列舉觀察法：列出幾何中的全部元素，通過定義得出集合間關系；2、集合元素特征法：首先確定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷集合間關系；3、數(shù)形結合法：利用數(shù)軸或韋恩圖判斷集合間關系，如不等式的解集之間的關系，適合用數(shù)軸法。【典例1】（2024·云南貴州·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，所以.故選：A【典例2】（2024高三·全國·專題練習）已知集合，，則下列關系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，解得或，則，，則不是B的子集，不是的子集，，，故選：D．三、韋恩圖的應用元素與集合的隸屬關系以及集合之間的包含關系，一般都能通過韋恩圖形象表達。有時題設條件比較抽象，也應借助于韋恩圖尋找解題思路。這樣做有助于直觀地分析問題、解決問題?！镜淅?】（2024·山西長治·一模）已知集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，圖中陰影部分表示的集合為：或，故選：A.【典例2】（2024·河北邢臺·二模）下列集合關系不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A：因為，故A正確；B：由空集的定義可知，故B正確；C：由圖可知C正確；D：因為空集中不包含任何元素，故D錯誤；故選：D.四、集合新定義問題在集合新定義問題中，出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運算法則和運算律的基礎上定義一種新的運算。解題時，要抓住兩點：（1）分析新定義的特點，把新定義中所敘述的問題的本質弄清楚，并且能夠應用到具體的解題過程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本運算是解題的突破口，要熟練掌握?！镜淅?】（2024·貴州黔東南·二模）若對任意，，則稱A為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于選項A：因為，但，不符合題意，故A錯誤；對于選項B：因為，但無意義，不符合題意，故B錯誤；對于選項C：例如，但，不符合題意，故C錯誤，對于選項D：對任意，均有，符合題意，故D正確；故選：D.【典例2】（23-24高三下·甘肅·月考）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集，且滿足，那么稱子集組構成集合U的一個k劃分．若集合I中含有4個元素，則集合I的所有劃分的個數(shù)為（

）A．7個 B．9個 C．10個 D．14個【答案】D【解析】不妨設，則：的2劃分有，，，，，，；的3劃分有，，，，，；的4劃分只有.綜上，的劃分共有個，D正確.故選：D.五、充分條件與必要條件的判斷充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法1、定義法：（1）分清命題的條件和結論；（2）判斷“若p，則q”及“若q，則p”的真假；（3）得出結論.2、集合法：利用集合間的包含關系進行判斷；3、等價轉化法：將命題轉化為另一個與之等價的且便于判斷真假的命題?！镜淅?】（2024·江西南昌·二模）已知集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】不等式解得，則；不等式解得，則.，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【典例2】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知命題p：集合，命題q：集合，則p是q的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】或，或，是的真子集，因此，是的必要不充分條件.故選：B易錯點1對集合表示方法的理解存在偏差點撥：對集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要對本質進行剖析，需要明確集合中的代表元素類型（點集或者數(shù)集）及代表元素的含義?！镜淅?】（23-24高三下·江西吉安·期中）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解不等式可得，由指數(shù)函數(shù)的值域可得，所以.故選：D【典例2】（2024·湖北·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，當且僅當，即時，等號成立，得；由得，即.所以.故選：B易錯點2忽視（漏）空集導致錯誤點撥：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往往容易因忽略空集的特殊性而導致漏解。【典例1】（2024·重慶·模擬預測）設若，，則，實數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題，得，因為，所以，當時，無解，此時，滿足題意；當時，得，所以或，解得或.綜上，實數(shù)a的值可以為0，，.故選：D．【典例2】（2024·全國·模擬預測）已知全集，集合，．若，則的最大值為．【答案】【解析】因為，當時，，若，則．在數(shù)軸上表示出集合，，如圖，則；當時，，此時不成立，當時，，此時不成立．綜上，的最大值為．易錯點3忽視集合元素的互異性點撥：集合元素的互異性是集合的特征之一，集合中不可出現(xiàn)相同的元素。【典例1】（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）已知集合，，若中恰有三個元素，則由a的取值組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為中恰有三個元素，所以或或，結合集合中元素的互異性，解得或或（舍去）或.故選：D．【典例2】（2024高三·全國·專題練習）已知集合，且，則實數(shù)為（

）A．2 B．3