2投影的基本知識教程

2投影的基本知識

2.1投影的形成和分類

2.2工程中常用的幾種投影圖

2.3正投影的特性與基本原理

2.4點、直線、平面的投影2.1投影的形成和分類

2.1.1投影的形成

2.1.2投影的分類投影三要素投射線形體投影面2.1.1投影的形成投影法中心投影法平行投影法斜投影法正投影法★2.1.2投影的分類中心投影中心投影法投射線匯交于一點的投影法。

PS2.1.2投影的分類斜投影P斜投影法投影方向傾斜于投影面。

S2.1.2投影的分類正投影P正投影法投影方向垂直于投影面。

S2.1.2投影的分類2.2工程中常用的幾種投影圖2.2工程中常用的幾種投影圖多面正投影圖2.2工程中常用的幾種投影圖軸測投影圖2.2工程中常用的幾種投影圖建筑效果圖2.2工程中常用的幾種投影圖標高投影圖2.3正投影的特性與基本原理

2.3.1正投影的特性

2.3.2正投影圖的原理2.3.1正投影的特性當直線平行于投影面時，其投影反映實長；當平面平行于投影面時，其投影反映實形。BAabecCDEdP真實性a(b)BA當直線垂直于投影方向時，其投影積聚為一點。當平面垂直于投影方向時，其投影積聚為一直線。PecCDEd2.3.1正投影的特性積聚性點的投影仍然是點。直線的投影一般還是直線。平面圖形的投影一般是原圖形的類似形。SPA1AaA22.3.1正投影的特性類似性PABabCDcd若空間兩直線互相平行，則其同面投影也互相平行。2.3.1正投影的特性平行性WHVXOY投影軸——X、Y、Z

原點——OZ2.3.2正投影圖的原理三面投影體系的建立三投影面——H、V、WH——水平面

V——正立面

W——側(cè)立面2.3.2正投影圖的原理三面投影體系的建立水平投影：從上向下投影正面投影：從前向后投影側(cè)面投影：從左向右投影可見輪廓線：實線不可見輪廓線：虛線VWHXZYO虛線移去物體V面不動H面連同水平投影繞X軸向下旋轉(zhuǎn)W面連同側(cè)面投影繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)VWHXZYOXZYWOHVWYHHW2.3.2正投影圖的原理三面投影圖的展開VWHXZYWYHO正面投影：左上方水平投影：正面投影的正下方側(cè)面投影：正面投影的正右方2.3.2正投影圖的原理三面投影圖的展開VWHXZYWYHO投影面邊框一般不畫2.3.2正投影圖的原理三面投影圖的展開VWHXZYWYHO投影軸線也可不畫2.3.2正投影圖的原理三面投影圖的展開X軸向尺寸（左右）—長度Y軸向尺寸（前后）—寬度Z軸向尺寸（上下）—高度正面投影：反映長度和高度水平投影：反映長度和寬度側(cè)面投影：反映高度和寬度VWHXZYO度量對應(yīng)關(guān)系2.3.2正投影圖的原理三面投影圖的投影規(guī)律長寬寬高正面投影：反映長度和高度水平投影：反映長度和寬度側(cè)面投影：反映高度和寬度度量對應(yīng)關(guān)系2.3.2正投影圖的原理三面投影圖的投影規(guī)律長寬寬高度量對應(yīng)關(guān)系長對正高平齊寬相等2.3.2正投影圖的原理三面投影圖的投影規(guī)律2.4點、直線、平面的投影

2.4.1點的投影

2.4.2直線的投影

2.4.3平面的投影

2.4.4直線與平面、平面與平面的相對位置2.4.1點的投影

2.4.1.1點的三面投影及其特性

2.4.1.2

兩點的相對位置2.4.1.1點的三面投影及其特性VWHXZYOAa

aa

aXaYaZ空間點——AH面投影——aV面投影——a

W面投影——a

點的三面投影XZYWOYHHWVa

HaWa

移去空間點V面不動H面連同水平投影繞X軸向下旋轉(zhuǎn)W面連同側(cè)面投影繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)VWHXZYOAa

aa

axayaz2.4.1.1點的三面投影及其特性點的三面投影VWHXZYOAa

aa

aXaYaZVWHXZYWYHOa

aa

aXaZaYHaYW點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸點的H面投影與V面投影的連線垂直于OX軸——a

a

⊥OX

點的V面投影與W面投影的連線垂直于OZ軸——a

a

⊥OZ2.4.1.1點的三面投影及其特性點的三面投影的特性VWHXZYOAa

aa

aXaYaZXZYWYHOa

aa

aXaZaYHaYW某一投影到投影軸的距離等于該點到相應(yīng)投影面的距離a

aZ

=a

aYH

=Aa

,點到W面的距離aaX

=a

aZ

=Aa

,點到V面的距離a

aX=a

aYW=Aa

,點到H面的距離2.4.1.1點的三面投影及其特性點的三面投影的特性【例2-1】已知A點的H面投影a和V面投影a

，求A點的W面投影a

。XZYWYHOa

aa

2.4.1.2兩點的相對位置點的坐標XZYWYHOa

aa

axayazVWHZYOAa

aa

axayazX45°ayyAxAzAxyzH面投影反映x、y坐標，即

a（x，y）V面投影反映x、z坐標，即

a

（x，z）W面投影反映y、z坐標，即

a

（y，z）zAxAyAxAzAyAYWbXZb'b''OYHZXYOWVa'BHAaa''b'b''bCc"c'ca'aa''c"c'c投影面上的點

在該投影面上的投影與空間點自身重合，另外兩個面上投影在相應(yīng)的坐標軸上。2.4.1.2兩點的相對位置點的一個坐標為0YXHVWOf''e'dd'De''EfFd''ef'Z投影軸上的點

在與該投影軸相關(guān)的兩個投影面上的投影與空間點自身重合，另一投影面上的投影與坐標原點重合。dd'd''XOZYHYWf''ff'e'e''e2.4.1.2兩點的相對位置點的兩個坐標為0a

aa

20axazay1510XZYWYHO【例2-2】已知點A(20,10,15)，求點A的三面投影圖。AOVWHZYXB根據(jù)兩點的坐標差，可以確定兩點的相對位置——兩點的左右關(guān)系，X坐標大在左，小的在右；——兩點的前后關(guān)系，Y坐標大在前，小的在后；——兩點的上下關(guān)系，Z坐標大在上，小的在下。

bb

b

a

aa

YWXZYHOa

aa

bb

b

2.4.1.2兩點的相對位置兩點的相對位置【例2-3】已知A點在B點的右方10、前方6、上方8，求A點的投影。8106YWXZYHOa

aa

bb

b

b()當空間兩點位于同一條投射線上時，則該兩點在對應(yīng)的投影面上的投影重合為一點，這兩點稱為對此投影面的重影點。OVWHZYXBb

b

Aa

a

a2.4.1.2兩點的相對位置重影點及其可見性b()OVWHZYXBb

b

Aa

a

aYWXZYHOa

aa

b

b

b()不可見的投影字母加括號（）表示判斷的基本原則——看第三坐標，大者可見2.4.1.2兩點的相對位置重影點及其可見性Xb(c

)OVWHZYXBCb

c

cb

YWZYHOb

b

c

cb(c

)前遮后上遮下左遮右2.4.1.2兩點的相對位置重影點及其可見性2.4.2直線的投影

2.4.2.1投影面垂直線

2.4.2.2

投影面平行線

2.4.2.3

一般位置直線

2.4.2.4

直線上的點

2.4.2.5

兩直線的相對位置2.4.2.1投影面垂直線鉛垂線——⊥H，//V、W正垂線——⊥V，//H、W

側(cè)垂線——⊥W，//H、V

垂直于一個投影面，平行于另外兩個投影面鉛垂線TLTLa(b)OYWXZYHa

a

b

b

a(b)b

OVWHZYXBAb

a

a

a(b)投影特性

H

——積聚為一點V、W

——反映實長，//OZ傾角α＝90°β＝γ＝0°2.4.2.1投影面垂直線正垂線d

OVWHZYXDCc(d)c

dcTLTLOYWXZYHc

d

cdc(d)投影特性

V

——積聚為一點H、W

——反映實長，//OY傾角β＝90°α＝γ＝0°2.4.2.1投影面垂直線側(cè)垂線OVWHZYXFEe

e(f)fef

TLTLOYWXZYHefe

f

e(f)投影特性

W——積聚為一點V、H

——反映實長，//OX傾角γ＝90°α＝β＝0°2.4.2.1投影面垂直線側(cè)垂線OVWHZYXFEe

e(f)fef

TLTLOYWXZYHefe

f

e(f)投影面垂直線的投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚為一點在另外兩個投影面上的投影平行于相關(guān)的投影軸，并反映直線實長TL2.4.2.1投影面垂直線水平線——//H，∠V、W正平線——//V，∠H、W

側(cè)平線——//W，∠H、V

平行于一個投影面，傾斜于另外兩個投影面2.4.2.2投影面平行線水平線

TL

OVWHZYXBAb

b

ba

aa

OYWXZYHa

aa

bb

b

投影特性

H——反映實長,反映β、γ傾角V、W——長度小于實長,⊥OZ2.4.2.2投影面平行線正平線OVWHZYXＣＤc

c

cd

dd

投影特性

V

——反映實長,反映α、γ傾角H、W——長度小于實長,⊥OYOYWXZYHd

dd

cc

c

TL2.4.2.2投影面平行線側(cè)平線OVWHZYXFEf

f

ｆｅ

ｅe

OYWXZYHe

ee

ff

f

TL

投影特性

W

——反映實長,反映α、β傾角V、H——長度小于實長,⊥OX2.4.2.2投影面平行線投影面平行線的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映實長，反映直線與另兩個相關(guān)的投影面的傾角另外兩個投影垂直于相關(guān)的投影軸，投影長度小于實長側(cè)平線OVWHZYXFEf

f

ｆｅ

ｅe

OYWXZYHe

ee

ff

f

TL

2.4.2.2投影面平行線與三個投影面均傾斜O(jiān)YWXZYHa

aa

bb

b

OVWHZYXBAb

b

ba

aa

2.4.2.3一般位置直線OYWXZYHb

bb

aa

a

OVWHZYXABa

a

ab

bb

投影特性：三個投影均傾斜于投影軸投影長度小于實長2.4.2.3一般位置直線bab

a

⊿Zα⊿ZTLα⊿ZBAbab

a

A1TLOVHZYXOX直角三角形法求實長和α2.4.2.3一般位置直線直角三角形法求實長和βBβAbaa

B1⊿YTLOVHZYXb

bab

a

⊿Yβ⊿YTLOX2.4.2.3一般位置直線OVHXaABa

b

bZYKk

kk

W從屬性若點在直線上，則點的投影必在該直線的同面投影上。YWOXZYHb

bb

aa

a

a

b

k

kk

定比性若點將直線分為兩段，則兩段的實長之比等于其投影長度之比。AK:KB=ak:kb=a

k

:k

b

=a

k

:

k

b

2.4.2.4直線上的點【例2-4】已知AB上一點C的H面投影c，求V面投影c′。

b

a

abc

cOXb1c1定比性【例2-5】判斷點K是否在側(cè)平線AB上。b

a

a

b

ab從屬性k

kk

OXYWZYHb

a

ab定比性k

kOXb1k1【例2-5】判斷點K是否在側(cè)平線AB上。Wa"c"ZVCa'OAd'Db'c'd"b"YcbBdaHXZc"d"b"a'd'b'c'cdabXYWa"OYH投影特性兩直線的同面投影相互平行；兩直線的長度之比和同面的投影長度之比相等。2.4.2.5兩直線的相對位置兩直線平行Wa"c"ZVCa'OAd'Db'c'd"b"YcbBdaHXZc"d"b"a'd'b'c'cdabXYWa"OYH已知AB//CD，則ab//cd,a

b

//c

d

,a

b

//

c

d

AB:CD=ab:cd=a

b

:c

d

=a

b

:

c

d

2.4.2.5兩直線的相對位置兩直線平行判斷兩直線是否平行對于兩一般位置直線，若有兩個同面投影均互相平行，則空間兩直線平行；對于平行于同一投影面的兩直線，若兩個同面投影均互相平行，并且其中一投影反映直線實長，則兩直線平行。b

a

abdc

d

cXObcb

dac

a

OXd

2.4.2.5兩直線的相對位置兩直線平行b

a

c

d

abd

c

dca

b

【例2-6】（a）已知兩側(cè)平線AB和CD,判斷AB和CD是否平行。【解一】作出第三投影【解二】字母順序一樣,投影長度成比例ZXYWOYHf

e

g

h

efh

g

ghe

f

【例2-6】（b）已知兩側(cè)平線EF和GH,判斷EF和GH是否平行。ZXYWOYH【解一】作出第三投影【解二】EF和GH的V、H投影字母順序不一樣，EF和GH的指向不一致空間兩直線相交三個同面投影均相交，并且交點符合點的投影特性。Xd'b'c'a'c"b"a"d"abdck'k"kYWYHOZVHAZYBDCd'a'c'b'Wc"d"b"a"dcabk'kk"KOX2.4.2.5兩直線的相對位置兩直線相交c

d

d

c

dcb

a

baa

b

k

kk

ZXYWOYH【例2-7】已知兩直線AB和CD,判斷AB和CD是否相交?！窘庖弧孔鞒龅谌队啊窘舛縜

k:k

b

ak:kb兩直線既不平行又不相交，稱為交叉二直線VHDBCAdd

cc

a

abb

OXYZb

a

bacdc

d

XO2.4.2.5兩直線的相對位置兩直線交叉可能存在一個或兩個同面投影相互平行，但不存在三個同面投影都平行。

——

和平行的區(qū)別可能有一個、兩個或三個同面投影相交，但交點不符合點的投影特性。

——

和相交的區(qū)別兩直線交叉的投影特性：2.4.2.5兩直線的相對位置兩直線交叉VH3

4

()DBCAdd

cc

a

abb

12341

2

()ⅠⅡⅢⅣd

c

dcaba

b

3

4

341

2

12()()OXYZ判斷重影點的可見性2.4.2.5兩直線的相對位置直角投影定理：

若空間兩直線垂直，且有一條平行于某一投影面，那么在該投影面上的投影仍然反映直角?！逜B⊥BCAB⊥Bb∴AB⊥

平面BbcC有AB⊥

bc又AB∥

ab故ab

⊥

bcHACBacb2.4.2.5兩直線的相對位置兩直線垂直直角投影定理的逆定理：若相交兩直線的同面投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則兩直線必垂直。HACBacbcOa

b

c

abX2.4.2.5兩直線的相對位置兩直線垂直【例2-8】已知直線AB和點C的兩面投影,求C點到AB的距離。XOa'ab'bc'cd'd距離【例2-9】求交叉直線AB和CD的距離MN實長及其投影。XOa'b'abc'cd'dnn'm'm距離2.4.3平面的投影

2.4.3.1平面的表示方法

2.4.3.2

各種位置平面的投影特性

2.4.3.3

平面上的點和直線2.4.3.1平面的表示方法用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交兩直線；平行兩直線；任意平面圖形。cab

ba

c

a

b

bc

aca

b

bc

acb

ba

c

ac幾何元素表示法a

b

c

abcd

d跡線表示法跡線：平面和投影面的交線。VWHZYOXPPWPHPVXZYWYHOPWPVPH2.4.3.1平面的表示方法跡線：平面和投影面的交線。VWHZYOXQWQHQVXZYWYHOQQVQWQH跡線表示法2.4.3.1平面的表示方法2.4.3.2各種位置平面的投影特性水平面——//H，⊥V、W正平線——//V，⊥

H、W

側(cè)平線——//W，⊥

H、V

平行于某一投影面，并與另兩個投影面垂直投影面平行面2.4.3.2各種位置平面的投影特性投影特性H——反映實形V、W——積聚成一直線，⊥OZ傾角α＝0°β＝γ＝90°水平面VWHZYOXp

p

pPXZYWYHOp

p

p（TS）2.4.3.2各種位置平面的投影特性投影特性V——反映實形H、W——積聚成一直線，⊥OY傾角β＝0°α＝γ＝90°VWHZYOXqQq

q

XZYWYHOqq

q

（TS）正平面2.4.3.2各種位置平面的投影特性投影特性W——反映實形H、V——積聚成一直線，⊥OX傾角γ＝0°α＝β＝90°VWHZYOXrr

XZYWYHOrr

r

（TS）r

R側(cè)平面2.4.3.2各種位置平面的投影特性VWHZYOXrr

XZYWYHOrr

r

（TS）r

R投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映實形在另外兩個投影面上積聚成直線，且垂直于相關(guān)的投影軸側(cè)平面2.4.3.2各種位置平面的投影特性鉛垂面——⊥H，∠V、W正垂線——⊥V，∠H、W

側(cè)垂線——⊥W，∠H、V

垂直于某一投影面，并傾斜于另外兩個投影面投影面垂直面2.4.3.2各種位置平面的投影特性p

p

投影特性H——積聚成一直線，反映β、γ傾角V、W——反映類似形VWHZYOX

XZYWYHOpp

c

p

PpP鉛垂面2.4.3.2各種位置平面的投影特性投影特性V——積聚成一直線，反映α、γ傾角H、W——反映類似形

VWHZYX

q

XZYWYHOqq

q

OQqq

正垂面2.4.3.2各種位置平面的投影特性rr

投影特性W——積聚成一直線，反映α、β傾角H、V——反映類似形VWHZYOXRXZYWYHOrr

r

r

側(cè)垂面2.4.3.2各種位置平面的投影特性rr

VWHZYOXRXZYWYHOrr

r

r

投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影積聚成直線，該直線與投影軸的夾角反映平面與相關(guān)的投影面的傾角在另兩個投影面上的投影是類似圖形側(cè)垂面2.4.3.2各種位置平面的投影特性一般位置平面VWHZYOX一般位置平面

對三個投影面都傾斜的平面b

a

aca

c

b

bc

XZYWYHObb

b

aca

c

a

c

ABC2.4.3.2各種位置平面的投影特性VWHZYOXb

a

aca

c

b

bc

XZYWYHObb

b

aca

c

a

c

ABC一般位置平面的投影特性：三個投影均與平面是類似圖形，且面積小于實形面積不反映平面對投影面的傾角一般位置平面2.4.3.2各種位置平面的投影特性平面內(nèi)的點點在平面內(nèi)的某一條直線上平面內(nèi)的直線通過平面內(nèi)兩個點過平面內(nèi)一點，且平行于平面內(nèi)的某一條直線AbcHaCBMNmnAbcHaCBMmEe存在條件2.4.3.3平面上的點和直線【例2-10】已知平面ABC的兩面投影及直線EF的水平投影ef。

直線EF在平面ABC上，求作EF的V面投影。efabc1a

b

c

e

f

1

【例2-11】已知平面圖形ABCDEFG的V面投影及直線AB和CD的水平投影。試完成其H面投影。XOca

b

ac

bd

de

f

efg

g2.4.4直線與平面、平面與平面的相對位置

2.4.4.1平行問題

2.4.4.2

相交問題

2.4.4.3

垂直問題2.4.4.1平行問題直線和平面平行

若平面外一直線平行于平面內(nèi)任一直線，則該直線和平面互相平行。PCDAB【例2-12】已知△ABC和M點，作過M點的水平線MN//△

ABC。n

nm

mabcda

b

c

d

XO【例2-13】判斷直線MN與平面ABCD是否平行。e'f'efOn'm'Xma'd'b'c'cdabnOb'bXapp'a'當平面的某一投影具有積聚性時，則該投影可反映平面和直線的平行關(guān)系。2.4.4.1平行問題直線和平面平行若兩平面內(nèi)分別有一對相交直線對應(yīng)平行，則兩平面互相平行。BCAPQEDF2.4.4.1平行問題平面和平面平行【例2-14】已知△ABC和M點，過M點作平面平行于△ABC。abca

b

c

mm

e

ef

fXO【例2-15】判斷△ABC和平面DEFG是否平行。XOc'b'a'abcd'g'f'fede'mnn'm'gp'q'qpXO當兩平面均垂直于某投影面時，它們有積聚性的投影可直接反映平行關(guān)系。2.4.4.1平行問題平面和平面平行PABKABCMN交點

直線和平面的共有點交線

兩平面的共有線（兩個共有點）P直線和平面相交平面和平面相交2.4.4.2相交問題一般位置直線和特殊位置平面相交

若平面處于特殊位置，其某一投影具有積聚性，則直線與平面的交點可利用直線與平面的積聚性投影相交而直接求得。ABKPHabk2.4.4.2相交問題abpa

b

p

kk

【例2-16】一般位置直線AB與鉛垂面P相交，求作交點K。直觀判別法可見性判別OX投影面垂直線和一般位置平面相交直線與平面相交，當直線的投影有積聚性時，交點的一個投影已知，另一投影用面上取點的方法求出。Kkdm(n)bABHaCcDMN2.4.4.2相交問題m(n)b