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行列式展開定理音樂§1.4
11、余子式與代數(shù)余子式2在階行列式中,把元素所在的第行和第列劃去后,留下來的階行列式叫做元素的余子式,記作即叫做元素的代數(shù)余子式.3例如456引理1.1一個階行列式,如果其中第行所有元素除外都為零,那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積,即.例如7證當(dāng)位于第一行第一列時,即有又從而在證一般情形,此時8得9得1011中的余子式12故得于是有13
n階行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和,即或按第i行展開按第j列展開證略推論:若行列式某行(列)的元素全為零,則行列式的值為零.定理1.2(可展性)14例2設(shè)15定理1.3
行列式某一行的元素乘另一行對應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零,即這是因為第i行第j行16同樣,行列式對列展開,也有則有172、行列式的計算利用行列式的可展性把高階行列式轉(zhuǎn)化為較低階行列式進行計算的方法,稱為降階法;但直接應(yīng)用按行(列)展開公式計算行列式,運算量較大,因此用降階法計算行列式應(yīng)按零較多的行或列展開.實際中通常用行列式的性質(zhì)把零較多的行或列化為只有一個元素不為零,而后按該行或列展開,對降階后的行列式再如法進行.降階法是計算行列式的又一個最基本最重要的方法,須熟練掌握.為了使計算過程更加醒目,特將按第行i(列)展開記為18例11920例2
計算行列式解21
每行元素的和都相等,把第二、三、四列都加到第一列,
例3計算行列式解2223按第一列展開,并由上、下三角形行列式得
例4計算n階行列式解24例6計算n階行列式解按第1列展開,(1)25反復(fù)利用遞推公式得:
(2)由對稱性,(1)式又可化為
(1)(3)聯(lián)列(2)(3),解得26而代入得27
證用數(shù)學(xué)歸納法,例7證明范德蒙(Vandermonde)行列式2829
n-1階范德蒙行列式30證畢.31例如,32顯然:n階范德蒙行列式的充要條件是它的元互不相同。例8
(與01年考研試題類似)設(shè)、分別為行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式
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