考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷18（共259題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷18（共9套）（共259題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、下列函數(shù)：在(0，1)內(nèi)有界的有()個(gè)．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：所以，只有函數(shù)在(0，1)內(nèi)有界．故選B．判斷函數(shù)的有界性除了用定義及已知函數(shù)的有界性外，下列結(jié)論也是很有用的：設(shè)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，若存在，則f(x)在(a，b)內(nèi)有界．2、設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0處可導(dǎo)，則函數(shù)｜f(x)｜在點(diǎn)x=x0處不可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、f(x0)=0，f’(x0)=0B、f(x0)=0，f’(x0)≠0C、f(x0)>0，f’(x0)>0D、f(x0)<0，f’(x0)＜0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若f(x0)≠0，則排除C、D．f(x0)=0時(shí)，若｜f(x)｜在x0處不可導(dǎo)，則｜f’(x0)｜≠一｜f’(x0)｜，即f’(x0)≠0．故選B．3、設(shè)∑為柱面x2+y2=5介于一1≤z≤1的部分，則曲面積分的值為()．A、一20πB、20πC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：故選C．4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)故選C．5、設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程y’’+by’+y=0的每一個(gè)解y(x)都在區(qū)間(0，+∞)上有界，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()．A、[0，+∞)B、(一∞，0)C、(一∞，4]D、(一∞，+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樘卣鞣匠虨棣?+bλ+1=0，其判別式為△=b2—4．所以，當(dāng)b2一4＞0時(shí)，要使解y(x)在(0，+∞)上有界，只需要即b＞2；當(dāng)b2一4＜0時(shí)，要使解y(x)在(0，+∞)上有界，只需要的實(shí)部大于等于0，即0≤b<2；當(dāng)b=2時(shí)，解y(x)=(c1+c2x)e－x在區(qū)間(0，+∞)上有界；當(dāng)b=一2時(shí)，解y(x)=(c1+c2x)ex在區(qū)間(0，+∞)上無界．綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)b≥0時(shí)，微分方程y’’+by’+y=0的每一個(gè)解y(x)都在區(qū)間(0，+∞)上有界，故選A．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)6、已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線y=x3上運(yùn)動(dòng)，記坐標(biāo)原點(diǎn)與P間的距離為l．若點(diǎn)P橫坐標(biāo)時(shí)間的變化率為常數(shù)v0，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1，1)時(shí)，l對(duì)時(shí)間的變化率是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(x,x3)，則7、已知向量a、b、c都是單位向量，且滿足a+b+c=0，則a·b+b·c+c·a=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查向量的點(diǎn)積運(yùn)算及向量模的概念．因?yàn)閍+b+c=0，所以(a+b+c)．(a+b+c)=0，即a．a(chǎn)+b．b+c．c+2(a．b+b．c+c．a(chǎn))=0，亦即｜a｜2+｜b｜2+｜c(diǎn)｜2+2(a．b+b．c+c．a(chǎn))=0，再即3+2(a．b+b．c+c．a(chǎn))=0，所以，a．b+b．c+c．a(chǎn)=8、設(shè)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填xy+z．知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查一階全微分形式不變性以及復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法．可用復(fù)合函數(shù)連鎖法則直接求出三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)9、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗灾R(shí)點(diǎn)解析：該極限為“1∞”型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限，再用洛必塔法則等方法．利用函數(shù)極限及洛必塔法則求數(shù)列極限的理論依據(jù)是：(1)若(2)若10、設(shè)g(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且已知在x=0處連續(xù)，求a,b．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得g(0)=1，g’(0)=a．又f(x)在x=0處連續(xù)，所以可得a=1．又知識(shí)點(diǎn)解析：用函數(shù)在x=0處連續(xù)的充分必要條件求解．已知分段函數(shù)在分段點(diǎn)x0處連續(xù)，求f(x)中待定常數(shù)的問題，通常利用連續(xù)的充要條件，即f(x)在x0處連續(xù)的充要條件是f(x)在x0處左、右連續(xù)．即11、設(shè)可導(dǎo)，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)可導(dǎo)知，f(x)在x=1處連續(xù)，于是有即又由f’+(1)=f’－(1)，得2=a．②解聯(lián)立方程①②，可得a=2，b=一1．知識(shí)點(diǎn)解析：先計(jì)算含參變量的極限，求出f(x)的表達(dá)式，再由連續(xù)和可導(dǎo)的充要條件求a，b的值．(1)若已知在分段點(diǎn)x0處函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則由方程組可確定函數(shù)f(x)中的兩個(gè)待定常數(shù)．(2)在求下列極限時(shí)，要討論參數(shù)的取值范圍：12、驗(yàn)證函數(shù)在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理，并求滿足定理中的點(diǎn)ξ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(x)在[0，2]上連續(xù)．又因而f(x)在(0,2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理．由f(x)一f(x)=2f’(ξ)得知識(shí)點(diǎn)解析：用定義判斷f(x)在分段點(diǎn)x=1處的連續(xù)性和可導(dǎo)性，然后利用拉格朗日中值定理求出相應(yīng)的ξ．13、設(shè)f’(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，f’(a)f’(b)>0，試證：至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)f’(a)>0，則由f’(a)f’(b)>0可知，f’(b)>0．由導(dǎo)數(shù)的定義：f(x2)＜f(b)＜f(a)，于是有f(x2)＜f(a)＜f(x1)．由介值定理，存在點(diǎn)η∈(x1，x2)，使得f(η)=f(a)．由洛爾定理可知存在點(diǎn)ξ1∈(x1，η)，使得f(ξ1)=0，存在點(diǎn)ξ2∈(η，x2)，使得f(ξ2)=0．所以，f’(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，在(ξ1，ξ2)內(nèi)可導(dǎo)，由洛爾定理，存在點(diǎn)ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f’’(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：證f’’(ξ)=0的關(guān)鍵是找出使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0的區(qū)間[ξ1，ξ2]．由f’(a)f’(b)>0及導(dǎo)數(shù)的定義、介值定理和洛爾定理便可找到這樣的ξ1和ξ2．14、求標(biāo)準(zhǔn)答案：令arcsinx=t，則x=sint，dx=costdt．原式知識(shí)點(diǎn)解析：含反三角函數(shù)的積分，通常令反三角函數(shù)為t，然后分部積分：∫f(x)arctanφ(x)dx=∫arctanφ(x)dF(x)一F(x)arctanφ(x)一其中F(x)=∫f(x)dx．其他反三角函數(shù)可用類似的方法積分．15、設(shè)f(x)連續(xù)，且求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+1，則F(0)=1，F(xiàn)’(x)=f(x)．由題設(shè)可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[一1，1]上連續(xù)，f(0)=1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：所給含參變量的積分不易計(jì)算，先將積分拆分，然后由積分中值定理將f(x)提到積分號(hào)外再計(jì)算．17、設(shè)y=y(x)由方程確定，且y(0)=0，求y=y(x)的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得由y(0)=0，得2y’’(0)=1，所以，y(0)=0為極小值，又駐點(diǎn)唯一，故y=y(x)的最小值為y(0)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：隱函數(shù)雖然難以求出其解析表達(dá)式，但可以求出它的極值和最值．18、求證：若向量a、b、c不共面，則向量a×b，b×c，c×a也不共面．標(biāo)準(zhǔn)答案：反證法．假設(shè)向量a×b，b×c，c×a共面，則存在三個(gè)不全為零的常數(shù)k1、k2、k3，使得k1(a×b)+k2(b×c)+k3(c×a)=0．對(duì)上式分別用向量a、b、c作數(shù)積，得所以，[a，b，c]=0．這與向量a、b、c不共面矛盾，從而原結(jié)論正確．知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查向量混合積的概念、向量共面的概念及其充分必要條件．如圖1－7－1所示，設(shè)函數(shù)19、當(dāng)f連續(xù)時(shí)，求u’’yx(x，y)和u’’xy(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：交換二次積分的次序，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、當(dāng)f具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，進(jìn)一步再求u’’xx(x，y)和u’’yy(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)均可微，且滿足條件u(x，y)=f(2x+5y)+g(2x—5y)，u(x，0)一sin2x，u’y(x，0)=0．求f(x)、g(x)、u(x，y)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閡’y(x，y)=5f’(2x+5y)一5g’(2x一5y)，且知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域?yàn)镈={(x，y)｜｜x｜≤1，0≤y≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于變量x是偶函數(shù)，且積分區(qū)域D關(guān)于y坐標(biāo)軸對(duì)稱．因此，其中積分區(qū)域D1={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x2)∪{(x，y)｜0≤x≤1，x2≤y≤2}．由于知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于絕對(duì)值函數(shù)的二重積分，關(guān)鍵問題是根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，如圖1—8—5．[*1351]本題的關(guān)鍵在于用到了積分區(qū)域的對(duì)稱性．23、將下列累次積分按照先y、次z、后x的次序，換成新的累次積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：由累次積分可知，積分區(qū)域Ω在坐標(biāo)平面xOy上的投影為中心在原點(diǎn)的單位圓，而積分區(qū)域Ω是由錐面與平面z=1所圍成．要按照先y、次z、后x的次序確定新的累次積分，應(yīng)當(dāng)將積分區(qū)域Ω向坐標(biāo)平面xOz上投影，其投影區(qū)域是由z=x，z=一x，z=1圍成的三角形，如圖1—8—7所示．知識(shí)點(diǎn)解析：變換累次積分的次序一般應(yīng)按下列步驟進(jìn)行：(1)先由原累次積分確定積分區(qū)域Ω，即將原累次積分變?yōu)閰^(qū)域Ω上的三重積分．(2)由區(qū)域Ω上的三重積分，按照新要求的次序，決定新的累次積分的表達(dá)式．三重積分的累次積分的交換次序，與二重積分的累次積分的交換次序的方法完全一樣，都需要作出相應(yīng)的積分區(qū)域的圖形．24、設(shè)f(x)、g(x)均為連續(xù)二階可導(dǎo)的函數(shù)，若曲線積分其中L為平面上任意一條簡(jiǎn)單封閉曲線．(1)試求：f(x)、g(x)使得f(0)=g(0)=0．(2)計(jì)算沿任意一條曲線從點(diǎn)(0，0)到點(diǎn)(1，1)的曲線積分．標(biāo)準(zhǔn)答案：在曲線積分[y2f(x)+2yex+2yg(x)]dx+2[yg(x)+f(x)]dy中，令P(x,y)=y2f(x)+2yex+2yg(x)，Q(x,y)=2[yg(x)+f(x)]則(1)由于曲線積分與路徑無關(guān)，則即2yg’(x)+2f’(x)=2yf(x)+2ex+2g(x)，亦即yg’(x)+f’(x)=yf(x)+ex+g(x)．比較變量y的同次冪前的系數(shù)，得于是，就有g(shù)’’(x)一g(x)=ex．解此二階線性微分方程，得通解為g(x)=c1ex+c2e一x+，其中c1c2為任意常數(shù)．根據(jù)條件g(0)=0，g’(0)=f(0)=0，得(2)再由曲線積分與路徑無關(guān)，可取路徑為OAB，如圖1—9—3所示，則I=∫L[y2f(x)+2yex+2yg(x)]dx+2[yg(x)+f(x)]dy=∫01P(x,0)dx+∫01Q(1,y)dy=∫010dx+∫012[yg(1)+f(1)]dy=g(1)+2f(1)知識(shí)點(diǎn)解析：(1)利用曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件，將問題化為微分方程問題，這是一類很典型的綜合題型．(2)利用曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件在求解曲線積分時(shí)，一般均采用折線段的方法．25、設(shè)∑是平面標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樵谇妗粕现R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)有一半徑為R的球體，P0是此球表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上任意一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到P0的距離的平方成正比(比例常數(shù)為k>0)，求球體的重心位置．標(biāo)準(zhǔn)答案：記所考慮的球體為Ω，以Ω的球心為原點(diǎn)，射線OP0為正向x軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(R，0，0)，且球面方程為x2+y2+z2=R2．設(shè)Ω的重心位置為(x*，y*，z*)，由對(duì)稱性，得知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樽鴺?biāo)系建立的不同，所以球體的重心位置一般也不一樣．27、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：將函數(shù)ln(1—x)展開稱為x的冪級(jí)數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：本題的關(guān)鍵在于函數(shù)ln(1－x)的冪級(jí)數(shù)展開式，利用了級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求積分的方法．28、求解微分方程xy’一2y=2x4．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用線性微分方程的求解方法．利用分離變量的方法，得齊次線性微分方程的通解為y=cx2，其中c為任意常數(shù)．利用常數(shù)變易法，設(shè)非齊次線性微分方程的通解為y=c(x)x2，代入到原微分方程中，得c(x)=x2+c．于是，原微分方程的通解為y=(x2+c)x2，其中c為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求解微分方程(eysiny一2ysinx)dx+(excosy+2cosx)dy=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)P(x，y)=exsiny一2ysinx，Q(x，y)=excosy+2cosx，由于則所給方程是一個(gè)全微分方程．將所給微分方程重新分項(xiàng)、組合，得(exsinydx+excosydy)+(2cosxdy一2ysinxdx)=0，即d(exsiny)+d(2ycosx)=0．于是，所給微分方程的通解為exsiny+2ycosx=c，其中c為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查全微分方程的求解方法．設(shè)函數(shù)y=y(x)在(一∞，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．30、試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)所滿足的微分方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由反函數(shù)的求導(dǎo)法則，知在上式兩邊同時(shí)對(duì)變量x求導(dǎo)，得代入原微分方程，得y’’一y=sinx．①知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：微分方程①所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程y’’一y=0的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)．微分方程①的特解為y*=Acosx+Bsinx，代入到微分方程①中，得A=0，其中c1，c2為任意常數(shù)．由條件y(0)=0，得c1=1，c2=一1．因此，所求初值問題的解為知識(shí)點(diǎn)解析：利用反函數(shù)的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出的表達(dá)式．代入原微分方程，即得所求的微分方程．然后再求此方程滿足初始條件的微分方程．利用反函數(shù)的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則變換微分方程的形式，這一思路在微分方程的求解過程中經(jīng)常使用．(1)典型微分方程(諸如：齊次微分方程、線性微分方程、伯努利方程、高階可降階的微分方程及歐拉方程)，有固定的解法．(2)非典型微分方程，通常結(jié)合微分方程的特定形式，選擇適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，化為典型的微分方程，常常是求解的一個(gè)非常有效的途徑．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、級(jí)數(shù)A、絕對(duì)收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、斂散性與a有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由萊布尼茲法則知，原級(jí)數(shù)收斂．因此是條件收斂．選(B)．2、設(shè)有級(jí)數(shù)an，Sn＝ak，則Sn有界是級(jí)數(shù)an收斂的A、充分條件．B、必要條件．C、充分必要條件．D、既非充分條件也非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由級(jí)數(shù)收斂性概念知收斂，即部分和數(shù)列{Sn}收斂．由數(shù)列收斂性與有界性的關(guān)系知，{Sn}收斂｛Sn｝有界，因此選(B)．3、已知an＞0(n＝1，2，…)，且(一1)n—1an條件收斂，記bn＝2a2n—1一a2n，則級(jí)數(shù)A、絕對(duì)收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、收斂或發(fā)散取決于an的具體形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件4、下列命題中正確的是A、若冪級(jí)數(shù)收斂半徑R≠0，則B、若，則不存在收斂半徑．C、若的收斂域?yàn)閇一R，R]，則的收斂域?yàn)閇一R，R]．D、若的收斂區(qū)間(—R，R)即它的收斂域，則的收斂域可能是[—R，R]．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：收斂半徑，或R＝＋∞，或0＜R＜＋∞，或R＝0，三種情形必有一種成立．因而(B)不正確，但冪級(jí)數(shù)，不一定有(如缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)收斂半徑，這里a2n＝2n，a2n＋1＝0，于是，)，因而(A)也不正確．(C)也是不正確的．如，收斂域?yàn)閇—1，1]，但的收斂域?yàn)閇一1，1)．因此只有(D)正確．事實(shí)上，若取的收斂區(qū)間即收斂域?yàn)?一1，1)，而的收斂域?yàn)閇—1，1]．5、對(duì)于任意x的值，A、0．B、1．C、D、∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：考慮級(jí)數(shù)的斂散性．由可知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R＝＋∞，因此此級(jí)數(shù)對(duì)任意的x值均收斂．由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得知，故選(A)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)6、設(shè)級(jí)數(shù)的部分和，則＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以?jí)數(shù)收斂，那么由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)有7、級(jí)數(shù)的和S＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：考察部分和8、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一2，2)知識(shí)點(diǎn)解析：先求收斂半徑R：有相同的收斂半徑R，R＝2，收斂區(qū)間為(一2，2)．9、(n—1)x的和函數(shù)及定義域是______·標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及定義域是______·標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則p的取值范圍是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，＋∞)知識(shí)點(diǎn)解析：而，因此p的取值范圍是(1，＋∞)．12、設(shè)anxn滿足，又bnx2n滿足，則的收斂半徑R＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：考察的收斂半徑為的收斂半徑R＝．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)13、將下列函數(shù)在指定點(diǎn)展開成冪級(jí)數(shù)：(I)f(x)＝arcsinx，在x＝0處；(Ⅱ)f(c)＝lnx，在x＝1及x＝2處；(Ⅲ)f(x)＝，在x＝1處．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)f’(x)＝，又這里f(x)＝arcsinx在x＝1(一1)處右(左)連續(xù)．右端級(jí)數(shù)在x＝±1均收斂，故展開式在x＝±1也成立．(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、將函數(shù)f(x)＝sin(x＋a)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin(x＋a)＝sinxcosa＋cosxsina．由sinx與cosx的展開式得其中，m＝0，1，2，3，…知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、將函數(shù)f(x)＝在點(diǎn)x0＝1處展開成冪級(jí)數(shù)，并求f(n)(1)·標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)視為(x一1)，因此只需將展開成即可．因?yàn)槔霉?11．17)，并以代替其中的x，則有由于f(x)的冪級(jí)數(shù)an(x—1)n的系數(shù)，所以f(n)(1)＝(n!)an＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、已知的收斂半徑R＝R0＞0，求證：級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?—∞，＋∞)．標(biāo)準(zhǔn)答案：即證x，冪級(jí)數(shù)均收斂．任?。黿0｜＜R0≠0，考察與｜anx0n｜的關(guān)系并利用比較判別法．注意，給定的x，≤M(n＝0，1，2，…)，M＞0為某常數(shù)，于是由冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂｜anx0n｜收斂．由比較原理收斂收斂．因此，原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?—∞，＋∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)求收斂域：原冪級(jí)數(shù)記為，則由收斂域?yàn)?一∞，＋∞)．(II)求和函數(shù)．方法2逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)求導(dǎo)法我們也是為了利用e—x的展開式，作如下變形：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求的和S．標(biāo)準(zhǔn)答案：先分解由ln(1＋x)的展開式知，S1＝ln(1＋1)＝ln2．為求S2引進(jìn)冪級(jí)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)有級(jí)數(shù)，(I)若＝0，又(u2n—1＋u2n)＝(u1＋u2)＋(u3＋u4)＋…＋收斂，求證：收斂．(Ⅱ)設(shè)u2n—1＝。u2n＝(n＝1，2，…)，求證：(—1)n—1u2收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)考察的部分和該級(jí)數(shù)的部分和S2n＝(u2k—1＋u2k)收斂，[*582](S2n—u2n)＝S—0＝S．因此收斂且和為S．(Ⅱ)顯然，方法2這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，已知為證｛un｝單調(diào)下降，只需證因此原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)(an—an—1)收斂，又bn是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，求證：anbn絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：級(jí)數(shù)(an—an—1)收斂，即其部分和Sm＝(an一an—1)＝(a1—a0)＋(a2一a1)＋…＋(am一am—1)＝am一a0為收斂數(shù)列，從而{an}也是收斂數(shù)列．我們知道數(shù)列收斂則一定有界，設(shè)｜an｜≤M，n＝1，2，…，則｜anbn≤M｜bn｜＝Mb2．再由于是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這樣，利用比較判別法，即知收斂，即絕對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[一2，2]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f(0)＝0，F(xiàn)(x)＝f(x＋t)dt，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：不必先求出F(x)，只須考察．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)有級(jí)數(shù)＜U＞：un與＜V＞：vn，求證：(I)若＜U＞，＜y＞均絕對(duì)收斂，則絕對(duì)收斂；(Ⅱ)若＜U＞絕對(duì)收斂，＜V＞條件收斂，則條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由｜un＋vn｜≤｜un｜＋｜vn｜，又收斂，再由比較原理(un＋vn)絕對(duì)收斂．(Ⅱ)由假設(shè)條件知，用反證法．若｜vn｜＝｜un＋vn一un｜≤｜un＋vn｜＋｜un｜，且收斂，與已知條件矛盾．因此條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)an＞0，bn＞0，(n＝1，2，…)，且滿足試證：(Ⅰ)若級(jí)數(shù)收斂，則收斂；(Ⅱ)若級(jí)數(shù)發(fā)散，則發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于根據(jù)比較判別法即知：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、考察級(jí)數(shù)，其中，p為常數(shù)．(I)證明：；(Ⅱ)證明：級(jí)數(shù)當(dāng)P＞2時(shí)收斂，當(dāng)P≤2時(shí)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)將an2改寫成再將an2改寫成(Ⅱ)容易驗(yàn)證比值判別法對(duì)級(jí)數(shù)失效，因此需要用適當(dāng)放大縮小法與比較原理來討論它的斂散性．題(I)已給出了{(lán)an}上下界的估計(jì)，由注意當(dāng)p＞2即收斂，當(dāng)p≤2即發(fā)散．因此級(jí)數(shù)當(dāng)p＞2時(shí)收斂，當(dāng)P≤2時(shí)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)an＝x2(1—x)n，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求an．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)有兩條拋物線y＝nx2＋和y＝(n＋1)x2＋，記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為an．(I)求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn；(Ⅱ)求級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由y＝nx2＋與y＝(n＋1)x2＋，得.又因?yàn)閮蓷l拋物線所圍圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，所以(Ⅱ)利用(I)的結(jié)果知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x)是區(qū)間[一π，π]上的偶函數(shù)，且滿足．證明：f(x)在[一π，π]上的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中系數(shù)a2n＝0，n＝1，2，…．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)于右端前一個(gè)積分，令x＝一t，后一個(gè)積分，令x＝＋t，則根據(jù)假設(shè)，所以a2n＝0，所以a2n＝1，2，…．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)(I)求f(x)以2π為周期的傅氏級(jí)數(shù)，并指出其和函數(shù)S(x)；(Ⅱ)求標(biāo)準(zhǔn)答案：該傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)其中S(0)＝[f(0＋0)＋f(0—0)]，S(±π)＝[f(一π＋0)＋f(π—0)]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)f(x)＝sinax，一π≤x≤π，a＞0，將其展開為以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)為奇函數(shù)，所以其展開式應(yīng)為正弦級(jí)數(shù)．如果a不是自然數(shù)，則故f(x)＝sinax＝，—π＜x＜π，在x＝±π時(shí)，右端為0，即其傅里葉級(jí)數(shù)收斂于[sinaπ＋sin(一aπ)]＝0．當(dāng)a為自然數(shù)時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)系的正交性有f(x)＝sinax＝sinnx，n＝a，一π≤x≤π．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x)，g(x)(a＜x＜b)為大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f’(x)g(x)一f(x)g’(x)＜0，則當(dāng)a＜x＜b時(shí)，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由f’(x)g(x)－f(x)g’(x)＜0得，從2、設(shè)k＞0，且級(jí)數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、斂散性與k的取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+μ2)dμ，g(x)=∫0sinx2(1一cost)dt，則當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價(jià)無窮小D、同階但非等價(jià)的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：4、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如圖，則f(x)有()．A、兩個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，一個(gè)拐點(diǎn)B、兩個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，兩個(gè)拐點(diǎn)C、三個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，兩個(gè)拐點(diǎn)D、兩個(gè)極大點(diǎn)，三個(gè)極小點(diǎn)，兩個(gè)拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)當(dāng)x＜0時(shí)，f’(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4，當(dāng)x＜x1時(shí)，f’(x)＞0，當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f’(x)＜0，則x=x1為f(x)的極大點(diǎn)；當(dāng)x∈(x2，0)時(shí)，f’(x)＞0，則x=x2為f(x)的極小點(diǎn)；當(dāng)x∈(0，x3)時(shí)，f’(x)＜0，則x=0為f(x)的極大點(diǎn)；當(dāng)x∈(x3，x4)時(shí)，f’(x)＞0，則x=x3為f(x)的極小點(diǎn)；當(dāng)x＞x4時(shí)，f’(x)＜0，則x=x4為f(x)的極大點(diǎn)，即f(x)有三個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，又f’’(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)零點(diǎn)兩側(cè)的增減性可得，y=f(x)有兩個(gè)拐點(diǎn)，選(C)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)5、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0且f’(0)=b，若F(x)=在x=0處連續(xù)，則A=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：A=a＋b知識(shí)點(diǎn)解析：6、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋C知識(shí)點(diǎn)解析：7、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)兩曲線y=x2＋ax＋b與－2y=－l＋xy3在點(diǎn)(一1，1)處相切，則a=________，b=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=3，b=3知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閮汕€過點(diǎn)(一1，1)，所以b一a=0，又由y=x2+ax+b得=a－2，再由一2y=一1+xy3得，且兩曲線在點(diǎn)(一1，1)處相切，則a一2=1，解得a=b=3．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)x1=2，xn＋1=2+，求xn．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)=∫0xcos(x—t)2dt確定y為x的函數(shù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xcos(x－t)2dt∫x0cosμ2(－dμ)=∫0xcot2dt，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、求arcsinxdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)C1，C2是任意兩條過原點(diǎn)的曲線，曲線C介于C1，C2之間，如果過C上任意一點(diǎn)P引平行于x軸和y軸的直線，得兩塊陰影所示區(qū)域A，B有相等的面積，設(shè)C的方程是y=x2，C1的方程是y=x2，求曲線C2的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)μ=f(x，y，z)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)，z=z(x)分別由方程exy一y=0與ez一xz=0確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、計(jì)算(x2+y2)dxdy，其中D=｛(x，y)｜x2+y2≤4x，0≤y≤x｝．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、計(jì)算I=(x+3z2)dydz＋(x3z2＋yz)dzdx一3y2dxdy，其中∑為z=2－在z=0上方部分的下側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∑0：z=0(x2+y2≤4)取上側(cè)，則I=(x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx－3y2dxdy由高斯公式得所以原式=8π．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)及其極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x+y=μ，則，于是有=dx兩邊積分得μ一arctanμ=x+C，所以原方程的通解為y—arctan(x+y)=C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，2]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’’(ξ)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一先作一個(gè)函數(shù)P(x)=ax3+bx2+cx+d．使得P(0)=f(0)=1，P’(1)=f’(1)=0，P(2)=f(2)=，P(1)=f(1)，則P(x)=，令g(x)=f(x)一P(x)，則g(x)在[0，2]上三階可導(dǎo)，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g’’(d1)=g’’(d2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g’’’(ξ)=0，而g’’’(x)=f’’’(x)一2，所以f’’’(ξ)=2．方法二由泰勒公式，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且對(duì)任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]滿足：f[tx1+(1一t)x2]≤tf(x1)+(1一t)f(x2)．證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、已知二元函數(shù)f(x，y)滿足且f(x，y)=g(μ，ν)，若=μ2+ν2，求a，b．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x，y)dx+xcosydy=t2，f(x，y)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€積分與路徑無關(guān)，所以有cosy=fy’(x，y)，則f(x，y)=siny+C(x)，而=t2，兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)得C(t)=2t—sint2一2t2cost2，于是f(x，y)=siny+2x—sinx2一2x2cosx2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為[一1，1]，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)=xn，且a0=1，an＋1=an+n(n=0．1，2，…)．26、求f(x)滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)開始滑行著陸，在著陸時(shí)刻已失去垂直速度，水平速度為ν0(m／s)，飛機(jī)與地面的摩擦系數(shù)為μ，且飛機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受空氣的阻力與速度的平方成正比，在水平方向的比例系數(shù)為kx(kg·s2／m2)，在垂直方向的比例系數(shù)為ky(kg·s2／m2)，設(shè)飛機(jī)的質(zhì)量為m(kg)，求飛機(jī)從著陸到停止所需要的時(shí)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：水平方向的空氣阻力Rx=kxν2，垂直方向的空氣阻力Ry=kyν2，摩擦力為W=μ(mg-Ry)，由牛頓第二定律，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、極限A、等于．B、等于．C、等于e－6．D、不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：注意到=1，本題為1∞型．設(shè)f(x)=，則原極限=而故原極限=，應(yīng)選(A)．2、設(shè)f(x)在x=a處連續(xù)，φ(x)在x=a處間斷，又f(a)≠0，則A、φ[f(x)]在x=a處間斷．B、f[φ(x)]在x=a處間斷．C、[φ(x)]2在x=a處間斷．D、在x=a處間斷．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：連續(xù)與不連續(xù)的復(fù)合可能連續(xù)，也可能間斷，故(A)，(B)不對(duì)．不連續(xù)函數(shù)的相乘可能連續(xù)，故(C)也不對(duì)，因此，選(D)．3、“f(x)在點(diǎn)a連續(xù)”是｜f(x)｜在點(diǎn)a處連續(xù)的()條件．A、必要非充分B、充分非必要C、充要D、既非充分又非必要標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)在x=a連續(xù)｜f(x)｜在x=a連續(xù)(｜｜f(x)｜－｜f(a)｜｜≤｜f(x)－f(a)｜)．｜f(x)｜在x=a連續(xù)f(x)在x=a連續(xù)．如f(x)=｜f(x)｜=1，｜f(x)｜在x=a連續(xù)，但f(x)在x=a間斷．因此，選(B)．4、設(shè)數(shù)列xn，yn滿足xnyn=0，則下列正確的是A、若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散．B、若xn無界，則yn必有界．C、若xn有界，則yn必為無窮?。瓺、若為無窮小，則yn必為無窮小．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：直接考察．若為無窮小，則因此(D)成立．5、f(x)=xsinxA、在(－∞，+∞)內(nèi)有界．B、當(dāng)x→+∞時(shí)為無窮大．C、在(－∞，+∞)內(nèi)無界．D、當(dāng)x→∞時(shí)有極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取xn=2nπ+∈(一∞，+∞)(n=1，2，3，…)，則f(xn)=(2nπ+→+∞(n→∞)．因此f(x)在(一∞，+∞)無界．選(C)．6、設(shè)f(x)，g(x)在x=x0均不連續(xù)，則在x=x0處A、f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不連續(xù)．B、f(x)+g(x)不連續(xù)，f(x)g(x)的連續(xù)性不確定．C、f(x)+g(x)的連續(xù)性不確定，f(x)g(x)不連續(xù)．D、f(x)+g(x)，f(x)g(x)的連續(xù)性均不確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如：f(x)=在x=0均不連續(xù)，但f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0在x=0均連續(xù)．又如：f(x)=在x=0均不連續(xù)，而f(x)+g(x)=f(x).g(x)=在x=0均不連續(xù)．因此選(D)．7、當(dāng)n→∞時(shí)(1+)n－e是的A、高階無窮?。瓸、低階無窮小．C、等價(jià)無窮小．D、同階但非等價(jià)無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：該題就是要計(jì)算極限因此選(D)．8、設(shè)f(x)=，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A、x=1，x=0，x=－1為間斷點(diǎn)．B、x=0為可去間斷點(diǎn)．C、x=－1為無窮間斷點(diǎn)．D、x=0為跳躍間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：計(jì)算可得由于f(0+0)與f(0—0)存在但不相等，故x=0不是f(x)的可去間斷點(diǎn)．應(yīng)選(B)．9、把當(dāng)x→0+時(shí)的無窮小量α=tanx－x，β=－1排列起來，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因即當(dāng)x→0+時(shí)α是比β高階的無窮小量，α與β應(yīng)排列為β，α．故可排除(A)與(D)．又因即當(dāng)x→0+時(shí)γ是較α高階的無窮小量，α與γ應(yīng)排列為α，γ．可排除(B)，即應(yīng)選(C)．10、在①中，無窮大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題四個(gè)極限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需討論極限要選擇該極限為+∞的，僅當(dāng)n=3并取“+”號(hào)時(shí)，即二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)11、=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：原式==3+0=3．12、設(shè)=3，則f(x)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：12知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)及f(x)tanx=0．現(xiàn)利用等價(jià)無窮小因子替換f(x)tanx(x→0)，e2x一1～2x(x→0)，=12．13、設(shè)K，L，δ為正的常數(shù)，則[δK－x+(1－δ)L－x=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：KδL1－δ知識(shí)點(diǎn)解析：屬1∞型極限．原式=，而因此，原式=elnKδ+lnL1－δ=KδL1－δ．14、設(shè)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則常數(shù)a=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)在x=0連續(xù)f(x)=f(0)．由于因此a=－2．15、1+x2－ex2當(dāng)x→0時(shí)是x的___________階無窮小(填數(shù)字)．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由于因此當(dāng)x→0時(shí)1+x2一ex2是x的4階無窮?。?6、已=9，則a=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：a=ln3．17、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：本題屬“∞0”型未定式．?dāng)?shù)列極限不能直接用洛必達(dá)法則．如用，得先轉(zhuǎn)化成連續(xù)變量的極限，利用求得，但比較麻煩．事實(shí)上，恒等變形后可轉(zhuǎn)化為直接用冪指數(shù)運(yùn)算法則的情形，即18、若=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：令2x3=y，則故=3+2=5．19、arctan(x－lnx.sinx)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：x一lnx.sinx=x(1－.sinx)，由于x→+∞時(shí)，→0，sinx有界，故.sinx→0．x－lnx.sinx→+∞，于是arctan(x一lnx.sinx)=．20、xsinx=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：本題屬“00”型未定式．利用基本極限xx=1及重要極限=1即得21、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0時(shí)，＜1，于是有而=0，故由夾逼定理可知=0．22、設(shè)=4，則a=___________，b=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：，1知識(shí)點(diǎn)解析：利用洛必達(dá)法則可得23、函數(shù)f(x)=的連續(xù)區(qū)間是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(－∞，1)∪(1，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：初等函數(shù)(單一表達(dá)式)沒有定義的點(diǎn)(附近有定義)是間斷點(diǎn)；對(duì)分段函數(shù)的分界點(diǎn)，要用連續(xù)的定義予以討論．對(duì)非分界點(diǎn)，就不同段而言，在各自的區(qū)間內(nèi)可以按初等函數(shù)看待．注意到x=0為分界點(diǎn)．因?yàn)橛謋(0)=3，因此f(x)=f(0)，即f(x)在x=0處連續(xù)．此外，由于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處無定義，因此x=1為f(x)的間斷點(diǎn)．于是所給函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(－∞，1)∪(1，+∞)．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)24、求下列極限：(17)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)屬型．利用洛必達(dá)法則．原式=(2)記pn=(－npn)=－t，因此，原式=e－t．(3)屬∞一∞型．先通分，有故原式=e0=1．因此，原極限=(12)被積函數(shù)中含有參數(shù)x，把因子e－x2提到積分號(hào)外后，易見所求極限為“”型未定式．應(yīng)當(dāng)想到洛必達(dá)法則，而且含積分上限函數(shù)的未定式，除有的題可聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)定義、積分中值定理外，多數(shù)得利用洛必達(dá)法則．從而x≠0時(shí)，xn=x=0時(shí)，xn=1，則xn=1．(17)分別求左、右極限：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)xn+1=ln(1+xn)，x1＞0，(I)求xn；(Ⅱ)求標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)注意：x＞ln(1+x)(x＞0)，于是xn+1一xn=ln(1+xn)一xn＜0(n=1，2，3，…)極限(a≥0)a=ln(1+a)．又a＞0時(shí)a＞ln(1+a)，故a=0．(Ⅱ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)a＞0為常數(shù)，xn=，求xn．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0＜a＜1時(shí)0＜xn＜an，an=0；當(dāng)a=1時(shí)xn==0；當(dāng)a＞1時(shí)0＜xn＜=0．因此xn=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、(x－3sin3x+ax－2+b)=0，試確定常數(shù)a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知(*)利用(*)，一方面有另一方面，直接計(jì)算又有這表明3+a=0a=－3．將a=－3代入(*)式，即得故b=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、討論下列函數(shù)的連續(xù)性并判斷間斷點(diǎn)的類型：(I)y=(1+x)arctan；(II)y=－x)；(Ⅲ)y=(Ⅳ)=f(x)=，x∈(0，2π)；(Ⅴ)y=f[g(x)]，其中f(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)這是初等函數(shù)，它在定義域(x2≠1)上連續(xù)．因此，x≠±1時(shí)均連續(xù)．x=±1時(shí)，故x=1是第一類間斷點(diǎn)(跳躍的)．又y=0，故x=－1也是第一類間斷點(diǎn)(可去)．(Ⅱ)先求極限函數(shù)．注意=0(｜x｜＜1)，=0(｜x｜＞1)，x≠±1時(shí)，｜x｜＜1與｜x｜＞1分別與某初等函數(shù)相同，故連續(xù)．x=±1時(shí)均是第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．因左、右極限均，不相等．(Ⅲ)在區(qū)間(0，+∞)，[－1，0)上函數(shù)y分別與某初等函數(shù)相同，因而連續(xù)．在x=0處y無定義，而x=0是第一類間斷點(diǎn)(可去間斷點(diǎn))．(Ⅳ)f(x)=是初等函數(shù)，在(0，2π)內(nèi)f(x)有定義處均連續(xù)．僅在tan(x－無定義處及tan(x－)=0處f(x)不連續(xù)．(V)先求f[g(x)]表達(dá)式．當(dāng)x＞1，x＜1時(shí)，f[g(x)]分別與某初等函數(shù)相同，因而連續(xù)．當(dāng)x=1時(shí)，分別求左、右極限故x=1為第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)0＜x0＜1，xn+1=xn(2－xn)，求證：｜xn｜收斂并求xn．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x(2一x)，則xn+1=f(xn)．易知f′(x)=2(1一x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1x1=x0(2一x0)=1一(x0一1)2∈(0，1)．若xn∈(0，1)xn+1=xn(2一xn)∈(0，1)．又x1一x0=x0(1一x0)＞0xn=a．由遞歸方程得a=a(2一a)．顯然a＞0xn=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令取對(duì)數(shù)化乘積為和差故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)(x)=0，且f(x)～f*(x)，g(x)～g*(x)(x→a)．(I)當(dāng)x→a時(shí)f(x)與g(x)可比較，不等價(jià)(=∞)，求證：f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)；(II)當(dāng)0＜｜x－a｜＜δ時(shí)f(x)與f*(x)均為正值，求證：(其中一端極限存在，則另端極限也存在且相等)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)考察極限因此，f(x)一g(x)～f*(x)一g*(x)(x→a)．(Ⅱ)2+1=0+1=1，其中l(wèi)nf*(x)=一∞．再證知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)f(x)在(a，b)連續(xù)，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn為任意n個(gè)正數(shù)，求證：ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：依題設(shè)n個(gè)函數(shù)值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨設(shè)min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(xn)}=f(xn)，則記f(xi)，若η=f(x1)，則1∈(a，b)，f(ξ)=η；若η=f(xn)，則n∈(a，b)，f(ξ)=η．若f(x1)＜η＜f(xn)，由定理知，1與xn之間，即ξ∈(a，b)，f(ξ)=η．知識(shí)點(diǎn)解析：只需證明：αif(xi)是f(x)在(a，b)內(nèi)某兩個(gè)函數(shù)值的中間值．33、設(shè)f(x)在[a，b]連續(xù)，且x∈[a，b]，總y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．試證：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：反證法．若在[a，b]上f(x)處處不為零，則f(x)在[a，b]上或恒正或恒負(fù)．不失一般性，設(shè)f(x)＞0，x∈[a，b]，則＞0．由題設(shè)，對(duì)此x0，y∈[a，b]，使得f(y)=｜f(y)｜≤f(x0)＜f(x0)，與f(x0)是最小值矛盾．因此，ξ∈[a，b]，使f(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)f(x)在[0，+∞)連續(xù)，f(x)=A＞0，求證：f(t)dt=+∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：因由極限的不等式性質(zhì)可知，X，當(dāng)x＞X時(shí)f(x)＞，則x＞X時(shí)有因此f(t)dt=+∞．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、設(shè)f(x)在[0，+∞)連續(xù)，f(x)=A≠0，證明：f(nx)dx=A．標(biāo)準(zhǔn)答案：先作變量替換：這是型數(shù)列極限．將它轉(zhuǎn)化為型函數(shù)極限，便可用洛必達(dá)法則求之，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、函數(shù)f(x)=｜xsinx｜ecosx，一∞＜x＜+∞是()．A、有界函數(shù)B、單調(diào)函數(shù)C、周期函數(shù)D、偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然函數(shù)為偶函數(shù)，選(D)．2、在曲線x=t，y=一t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線()．A、只有1條B、只有2條C、至少3條D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：在t=t0處曲線的切向量為T=｛1，一2t0，3t02｝，切線與平面x+2y+z=4平行的充分必要條件是n．T=0，即1—4t0+3t02=0，解得t0=或t0=1，選(B)．3、下列說法正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：10f(a)f’(a)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=a處可導(dǎo)，所以f(x)在x=a處連續(xù)．=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．5、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋C知識(shí)點(diǎn)解析：6、∫01dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)z==_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、∫01dy∫0y2ycos(1一x)2dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin1知識(shí)點(diǎn)解析：∫01dy∫0y2ycos(1－x)2dx=∫01cos(1－x)2dx∫1ydy=∫01(1一x)cos(1一x)2dx=∫01cos(1一x)2d(1一x)2=．9、級(jí)數(shù)收斂，則p的范圍為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：p＞知識(shí)點(diǎn)解析：，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂．10、設(shè)函數(shù)φ(μ)可導(dǎo)且φ(0)=1，二元函數(shù)z=φ(x+y)exy滿足=0，則φ(μ)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x+y=μ，則=φ’(μ)exy＋yφ(μ)exy，=φ’(μ)exy+xφ(μ)exy，=2φ’(μ)exy+μφ(μ)exy，由=0得2φ’(μ)+μφ(μ)=0，或φ’(μ)+φ(μ)=0，解得φ(μ)=，再由φ(0)=1得C=1，故φ(μ)=．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)11、設(shè)f(x)=，求f(x)的間斷點(diǎn)，并進(jìn)行分類．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0，x=1，x=π為f(x)的間斷點(diǎn)．f(0—0)=，由f(0—0)≠f(0+0)得x=0為跳躍間斷點(diǎn)；由f(π一0)≠f(π+0)得x=π為跳躍間斷點(diǎn)；由f(1—0)=0，f(1+0)=一∞得x=1為第二類間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、(x≠0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)x一(a+bcosx)sinx為x→0時(shí)x的5階無窮小，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：x→0時(shí)，x一(a+bcosx)sinx=x一asinx—sin2x知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)可導(dǎo)且f’(0)≠0，且．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[0，]上連續(xù)，在(0，)內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ，η∈(0，)，使得．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(x)=cosx，g’(x)=一sinx≠0(0＜x＜)，由柯西中值定理，存在η∈(0，)，使得；由拉格朗日中值定理，存在ξ∈，故．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt．因?yàn)棣?0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=∫0xf(t)dt+(x一1)f(x)，故∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：由∫0xf(t)dt+(x—1)f(x)=0，得∫0xf(t)dt+xf(x)一f(x)=0，從而(x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt)’=0，輔助函數(shù)為φ(x)=x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt．17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)=∫1xe－t2dt，求∫01x2f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，20、證明：∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=πf(sinx)dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：令I(lǐng)=∫0πxf(sinx)dx，則I=∫0πxf(sinx)dx∫π0（π－t)f(sint)(一dt)=∫0π(π一t)f(sint)dt=∫0π(π－x)f(sinx)dx=π∫0π(π－t)f(sint)(－dt)=∫0π(π－t)f(sint)dt=π∫0πf(sinx)dx－I，則I=∫0πxf(sinx)dx=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、證明：∫02πf(｜sinx｜)dx=4f(sinx)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02πf(｜sinx｜)dx=∫－ππf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(sinx)dx=4∫0f(sinx)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求∫0πdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求擺線L：(a＞0)的第一拱繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：V=π∫02πaf2(x)dx=π∫02πay2dx=π∫02πa3(1－cos)3dt=8π∫03πa3()3dt=32πa3∫0πsin6=32πa3I6=32πa3×=5π2a3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)μ=f(x+y，x2+y2)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：=f1’+2xf2’，=f1’+2yf2’，=f11’’+2xf12’’+2f2’+2x(f21’’+2xf22’’)=f11’’+4xf12’’+4x2f22’’+2f2’，=f11’’+2yf12’’+2f2’+2y(f21’’+2yf22’’)=f11’’+4yf12’’+4y2f22’’+2f2’．則=2f11’’+4(x+y)f12’’+4(x2+y2)f22’’+4f2’．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算(x2+y2)dxdydz，其中Ω是由曲線繞z軸一周所成的曲面介于z=2與z=8之間的幾何體．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線繞z軸一周所成的曲面為z=(x2+y2)，則Ω=｛(x，y，z)｜(x，y)∈Dz，2≤z≤8｝，其中Dz：x2+y2≤2z，于是(x2+y2)dxdydz=∫28dz(x2+y2)dxdy=∫28dz∫02πdθr∫3dr=2π∫28z2dz=336π．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、在過點(diǎn)O(0，0)和A(π，0)的曲線族y=asinx(a＞0)中，求一條曲線L，使沿該曲線從點(diǎn)O到A的積分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．標(biāo)準(zhǔn)答案：I=I(a)=∫0π[(1+a3sin3x)+(2x+asinx)．a(chǎn)cosx]dx=π一4a＋．由I’(a)=4(a2一1)=0，得a=1，I’’(a)=8a，由I’’(1)=8＞0得a=1為I(a)的極小值點(diǎn)，因?yàn)閍=1是I(a)的唯一駐點(diǎn)，所以a=1為I(a)的最小值點(diǎn)，所求的曲線為y=sinx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求冪級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x一1=t，顯然級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，又當(dāng)t=±1時(shí)，絕對(duì)收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為[一1，1]，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇0，2]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x+y=μ，則，變量分離得dμ=dx，兩邊積分得μ一arctanμ=x+C，所以原方程的通解為y—arctan(x+y)=C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)，g(x)均為x的同階無窮小量，則下列命題正確的是()A、f(x)-g(x)一定是x的高階無窮小量．B、f(x)+g(x)一定是x的高階無窮小量．C、f(x)g(x)一定是x的高階無窮小量．D、一定是x的高階無窮小量．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件，設(shè)當(dāng)a≠b時(shí)，a-b≠0，即f(x)-g(x)不是x的高階無窮小量，排除A；當(dāng)a≠-b時(shí)，a+b≠0，即f(x)+g(x)不是x的高階無窮小量，排除B．取f(x)=sin2x，g(x)=tan2x，則當(dāng)x→0時(shí)f(x)，g(x)均為x的同階無窮小量，但即不是x的高階無窮小量，排除D．故應(yīng)選C．事實(shí)上2、設(shè)a為常數(shù)，f(x)=則()A、當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f’+(1)存在．B、當(dāng)1≤a＜2時(shí)，f’+(1)存在．C、當(dāng)a＞1時(shí)，f’+(1)存在．D、當(dāng)a≥2時(shí)，f’(x)在x=1處右連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞1時(shí)，f’(x)=a(x-1)a-1而由此可知，當(dāng)a-1≤0，即a≤1時(shí)，f’+(1)不存在；當(dāng)a-1＞0，即a＞1時(shí)，f’+(1)=0；當(dāng)a=2時(shí)，不存在；當(dāng)a＞2時(shí)，=0=f’+(1)．綜上所述，只有C正確．3、設(shè)f(x)=處處可導(dǎo)，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)處處可導(dǎo)，所以f(x)處處連續(xù)，當(dāng)然在點(diǎn)x=0處連續(xù)，于是由于f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，所以f’-(0)=f’+(0)，而4、函數(shù)y=x3cos3x在內(nèi)有()A、一個(gè)駐點(diǎn)，無極值點(diǎn)．B、兩個(gè)駐點(diǎn)，一個(gè)極值點(diǎn)．C、兩個(gè)駐點(diǎn)，兩個(gè)極值點(diǎn)．D、三個(gè)駐點(diǎn)，兩個(gè)極值點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：y’=3x2cos3x～3x3sin3x=3x2(cos3x-xsin3x)，令y’=0，則x=0，或cos3x-xsin3x=0．令φ(x)=cos3x-xsin3x，則φ(x)在上連續(xù)，而由零點(diǎn)定理，至少存在點(diǎn)ξ1∈，使φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，故y=x3cos3x在內(nèi)至少存在三個(gè)駐點(diǎn)：0，ξ1，ξ2．選D．5、下列積分中，不等于零的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查奇偶函數(shù)在對(duì)稱積分區(qū)間上的積分特點(diǎn)．由于A、B、C選項(xiàng)中的被積函數(shù)均為連續(xù)的奇函數(shù)，所以其積分的結(jié)果均為零，故應(yīng)選D．事實(shí)上，6、由曲線y=1-(x-1)2及直線y=0圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：一般地，求旋轉(zhuǎn)體的體積都有兩種方法．根據(jù)本題的選項(xiàng)，取y為積分變量，為此將曲線y=1-(x-1)2表示成(兩條)：如圖15所示，所求旋轉(zhuǎn)體的體積V看成是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差：于是V=V1-V2=故應(yīng)選D．7、設(shè)，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A、不連續(xù)．B、連續(xù)但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在．C、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微．D、可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件(記△z=f(x，y)=f(0，0)，dz=dx-2dy，ρ=知△z-dz=o(ρ)，即△z=dz+o(ρ)．由可微的定義知，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，且dz=dx-2dy，故應(yīng)選D．8、設(shè)u(x，y，z)-=zarctan，則grad(1，1，1)=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)三元函數(shù)在某點(diǎn)的梯度的計(jì)算問題，由梯度計(jì)算公式，有9、設(shè)空間區(qū)域Ω由旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2與圓錐面圍成，則Ω的體積等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：(用柱坐標(biāo)計(jì)算)空間區(qū)域Ω在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2+y2≤1，所求體積為10、設(shè)三元函數(shù)u=xy2+z2+xyz，則rotgradu=()A、xi+yi+zk．B、(y2+yz)i+(2xy+xz)j+(2z+xy)k．C、0．D、yi+zj+xk．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)梯度與旋度的綜合計(jì)算問題．11、冪級(jí)數(shù)(-1)n(x+1)n的和函數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令s(x)=(-1)nn(x+1)n=(x+1)(-1)nn(x+1)n-1，記s1(x)=(-1)nn(x+1)n-1，等式兩邊從-1到x積分得等式兩邊求導(dǎo)，得故冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為d(x)=(x+1)s1(x)=，x∈(-2，0)．12、微分方程y’’+3y’+2y=x2+xe-x的特解應(yīng)具有的形式為()A、y*=Ax2+Bx+C+x(ax+b)e-x．B、y*=Ax2+Bx+C+(ax+b)e-x．C、y*=Ax2+x(ax+b)e-x．D、y*=Ax2+(ax+b)e-x.標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：二階線性齊次微分方程y’’+3y’+2y=0的特征方程為r2+3r+2=0，特征根為r1=-1，r2=-2．故y’’+3y’+2y=x2的特解應(yīng)具有的形式為y*1=Ax2+Bx+C；y’’+3y’+2y=xe-x的特解應(yīng)具有的形式為y*2=x(ax+b)c-x，從而y’’+3y’+2y=x2+xe-x的特解應(yīng)具有的形式為y*=y*2+y*2=Ax2+Bx+C+x(ax+b)e-x．二、填空題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)13、=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：e3知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)f(x)=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，所以15、設(shè)y=ln[arctan(1-x)]，則dy=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、曲線y=4x-x2在點(diǎn)_______處的曲率最大．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2，4)知識(shí)點(diǎn)解析：y’=4-2x，y’’=-2，曲率函數(shù)當(dāng)x=2時(shí)，k為最大，此時(shí)y=4，故曲線在點(diǎn)(2，4)處的曲率最大．17、=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：18、=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)函數(shù)記號(hào)的靈活表示與定積分計(jì)算結(jié)合的問題．應(yīng)先寫出f(x)的表達(dá)式，然后再計(jì)算定積分．因?yàn)樗詅(x)=．從而19、曲線與直線x=0，x=及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積的計(jì)算．由旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積計(jì)算公式，有20、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)是由方程x2+y2=確定的隱函數(shù)，其中φ為可導(dǎo)函數(shù)，則=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)三元方程所確定的二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算問題．題設(shè)三元方程可寫成x2+y2-=0．記F(z，y，z)=x2+y2-，利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)公式，有21、=______(其中a，b均為大于零的常數(shù))．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于被積函數(shù)的原函數(shù)求不出來，無法直接計(jì)算定積分，但考慮到被積函數(shù)的特點(diǎn)，以及22、已知f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(1)=e，曲線積分與路徑無關(guān)，則當(dāng)積分曲線從A(0，1)到B(1，2)時(shí)，I的值為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)第二類曲線積分的計(jì)算與微分方程求解的綜合問題．解題思路是：利用曲線積分與路徑無關(guān)，建立微分方程，解微分方程求出未知函數(shù)f(y)，然后再計(jì)算從A(0，1)到B(1，2)時(shí)I的值．記P(x，y)=yf(y)，Q(x，y)=，因?yàn)榍€積分I與路徑無關(guān)，所以即-f(y)=f(y)+yf’(y)，也即這是一個(gè)一階線性微分方程的初值求解問題．其通解為由f(1)=e，得C=0，于是f(y)=．此時(shí)故當(dāng)積分曲線從A(0，1)到B(1，2)時(shí)，I的值為23、設(shè)冪級(jí)數(shù)an(x-x0)n，如果由該冪級(jí)數(shù)在x=2點(diǎn)發(fā)散，在x=-1點(diǎn)收斂，便可知其收斂半徑，則冪級(jí)數(shù)an(x-1)n的收斂域是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查利用阿貝爾定理確定冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域的方法．由阿貝爾定理知，如果冪級(jí)數(shù)a(x-x0)n在x=2處發(fā)散，則該冪級(jí)數(shù)在適合｜x-x0｜＞｜2-x0｜的一切x發(fā)散．如果冪級(jí)數(shù)an(x-x0)n在x=-1處收斂，則該冪級(jí)數(shù)在適合｜x-x0｜＜｜-1-x0｜=｜1+x0｜的一切x收斂．由已知條件，令｜2-x0｜=｜1+x0｜，得x0=，故該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=an(x-1)n的收斂區(qū)間為當(dāng)x=收斂；當(dāng)x=發(fā)散．故冪級(jí)數(shù)an(x-1)n的收斂域?yàn)?4、微分方程的通解為______.標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C(x-2y)2或x=知識(shí)點(diǎn)解析：(利用齊次方程)原微分方程可寫成令，代入上面方程得分離變量，得等式兩邊積分，得所以．變量還原并化簡(jiǎn)，得y=C(x-2y)2．25、二階線性常系數(shù)非齊次微分方程y’’+y=2x+cosx具有的特解形式為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y*=Ax+B+x(Ccosx+Dsinx)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?不是特征方程r2+1=0的根，所以設(shè)y’’+y=2x的一個(gè)特解為y1*=Ax+B．又因?yàn)椤纈是特征方程r2+1=0的根，所以設(shè)y’’+y=cosx的一個(gè)特解為y2*=x(Ccosx+Dsinx)，故y’’+y=2x+cosx具有的特解形式為y*=y1*+y2*=Ax+B+x(Ccosx+Dsinx)．26、差分方程2yt+1-6yt=3t的通解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：yt=C.3t+t.3t知識(shí)點(diǎn)解析：差分方程可化為yt+1-3yt=.3t．這是一個(gè)一階線性差分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次差分方程為yt+1-3yt=0，通解為Yt=C.3t，其中C為任意常數(shù)．設(shè)yt*=At.3t是yt+1-3yt=.3t具有的特解形式，則yt+1*=A(t+1)3t+1，將yt*，yt+1*代入到y(tǒng)t+1-3yt=.3t，并化簡(jiǎn)得A=，所以yt*=t.3t．故原差分方程的通解為yt=Yt+yt*=C.3t+t.3t．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)的極限存在，而g(x)的極限不存在，則下列命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(反例排除法)取f(x)=x，g(x)=不存在，但，排除A．2、設(shè)f(x)=x∈(0，1)，則f[g(x)]在(0，1)內(nèi)()A、有一個(gè)間斷點(diǎn)．B、有兩個(gè)間斷點(diǎn)．C、有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)．D、沒有間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，若x為有理數(shù)，g(x)=x∈(0，1)，f[g(x)]=f(x)=x；若x為無理數(shù)，g(x)=2-x∈(1，2)，f[g(x)]=f(2-x)=2-(2-x)=x．所以f[g(x)]=x，x∈(0，1)．故f[g(x)]在(0，1)內(nèi)連續(xù)，即沒有間斷點(diǎn)．3、設(shè)f(x)，g(x)都是可導(dǎo)函數(shù)，下列命題正確的是()A、如果f(x)＜g(x)，則f’(x)＞g’(x)．B、如果f(x)＞g(x)，則f’(x)＞g’(x)．C、如果f’(x)-g’(x)=0，則f(x)-g(x)=0．D、如果f(x0)=g(x0)，f(x)，g(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且=0，則f’(x0)=g’(x0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：(反例排除法)取f(x)=x，g(x)=x+1，則f(x)＜g(x)，但f’(x)=1=g’(x)，排除A；取f(x)=x+1，g(x)=x，則f(x)＞g(x)，但f’(x)=1=g’(x)，排除B、C；故應(yīng)選D．4、設(shè)f(x)=x(x-1)2(x-2)，則f’(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于f(x)=x(x-1)2(x-2)在[0，1]，[1，2]上連續(xù)，在(0，1)，(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=f(2)=0，由羅爾定理可知，存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)使f’(ξ1)=f’(ξ2)=0．又因?yàn)閒’(x)=(x-1)2(x-2)+2x(x-1)(x-2)+x(x-1)2=2(x-1)(2x2-4x+1)，易知f’(1)=0，所以f’(x)=0至少有三個(gè)根x=1，ξ1，ξ2，由于f’(x)為三次多項(xiàng)式，因此f’(x)=0至多有三個(gè)實(shí)根，故ξ1，ξ2，1是f’(x)=0的全部根，所以f’(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．5、設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)y’’=f’’(x)的圖形如圖9所示，則曲線y=f(x)的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：只需考察f’’(x)=0的點(diǎn)與f’’(x)不存在的點(diǎn)．由于f’’(x1)=f’’(x4)=0，在點(diǎn)x1，x4的兩側(cè)，f’’(x)變號(hào)，即從x1，x4的左側(cè)到右側(cè)，曲線y=f(x)由凹變凸，所以(x1，f(x1))，(x4，f(x4))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．當(dāng)x=0時(shí)f’’(0)不存在，但f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，且在x=0的兩側(cè)，f’’(x)變號(hào)，即從0的左側(cè)到右側(cè)，曲線由凸變凹，所以(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．雖然f’’(x2)=0，但在點(diǎn)x2的兩側(cè)，f’’(x)＞0，即曲線y=f(x)是凹的，所以(x2，f(x2))不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，故應(yīng)選C．6、設(shè)f(x)=，則()A、f(x)有駐點(diǎn)，但無極值點(diǎn)．B、f(x)有駐點(diǎn)，但曲線無拐點(diǎn)．C、f(x)有駐點(diǎn)，且有極值點(diǎn)，但曲線無拐點(diǎn)．D、f(x)有駐點(diǎn)，有極值點(diǎn)，且曲線有拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：研究函數(shù)的駐點(diǎn)與曲線的拐點(diǎn)，須先求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)．f’’(x)=e-x2+e-x2+xe-x2(-2x)=2(1-x2)e-x2．當(dāng)x=0時(shí)，f’(0)=0，f(x)有駐點(diǎn)x=0；當(dāng)x＜0時(shí)，f’(x)＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)＞0，由極值的第一充分條件知，f(x)有極值點(diǎn)x=0；當(dāng)x=±1時(shí)，f’’(±1)=0，列表5：由此可知，曲線有拐點(diǎn)(-1，y(-1))，(1，y(1))．7、曲線y=的弧長(zhǎng)為()A、4n．B、2n．C、n．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，由積分上限函數(shù)的求導(dǎo)公式得再由弧長(zhǎng)計(jì)算公式，得所求曲線弧長(zhǎng)為8、設(shè)函數(shù)f(r)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于u=中的x，y，z具有輪換對(duì)稱性，同理可得9、設(shè)I1=，且D={(x，y)｜(x-1)2+(y-1)2≤2)，則有()A、I1＜I1＜I3．B、I2＜I3＜I1．C、I3＜I1＜I2．D、I3＜I2＜I1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：在同一積分區(qū)域上比較二重積分的大小，只要比較被積函數(shù)在積分區(qū)域上的大小即可．對(duì)于本題，要比較I1，I2，I3的大小，即比較的大小，關(guān)鍵看在D上是大于1或小于1．如圖20所示，顯然有10、設(shè)空間曲線г是球面x2+y2+z2=R2與平面x+y+z=0的交線，則∫L(x2+y2-z2+2y)ds=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：