1.2.1排列與組合(排列)(新人教A版選修2-3)解析

(一)1.2排列與組合N=m1+m2+…+mn

做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有

.種不同的方法分類加法計數(shù)原理N=m1×m2×…×mn

做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有

_____________________種不同的方法.分步乘法計數(shù)原理創(chuàng)設情境,引出排列問題探究

在1.1節(jié)的例9中我們看到,用分步乘法計數(shù)原理解決這個問題時,因做了一些重復性工作而顯得繁瑣,能否對這一類計數(shù)問題給出一種簡捷的方法呢?探究：問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題2：從1，2，3，4這4個數(shù)中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？上面兩個問題有什么共同特征？可以用怎樣的數(shù)學模型來刻畫？探究：問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？分析：把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙3名同學中選2名，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法？

上午下午相應的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：確定參加上午活動的同學即從3名中任選1名，有3種選法.第二步：確定參加下午活動的同學，有2種方法根據(jù)分步計數(shù)原理：3×2=6即共6種方法。把上面問題中被取的對象叫做元素,于是問題１就可以敘述為：

從3個不同的元素a,b,c中任取2個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb問題2：從1，2，3，4這4個數(shù)中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？

從4個不同的元素a,b,c,d中任取3個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。同樣，問題２可以歸結(jié)為：從４個不同的元素a，b，c，d中任?。硞€，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.上面兩個問題有什么共同特征？可以用怎樣的數(shù)學模型來刻畫？(1)有順序的(2)不論是排列之前，還是之后，所有的元素都不相等?基本概念1、排列：一般地，從n個不同中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。說明：1、元素不能重復。n個中不能重復，m個中也不能重復。2、“按一定順序”就是與位置有關，這是判斷一個問題是否是排列問題的關鍵。3、兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。4、m＜n時的排列叫選排列，m＝n時的排列叫全排列。5、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，最好采用“樹形圖”。例1、下列問題中哪些是排列問題？（1）10名學生中抽2名學生開會（2）10名學生中選2名做正、副組長（3）從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相乘（4）從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相除（5）20位同學互通一次電話（6）20位同學互通一封信（7）以圓上的10個點為端點作弦（8）以圓上的10個點中的某一點為起點，作過另一個點的射線（9）有10個車站，共需要多少種車票？（10）有10個車站，共需要多少種不同的票價？排列中的注意點：1、元素不能重復。n個中不能重復，m個中也不能重復。2、“按一定順序”就是與位置有關，這是判斷一個問題是否是排列問題的關鍵。3、兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。4、m＝n時的排列叫全排列。5、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，最好采用“樹形圖”。2、排列數(shù)：

從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的排列數(shù)。用符號表示?！芭帕小焙汀芭帕袛?shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？排列數(shù)，而不表示具體的排列。所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)；“排列數(shù)”是指從個不同元素中，任取個元素的所以符號只表示“一個排列”是指：從個不同元素中，任取按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；個元素問題１中是求從３個不同元素中取出２個元素的排列數(shù)，記為,已經(jīng)算得問題2中是求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)，記為，已經(jīng)算出探究：從n個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)是多少？呢？呢？

……第1位第2位第3位第m位n種(n-1)種(n-2)種(n-m+1)種(1)排列數(shù)公式（1）：當m＝n時，正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用表示。n個不同元素的全排列公式：(2)排列數(shù)公式（2）：說明：1、排列數(shù)公式的第一個常用來計算，第二個常用來證明。為了使當m＝n時上面的公式也成立，規(guī)定：2、對于這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條件。排列數(shù)公式觀察排列數(shù)公式有何特征：（1）第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個因數(shù)少1．（2）最后一個因數(shù)是n－m＋1．（3）共有m個因數(shù)．

n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，這時公式中的n=m，即有:就是說，n個不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積，正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示，所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成另外，我們規(guī)定0!＝1例1計算：我們發(fā)現(xiàn)：這個結(jié)果有一般性嗎？．例2(1)若,則n=

，m=

．解：（1）n=17，m=14．(2)若則用排列數(shù)符號表示為

．1．計算：（1）（2）課堂練習2．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進行試驗，有

種不同的種植方法？4．信號兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信號有（）3．從參加乒乓球團體比賽的5名運動員中選出3名進行某場比賽，并排定他們的出場順序，有

種不同的方法？排列問題，是取出m個元素后，還要按一定的順序排成一列，取出同樣的m個元素，只要排列順序不同，就視為完成這件事的兩種不同的方法（兩個不同的排列）．小結(jié)由排列的定義可知，排列與元素的順序有關，也就是說與位置有關的問題才能歸結(jié)為排列問題．當元素較少時，可以根據(jù)排列的意義寫出所有的排列．例3某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，求總共要進行多少場比賽.解：任意兩隊間進行1次主場比賽與1次客場比賽，對應于從14個元素中任取2個元素的一個排列．因此，比賽的總場次是=14×13=182.例4（1）從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）從5種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？(種)(種)百位十位個位解法一：直接法0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（優(yōu)先）處理。有限制條件的排列問題1特殊元素、特殊位置問題例5用0到9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？對排列方法分步思考。解法三：間接法.∴所求的三位數(shù)的個數(shù)是:求以0為排頭的排列數(shù)為:從總數(shù)中去掉不合條件的排列的種數(shù)求總數(shù)：從0到9這十個數(shù)字中任取三個數(shù)字的排列數(shù)為:解法二：直接法．

第一類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有第二類：個位數(shù)字是0的三位數(shù)有第三類：十位數(shù)字是0的三位數(shù)有符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是:小結(jié)一：對于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）。練習用0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復數(shù)字的1)五位數(shù)；2)六位偶數(shù)；3)大于213045的自然數(shù).

1)解1位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5種排法,其余4個位置有A45種排法，由乘法原理知共有5·A45=5·5·4·3·2=600

1)解2.（間接法）6個數(shù)中取5個數(shù)的排列中有不滿足要求的數(shù)如02134等，O

這樣的數(shù)共有:A56-A45=600第二類個位不是0,個位有兩種排法，首位有4種排法，中間四位有A44種排法，第二類共有2·4·A44=192,2)可分為兩類，第一類是個位為0的有A55個;由加法原理共有A55+192=312練習用0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復數(shù)字的大于213045的自然數(shù).A13·A55A13·A44A12·A33A12·A22第五類：形如21054有一個因此滿足要求的數(shù)共有449個第一類：形如3,4,5,這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有：第二類：形如23，24，25這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有：第三類：形如214,215這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有：第四類：形如2134,2135的數(shù)有A66=720.共有A61A66=4320.,共有A61A66=4320.所以共有

A77-A66=7A66-A66=4320.例6⑴7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？A77＝5040.⑵7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列解：問題可以看作：7個元素的全排列⑶7位同學站成一排，其中甲不站在首位，共有多少種不同的排法？解一：甲站其余六個位置之一有A61種，其余6人全排列有A66

種，解二：從其他6人中先選出一人站首位，有A61剩下6人(含甲)全排列,有A66解三：7人全排列有A77,甲在首位的有A66解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步甲,乙站在兩端有則共有A22A55=240種排列方法①②③④⑤⑥⑦①②③④⑤⑥⑦甲乙乙甲abcde

ebdcaA55A55A22A22例6(4)7位同學站成一排．甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？A22種.第二步余下的5名同學進行全排列有A55種所以一共有A52A55

＝2400種排列方法．例6(5)7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有A52種方法第二步從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有A55種方法例6(6)若甲不在排頭,乙不在排尾,有多少種不同的排法?解法一（直接法）：以甲作為分類標準,分為兩類：第一類：先安排甲在中間,再安排乙,有第二類：先安排甲在排尾,再安排其他人,有共有：3720種方法例6(6)若甲不在排頭,乙不在排尾,有多少種不同的排法?解法二（間接法）：所有排法中除去不符合的.所有排法：甲在排頭：乙在排尾：甲在排頭、乙在排尾：共有：3720種方法(7)7位同學站成兩排(前3后4),共有多少種不同的排法？解:根據(jù)分步計數(shù)原理:7×6×5×4×3×2×1＝7！=5040.有限制條件的排列問題2相鄰問題(9)甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？例6(8)甲、乙兩同學相鄰的排法共有多少種？解:甲、乙合在一起有A22種排法,與另五個同學全排列有A66種排法，共有N=A22·A66=720捆綁法3不相鄰問題(9)解法一：間接法(11)甲、乙、丙按指定順序排列。(10)甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？解法二：先將其余五個同學排好有:再將甲、乙同學分別插入這六個“空位”有:所以一共有種方法．種方法，此時他們留下六個“空位”，種方法,插空法A44·A53=1440其余四人在7個位置中選4個，有:A74方法，甲、乙和丙三個同學在其余3個位置中，只有一種方法共有N=A74·1=840種站法.練習1若有四個男孩和三個女孩站成一排照相：⑴若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？所以在全排列中，A在B左邊與A在B右邊的排法數(shù)相等解:A在B左邊的一種排法必對應著A在B右邊的一種排法種排法。因此有：插空法⑵若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？不同的排法有：（種）捆綁法⑶若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個男孩排成一排有A44種排法，五個空檔(包括兩端)再把三個女孩插入空檔中有A53種方法共有：種排法。插空法⑷若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？練習2某人射擊8槍，命中4槍，4槍命種恰好3槍連在一起的不同種數(shù)有多少？解：連續(xù)命中的3槍和命中的另一槍被未命中的4槍所隔開，如圖表示沒有命中，_____命中的三槍看作一個元素和另外命中的一槍共兩個元素插到五個空檔中有A52=5·4=20種排法練習3一排8個座位，3人去坐，每人兩邊至少有一個空座的坐法有多少種

？練習4一排長椅上共有10個座位，現(xiàn)有4人就座，恰有五個連續(xù)空位的坐法種數(shù)為

。（用數(shù)字作答）480A63練習5同室4名學生各寫一張賀卡，放在一起，然后各人從中各拿一張，但均不能拿自己寫的那張，共有多少種拿法？第一個同學從中拿一張賀卡，滿足要求的拿法有3種解：第一步考慮被第一個同學拿走賀卡的那個同學也有3種拿法，第二步第三步、第四步各有一種拿法，由乘法原理共有3·3·1·1=9⑴如果女生全排在一起，有多少種不同排法？⑵如果女生全分開，有多少種不同排法？⑶如果兩端都不能排女生，有多少種不同排法？⑷如果兩端不能都排女生，有多少種不同排法？A66

A33=4320A55A63=14400A52A66=14400A52A66+2A31A51A66=36000或A88-A32

A66=36000練習6三名女生和五名男生排成一排，⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置；⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）；⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）；⑵某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；⑶某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”。⑴有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法“優(yōu)限法”；2．基本的解題方法：1．對有約束條件的排列問題，應注意如下類型：小結(jié)：數(shù)學、體育均不排在第一節(jié)和第六節(jié)，有種,例7某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學、物理、化學、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，共有多少種不同的排課方法？第一類數(shù)學排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有種,第三類第四類其他有種，共有種；其他有種，一第二類共有種；數(shù)學排在第一節(jié)、體育不在第六節(jié)有種，其他有種，共有種；數(shù)學不排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有種，其他有種，共有種；所以符合條件的排法共有種對特殊元素:數(shù)學和體育進行分類解決.第一節(jié)和第六節(jié)均不排數(shù)學、體育，有種例7某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學、物理、化學、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，共有多少種不同的排課方法？第一類第一節(jié)排數(shù)學、第六節(jié)排體育有種，第三類第四類其他有種，共有種；其他有種，一第二類共有種；第一節(jié)排數(shù)學、第六節(jié)不排體育有種，其他有種，共有種；第一節(jié)不排數(shù)學、第六節(jié)排體育有種，其他有種，共有種；所以符合條件的排法共有種解法二：對特殊位置:第一節(jié)和第六節(jié)進行分類解決.例7某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學、物理、化學、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，共有多少種不同的排課方法？本題也可采用間接排除法解決解法3：不考慮任何限制條件共有種排法，不符合題目要求的排法有：（1）數(shù)學排在第六節(jié)有種；（2）體育排在第一節(jié)有種；考慮到這兩種情況均包含了數(shù)學排在第六節(jié)和體育排在第一節(jié)的情況種所以符合條件的排法共有種。例8某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為多少？

第一步:將一班的3位同學“捆綁”成一個大元素;

第二步:這個大元素與其它班5位同學共6個元素的全排列

第三步:這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列排好后產(chǎn)生的7個空擋中排列二班的2位同學;

第四步:“釋放”一班的3位同學“捆綁”成的大元素，解：符合要求的基本事件（排法）共有：所以共有個；而基本事件總數(shù)為個;所以符合條件的概率為例9在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有

個.解：本題在解答時只須考慮個位和千位這兩個特