1.2.1排列與組合(排列)(新人教A版選修2-3)解析

(一)1.2排列與組合N=m1+m2+…+mn

做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有

.種不同的方法分類加法計(jì)數(shù)原理N=m1×m2×…×mn

做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有

_____________________種不同的方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理創(chuàng)設(shè)情境,引出排列問題探究

在1.1節(jié)的例9中我們看到,用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決這個(gè)問題時(shí),因做了一些重復(fù)性工作而顯得繁瑣,能否對(duì)這一類計(jì)數(shù)問題給出一種簡(jiǎn)捷的方法呢?探究：?jiǎn)栴}1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？問題2：從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？上面兩個(gè)問題有什么共同特征？可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫？探究：?jiǎn)栴}1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？分析：把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午的活動(dòng)在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法？

上午下午相應(yīng)的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)即從3名中任選1名，有3種選法.第二步：確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，有2種方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：3×2=6即共6種方法。把上面問題中被取的對(duì)象叫做元素,于是問題１就可以敘述為：

從3個(gè)不同的元素a,b,c中任取2個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb問題2：從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？

從4個(gè)不同的元素a,b,c,d中任取3個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。同樣，問題２可以歸結(jié)為：從４個(gè)不同的元素a，b，c，d中任取３個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.上面兩個(gè)問題有什么共同特征？可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫？(1)有順序的(2)不論是排列之前，還是之后，所有的元素都不相等?基本概念1、排列：一般地，從n個(gè)不同中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。說明：1、元素不能重復(fù)。n個(gè)中不能重復(fù)，m個(gè)中也不能重復(fù)。2、“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個(gè)問題是否是排列問題的關(guān)鍵。3、兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。4、m＜n時(shí)的排列叫選排列，m＝n時(shí)的排列叫全排列。5、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用“樹形圖”。例1、下列問題中哪些是排列問題？（1）10名學(xué)生中抽2名學(xué)生開會(huì)（2）10名學(xué)生中選2名做正、副組長(zhǎng)（3）從2,3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相乘（4）從2,3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相除（5）20位同學(xué)互通一次電話（6）20位同學(xué)互通一封信（7）以圓上的10個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)作弦（8）以圓上的10個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)為起點(diǎn)，作過另一個(gè)點(diǎn)的射線（9）有10個(gè)車站，共需要多少種車票？（10）有10個(gè)車站，共需要多少種不同的票價(jià)？排列中的注意點(diǎn)：1、元素不能重復(fù)。n個(gè)中不能重復(fù)，m個(gè)中也不能重復(fù)。2、“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個(gè)問題是否是排列問題的關(guān)鍵。3、兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。4、m＝n時(shí)的排列叫全排列。5、為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用“樹形圖”。2、排列數(shù)：

從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)。用符號(hào)表示?！芭帕小焙汀芭帕袛?shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？排列數(shù)，而不表示具體的排列。所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)；“排列數(shù)”是指從個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素的所以符號(hào)只表示“一個(gè)排列”是指：從個(gè)不同元素中，任取按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；個(gè)元素問題１中是求從３個(gè)不同元素中取出２個(gè)元素的排列數(shù)，記為,已經(jīng)算得問題2中是求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)，記為，已經(jīng)算出探究：從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)是多少？呢？呢？

……第1位第2位第3位第m位n種(n-1)種(n-2)種(n-m+1)種(1)排列數(shù)公式（1）：當(dāng)m＝n時(shí)，正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用表示。n個(gè)不同元素的全排列公式：(2)排列數(shù)公式（2）：說明：1、排列數(shù)公式的第一個(gè)常用來計(jì)算，第二個(gè)常用來證明。為了使當(dāng)m＝n時(shí)上面的公式也成立，規(guī)定：2、對(duì)于這個(gè)條件要留意，往往是解方程時(shí)的隱含條件。排列數(shù)公式觀察排列數(shù)公式有何特征：（1）第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)因數(shù)少1．（2）最后一個(gè)因數(shù)是n－m＋1．（3）共有m個(gè)因數(shù)．

n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，這時(shí)公式中的n=m，即有:就是說，n個(gè)不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積，正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示，所以n個(gè)不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成另外，我們規(guī)定0!＝1例1計(jì)算：我們發(fā)現(xiàn)：這個(gè)結(jié)果有一般性嗎？．例2(1)若,則n=

，m=

．解：（1）n=17，m=14．(2)若則用排列數(shù)符號(hào)表示為

．1．計(jì)算：（1）（2）課堂練習(xí)2．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，有

種不同的種植方法？4．信號(hào)兵用3種不同顏色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信號(hào)有（）3．從參加乒乓球團(tuán)體比賽的5名運(yùn)動(dòng)員中選出3名進(jìn)行某場(chǎng)比賽，并排定他們的出場(chǎng)順序，有

種不同的方法？排列問題，是取出m個(gè)元素后，還要按一定的順序排成一列，取出同樣的m個(gè)元素，只要排列順序不同，就視為完成這件事的兩種不同的方法（兩個(gè)不同的排列）．小結(jié)由排列的定義可知，排列與元素的順序有關(guān)，也就是說與位置有關(guān)的問題才能歸結(jié)為排列問題．當(dāng)元素較少時(shí)，可以根據(jù)排列的意義寫出所有的排列．例3某年全國(guó)足球甲級(jí)（A組）聯(lián)賽共有14個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽一次，求總共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽.解：任意兩隊(duì)間進(jìn)行1次主場(chǎng)比賽與1次客場(chǎng)比賽，對(duì)應(yīng)于從14個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列．因此，比賽的總場(chǎng)次是=14×13=182.例4（1）從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(種)(種)百位十位個(gè)位解法一：直接法0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（優(yōu)先）處理。有限制條件的排列問題1特殊元素、特殊位置問題例5用0到9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？對(duì)排列方法分步思考。解法三：間接法.∴所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是:求以0為排頭的排列數(shù)為:從總數(shù)中去掉不合條件的排列的種數(shù)求總數(shù)：從0到9這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為:解法二：直接法．

第一類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有第二類：個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有第三類：十位數(shù)字是0的三位數(shù)有符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是:小結(jié)一：對(duì)于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）。練習(xí)用0,1,2,3,4,5可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的1)五位數(shù)；2)六位偶數(shù)；3)大于213045的自然數(shù).

1)解1位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5種排法,其余4個(gè)位置有A45種排法，由乘法原理知共有5·A45=5·5·4·3·2=600

1)解2.（間接法）6個(gè)數(shù)中取5個(gè)數(shù)的排列中有不滿足要求的數(shù)如02134等，O

這樣的數(shù)共有:A56-A45=600第二類個(gè)位不是0,個(gè)位有兩種排法，首位有4種排法，中間四位有A44種排法，第二類共有2·4·A44=192,2)可分為兩類，第一類是個(gè)位為0的有A55個(gè);由加法原理共有A55+192=312練習(xí)用0,1,2,3,4,5可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的大于213045的自然數(shù).A13·A55A13·A44A12·A33A12·A22第五類：形如21054有一個(gè)因此滿足要求的數(shù)共有449個(gè)第一類：形如3,4,5,這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有：第二類：形如23，24，25這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有：第三類：形如214,215這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有：第四類：形如2134,2135的數(shù)有A66=720.共有A61A66=4320.,共有A61A66=4320.所以共有

A77-A66=7A66-A66=4320.例6⑴7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？A77＝5040.⑵7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列⑶7位同學(xué)站成一排，其中甲不站在首位，共有多少種不同的排法？解一：甲站其余六個(gè)位置之一有A61種，其余6人全排列有A66

種，解二：從其他6人中先選出一人站首位，有A61剩下6人(含甲)全排列,有A66解三：7人全排列有A77,甲在首位的有A66解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步甲,乙站在兩端有則共有A22A55=240種排列方法①②③④⑤⑥⑦①②③④⑤⑥⑦甲乙乙甲abcde

ebdcaA55A55A22A22例6(4)7位同學(xué)站成一排．甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？A22種.第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有A55種所以一共有A52A55

＝2400種排列方法．例6(5)7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有A52種方法第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有A55種方法例6(6)若甲不在排頭,乙不在排尾,有多少種不同的排法?解法一（直接法）：以甲作為分類標(biāo)準(zhǔn),分為兩類：第一類：先安排甲在中間,再安排乙,有第二類：先安排甲在排尾,再安排其他人,有共有：3720種方法例6(6)若甲不在排頭,乙不在排尾,有多少種不同的排法?解法二（間接法）：所有排法中除去不符合的.所有排法：甲在排頭：乙在排尾：甲在排頭、乙在排尾：共有：3720種方法(7)7位同學(xué)站成兩排(前3后4),共有多少種不同的排法？解:根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理:7×6×5×4×3×2×1＝7！=5040.有限制條件的排列問題2相鄰問題(9)甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？例6(8)甲、乙兩同學(xué)相鄰的排法共有多少種？解:甲、乙合在一起有A22種排法,與另五個(gè)同學(xué)全排列有A66種排法，共有N=A22·A66=720捆綁法3不相鄰問題(9)解法一：間接法(11)甲、乙、丙按指定順序排列。(10)甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解法二：先將其余五個(gè)同學(xué)排好有:再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)“空位”有:所以一共有種方法．種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)“空位”，種方法,插空法A44·A53=1440其余四人在7個(gè)位置中選4個(gè)，有:A74方法，甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)在其余3個(gè)位置中，只有一種方法共有N=A74·1=840種站法.練習(xí)1若有四個(gè)男孩和三個(gè)女孩站成一排照相：⑴若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？所以在全排列中，A在B左邊與A在B右邊的排法數(shù)相等解:A在B左邊的一種排法必對(duì)應(yīng)著A在B右邊的一種排法種排法。因此有：插空法⑵若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？不同的排法有：（種）捆綁法⑶若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個(gè)男孩排成一排有A44種排法，五個(gè)空檔(包括兩端)再把三個(gè)女孩插入空檔中有A53種方法共有：種排法。插空法⑷若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？練習(xí)2某人射擊8槍，命中4槍，4槍命種恰好3槍連在一起的不同種數(shù)有多少？解：連續(xù)命中的3槍和命中的另一槍被未命中的4槍所隔開，如圖表示沒有命中，_____命中的三槍看作一個(gè)元素和另外命中的一槍共兩個(gè)元素插到五個(gè)空檔中有A52=5·4=20種排法練習(xí)3一排8個(gè)座位，3人去坐，每人兩邊至少有一個(gè)空座的坐法有多少種

？練習(xí)4一排長(zhǎng)椅上共有10個(gè)座位，現(xiàn)有4人就座，恰有五個(gè)連續(xù)空位的坐法種數(shù)為

。（用數(shù)字作答）480A63練習(xí)5同室4名學(xué)生各寫一張賀卡，放在一起，然后各人從中各拿一張，但均不能拿自己寫的那張，共有多少種拿法？第一個(gè)同學(xué)從中拿一張賀卡，滿足要求的拿法有3種解：第一步考慮被第一個(gè)同學(xué)拿走賀卡的那個(gè)同學(xué)也有3種拿法，第二步第三步、第四步各有一種拿法，由乘法原理共有3·3·1·1=9⑴如果女生全排在一起，有多少種不同排法？⑵如果女生全分開，有多少種不同排法？⑶如果兩端都不能排女生，有多少種不同排法？⑷如果兩端不能都排女生，有多少種不同排法？A66

A33=4320A55A63=14400A52A66=14400A52A66+2A31A51A66=36000或A88-A32

A66=36000練習(xí)6三名女生和五名男生排成一排，⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置；⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）；⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）；⑵某些元素要求必須相鄰時(shí)，可以先將這些元素看作一個(gè)元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；⑶某些元素不相鄰排列時(shí)，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”。⑴有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法“優(yōu)限法”；2．基本的解題方法：1．對(duì)有約束條件的排列問題，應(yīng)注意如下類型：小結(jié)：數(shù)學(xué)、體育均不排在第一節(jié)和第六節(jié)，有種,例7某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排課方法？第一類數(shù)學(xué)排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有種,第三類第四類其他有種，共有種；其他有種，一第二類共有種；數(shù)學(xué)排在第一節(jié)、體育不在第六節(jié)有種，其他有種，共有種；數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有種，其他有種，共有種；所以符合條件的排法共有種對(duì)特殊元素:數(shù)學(xué)和體育進(jìn)行分類解決.第一節(jié)和第六節(jié)均不排數(shù)學(xué)、體育，有種例7某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排課方法？第一類第一節(jié)排數(shù)學(xué)、第六節(jié)排體育有種，第三類第四類其他有種，共有種；其他有種，一第二類共有種；第一節(jié)排數(shù)學(xué)、第六節(jié)不排體育有種，其他有種，共有種；第一節(jié)不排數(shù)學(xué)、第六節(jié)排體育有種，其他有種，共有種；所以符合條件的排法共有種解法二：對(duì)特殊位置:第一節(jié)和第六節(jié)進(jìn)行分類解決.例7某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排課方法？本題也可采用間接排除法解決解法3：不考慮任何限制條件共有種排法，不符合題目要求的排法有：（1）數(shù)學(xué)排在第六節(jié)有種；（2）體育排在第一節(jié)有種；考慮到這兩種情況均包含了數(shù)學(xué)排在第六節(jié)和體育排在第一節(jié)的情況種所以符合條件的排法共有種。例8某校高三年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為多少？

第一步:將一班的3位同學(xué)“捆綁”成一個(gè)大元素;

第二步:這個(gè)大元素與其它班5位同學(xué)共6個(gè)元素的全排列

第三步:這個(gè)大元素與其它班的5位同學(xué)共6個(gè)元素的全排列排好后產(chǎn)生的7個(gè)空擋中排列二班的2位同學(xué);

第四步:“釋放”一班的3位同學(xué)“捆綁”成的大元素，解：符合要求的基本事件（排法）共有：所以共有個(gè)；而基本事件總數(shù)為個(gè);所以符合條件的概率為例9在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有

個(gè).解：本題在解答時(shí)只須考慮個(gè)位和千位這兩個(gè)特