考研數學一（概率論與數理統(tǒng)計）模擬試卷3（共267題）

考研數學一（概率論與數理統(tǒng)計）模擬試卷3（共9套）（共267題）考研數學一（概率論與數理統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設隨機變量(X，Y)的分布函數為F(x，y)，用它表示概率P(-X＜a，Y＜y)，則下列結論正確的是()．A、1－F(一a，y)B、1－F(－a，y一0)C、F(+∞，y－0)－F(一a，y－0)D、F(＋∞，y)－F(一a，y)標準答案：C知識點解析：P(一X＜a，Y＜y)=P(X＞一a，Y＜y)因為P(Y＜y)=P(X＞一a，Y＜y)+P(X≤一a，Y＜y)，所以P(X＞一a，Y＜y)=P(Y＜y)一P(X≤一a，Y＜y)=F(+∞，y=0)一F(一a，y一0)，選(C)．2、設(X，Y)服從二維正態(tài)分布，其邊緣分布為X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X，Y的相關系數為ρXY=一0．5，且P(aX+bY≤1)=0．5，則()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因為(X，Y)服從二維正態(tài)分布，所以aX+bY服從正態(tài)分布，E(aX+bY)=a+2b，D(aX+bY)=a2+4b2+2abCov(X，Y)=a2+4b2一2ab，即aX+bY～N(a+2b，a2+4b2一2ab)，由P(aX+bY≤1)=0．5得a+2b=1，所以選(D)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)3、有16件產品，12個一等品，4個二等品，從中任取3個，至少有一個是一等品的概率為________．標準答案：知識點解析：設A=｛抽取3個產品，其中至少有一個是一等品｝，則P(A)=．4、設隨機變量X的概率密度函數為fX(x)=，則Y=2X的密度函數為fY(y)=_______．標準答案：知識點解析：5、隨機變量X的密度函數為f(x)=，則D(X)=________．標準答案：知識點解析：E(X)=∫－∞＋∞xf(x)dx=∫－10x(1+x)dx+∫01x(1一x)dx=0，E(X2)=∫－11x2(1一｜x｜)dx=2∫01x2(1一x)dx=，則D(X)=E(X2)一[E(X)]2=．6、設隨機變量X，Y相互獨立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X一2Y，則ρUV=________．標準答案：知識點解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X一2Y)=9Cov(X，X)一4Cov(Y，Y)=9D(X)一4D(Y)=32D(Y)由X，Y獨立，得D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X一2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以ρUV=．7、若隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立同分布于N(μ，22)，則根據切比雪夫不等式得P{｜－μ｜≥2｝≤_________·標準答案：知識點解析：因為X1，X2，…，Xn相互獨立同分布于N(μ，22)，所以，從而．8、設(X1，X2，…，Xn，Xn＋1，…，Xn＋m)為來自總體X～N(0，σ2)的簡單樣本，則統(tǒng)計量U=服從________分布．標準答案：知識點解析：9、某產品廢品率為3％，采用新技術后對產品重新進行抽樣檢驗，檢查是否產品次品率顯著降低，取顯著性水平為0．05，則原假設為H0：_________，犯第一類錯誤的概率為________．標準答案：p≤3％，5％知識點解析：原假設為H0：p≤3％，犯第一類錯誤的概率為5％．10、三次獨立試驗中A發(fā)生的概率不變，若A至少發(fā)生一次的概率為，則一次試驗中A發(fā)生的概率為________．標準答案：知識點解析：設一次試驗中A發(fā)生的概率為p，B=｛三次試驗中A至少發(fā)生一次｝，11、設隨機變量(X，Y)的聯(lián)合密度為f(x，y)=，則P(X＞5｜Y≤3)=________．標準答案：知識點解析：P(X＞5｜Y≤3)=．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、甲乙丙廠生產產品所占的比重分別為60％，25％，15％，次品率分別為3％，5％，8％，求任取一件產品是次品的概率．標準答案：令A1=｛抽取到甲廠產品｝，A2=｛抽取到乙廠產品｝，A3=｛抽取到丙廠產品｝，B=｛抽取到次品｝，P(A1)=0．6，P(A2)=0．25，P(A3)=0．15，P(B｜A1)=0．03，P(B｜A2)=0．05，P(B｜A3)=0．08，由全概率公式得P(B)=P(Ai)P(B｜Ai)=0．6×0．03+0．25×0．05+0．15×0．08=4．25％．知識點解析：暫無解析設X～f(x)=．13、求F(x)；標準答案：F(x)=P｛X≤x｝=∫－∞xf(t)dt當x＜一1時，F(x)=0；當一1≤x＜0時，F(x)=∫－1x(1＋t)dt=；當0≤x＜1時，F(x)=∫－10(1+t)dt+∫0x(1一t)dt=；當x≥1時，F(x)=1．知識點解析：暫無解析14、求．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為F(x)=．(1)求常數A，B；(2)求X的密度函數f(x)；(3)求P(X＞)．標準答案：(1)因為連續(xù)型隨機變量的分布函數是連續(xù)的，知識點解析：暫無解析設(X，Y)～f(x，y)=．16、判斷X，Y是否獨立，說明理由；標準答案：0＜x＜1時，fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫0x12y2dy=4x3，則fX(x)=．因為當0＜y＜x＜1時，f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不獨立．知識點解析：暫無解析17、判斷X，Y是否不相關，說明理由；標準答案：E(X)=∫－∞＋∞xfX(x)dx=∫014x4dx=，E(Y)=∫－∞＋∞yfY(y)dy=∫0112y3(1－y)dy=，E(XY)=∫－∞＋∞dx∫－∞＋∞xyf(x，y)dy=∫01dx∫0x12xy3dy=，因為Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=，所以X，Y相關．知識點解析：暫無解析18、求Z=X+Y的密度．標準答案：fZ(z)=∫－∞＋∞f(x，z一x)dx，知識點解析：暫無解析19、一臺設備由三大部件構成，在設備運轉過程中各部件需要調整的概率分別為0．1，0．2，0．3，假設各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調整的部件數，求E(X)，D(X)．標準答案：令Ai=｛第i個部件需要調整｝(i=1，2，3)，X的可能取值為0，1，2，3，E(X)=1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，D(X)=E(X2)一[E(X)]2=12×0．398+22×0．092+32×0．006—0．36=0．46．知識點解析：暫無解析20、設總體X～N(μ，25)，X1，X2，…，X100為來自總體的簡單隨機樣本，求樣本均值與總體均值之差不超過1．5的概率．標準答案：知識點解析：暫無解析21、袋中有a個黑球和b個白球，一個一個地取球，求第k次取到黑球的概率(1≤k≤a+b)．標準答案：基本事件數n=(a+b)！，設Ak=｛第k次取到黑球｝，則有利樣本點數為a(a+b一1)！，所以P(Ak)=．知識點解析：暫無解析設隨機變量X，Y獨立同分布，且P(X=i)=，i=1，2，3，設隨機變量U=max｛X，Y｝，V=min｛X，Y｝．22、求二維隨機變量(U，V)的聯(lián)合分布；標準答案：由于X，Y相互獨立，所以P(U=V=i)=P(X=i，Y=i)=P(X=i)P(Y=i)=，i=1，2，3；P(U=2，V=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)=；P(U=3，V=1)=P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=3)=；P(U=3，V=2)P(X=3，Y=2)+P(X=2，Y=3)=；P(U=1，V=2)=P(U=1，V=3)=P(U=2，V=3)=0．所以(U，V)的聯(lián)合分布律為知識點解析：暫無解析23、求Z=UV的分布；標準答案：P(Z=1)=P(UV=1)=P(U=1，V=1)=；P(Z=2)=P(UV=2)=P(U=1，V=2)+P(U=2，V=1)=；P(Z=3)=P(UV=3)=P(U=1，V=3)＋P(U=3，V=1)=；P(Z=4)=P(UV=4)=P(U=2，V=2)=；P(Z=6)=P(UV=6)=P(U=2，V=3)+P(U=3，V=2)=；P(Z=9)=P(UV=9)=P(U=3，V=3)=．所以Z的分布律為知識點解析：暫無解析24、判斷U，V是否相互獨立?標準答案：由于P(U=1)=P(X=1，Y=1)=，P(V=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=1)+P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=2)+P(X=1，Y=3)=而P(U=1)P(V=1)=，所以U，V不相互獨立．知識點解析：暫無解析25、求P(U=V)．標準答案：P(U=V)=P(U=1，V=1)+P(U=2，V=2)+P(U=3，V=3)=知識點解析：暫無解析26、設隨機變量X，Y相互獨立，且X～，又設向量組α1，α2，α3線性無關，求α1+α2，α2+Xα3，Yα1線性相關的概率．標準答案：令k1(α1+α2)+k2(α2＋Xα3)+k3Yα1=0，整理得(k1+Yk3)α1+(k1+k2)α2＋Xk2α3=0因為α1，α2，α3線性無關，所以有又α1＋α2，α2+Xα3，Yα1線性相關的充分必要條件是上述方程組有非零解，即即α1+α2，α2+Xα3，Yα1線性相關的充分必要條件是XY=0．注意到X，Y相互獨立，所以α1+α2，α2+Xα3，Yα1線性相關的概率為P(XY=0)=P(X=0，Y=)+P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(X=0)P(Y=)+P(X=1)P(Y=0)＋P(X=0)P(Y=0)=．知識點解析：暫無解析設X1，X2，…，Xn(n＞2)是來自總體X～N(0，1)的簡單隨機樣本，記Yi=Xi－(i=1，2，…，n)．求：27、D(Yi)；標準答案：知識點解析：暫無解析28、Cov(Y1，Yn)．標準答案：因為X1，X2，…，Xn(n＞2)相互獨立，知識點解析：暫無解析29、設總體X的密度函數為f(x)=為未知參數，a＞0為已知參數，求θ的極大似然估計量．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學一（概率論與數理統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設A和B為任意二不相容事件，且P(A)P(B)＞0，則必有A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：因為故應選(C)．2、在最簡單的全概率公式P(B)=P(B)P(B|A)+P()P(B|)中，要求事件A與B必須滿足的條件是A、0＜P(A)＜1，B為任意隨機事件．B、A與B為互不相容事件．C、A與B為對立事件．D、A與B為相互獨立事件．標準答案：A知識點解析：由于A∪，故B=ΩB=(A∪)B=AB∪B．P(B)=P(AB∪B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)．應選(A)．3、設隨機變量X的分布函數F(x)=則P{X=1}=A、0．B、1／2．C、－e－1．D、1－e－1．標準答案：C知識點解析：由P{X=x}=F(x)－F(x－0)，可知P{X=1}=F(1)－F(1－0)故應選(C)．4、設隨機變量X服從正態(tài)分布(μ，42)，Y～N(μ，52)；記p1=P{X≤μ－4}，p2=P{Y≥μ+5}，則A、p1=p2.B、p1＞p2．C、p1＜p2．D、因μ未知，無法比較p1與p2的大?。畼藴蚀鸢福篈知識點解析：p1=P{X≤μ－4}=Ф()=Ф(－1)=1－Ф(1)，p2=P{Y≥μ+5}=1－P{Y＜μ+5}=1－Ф()=1－Ф(1)，計算得知p1=p2，應選(A)．5、設隨機變量X與Y相互獨立，其分布函數分別為FX(x)與FY(y)，則Z=max{X，Y}的分布函數FZ(z)是A、max{FX(z)，FY(z)}．B、FX(z)+FY(z)－FX(z)FY(z).C、FX(z)．FY(z)．D、1／2[FX(z)+FY(z)]．標準答案：C知識點解析：FZ(z)=P{{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}．P{y≤z}=FX(z)．FY(z)，應選(C)．6、將一枚硬幣重復擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數，則X和Y的相關系數等于A、－1．B、0．C、1／2．D、1．標準答案：A知識點解析：依題意，Y=n－X，故ρXY=－1．應選(A)．一般來說，兩個隨機變量X與Y的相關系數ρXY滿足|ρXY|≤1．若Y=aX+b，則當a＞0時，ρXY=1，當a＜0時，ρXY=－1．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、口袋內有四個同樣的球，分別標有號碼1，2，3，4．每次從中任取一個球(每次取后放回去)，連續(xù)兩次．如果第i次取到球上的編號記為ai，i=1，2，記事件A表示事件“a12≥4a2”，則該試驗的樣本空間Ω=_______；事件A=_______；概率P(A)=_______．標準答案：{(1，1)，…，(1，4)，(2，1)，…，(4，4)}；{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}；7／16知識點解析：Ω={(i，j)：i，j=1，2，3，4}={(1，1)，…，(1，4)，(2，1)，…，(4，4)}；A={(i，j)：i2≥4j，i，j=1，2，3，4}={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}；P(A)=#A／#Ω=7／16．8、設f(x)=k(－∞＜x＜∞)是一概率密度，則k=_______．標準答案：知識點解析：將f(x)=作變換，得將其與正態(tài)分布N(1，1／2)的密度比較，可得9、設隨機變量X與Y相互獨立同分布，且都服從p=2／3的0—1分布，則隨機變量Z=max{X，Y}的分布律為_______．標準答案：知識點解析：顯然Z也是離散型隨機變量，只取0，1兩個值，且P{Z=0}=P{max(X，Y)=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=1／9，P{Z=1}=1－P{Z=0}=8／9．于是Z的分布律為10、設隨機變量X和Y的相關系數為0．9，若Z=2X－1，則Y與Z的相關系數為_______．標準答案：0.9知識點解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X－1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X－1)=4DX．Y與Z的相關系數ρYZ為ρYZ==ρXY=0．9．11、設隨機變量X與Y相互獨立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，則P{0＜X+Y＜10}≥_______．標準答案：0．928知識點解析：由于EX=4，DX=0．8，EY=1，DY=1，所以E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y)=DX+DY=1．8．根據切比雪夫不等式P{0＜X+Y＜10}=P{|X+Y－5|＜5}≥1－即P{0＜X+Y＜10}≥0．928．12、設總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自總體X的簡單隨機樣本，則服從_______分布，分布參數為_______．標準答案：F；(10，5)知識點解析：根據簡單隨機樣本的性質，X1，X2，…，X15相互獨立且都服從分布N(0，σ2)，所以X12+…+X102與X112+…+X102相互獨立，由于Xi／σ～N(0，1)，因此1／σ2(X12+…+X102)～χ2(10)，1／σ2(X112+…+X152)～χ2(5)，13、設X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，aXi2+b是總體方差σ2的無偏估計量，則a=_______，b=_______．標準答案：知識點解析：樣本方差S2是總體方差σ2的無偏估計，所以三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)14、假設從單位正方形區(qū)域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}中隨機地選取一點，以該點的兩個坐標x與y作為直角三角形的兩條直角邊，求該直角三角形的面積大于÷1／4概率p．標準答案：設事件A=“直角形面積大于1／4”，依題意，事件A所在區(qū)域D1={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1，1／2xy≥1／4)，如圖1．3，則知識點解析：暫無解析15、設隨機變量X在(0，1)上服從均勻分布，現有一常數a，任取X的四個值，已知至少有一個大于a的概率為0．9，問a是多少?標準答案：依題意0＜a＜1且P{X＞a}=1－a，P{X≤a}=a，且a4=1－0．9=0．1，a=．知識點解析：暫無解析16、設f(x)是非負隨機變量的概率密度，求Y=的概率密度．標準答案：由于X是只取非負值的隨機變量，所以在(0，+∞)內y=是x的單調可導函數，其反函數x=h(y)=y2的定義域為(0，+∞)，h’(y)=2y≠0，根據公式，Y=的概率密度fY(y)為知識點解析：暫無解析設二維隨機變量(X，Y)的聯(lián)合分布為其中a，b，c為常數，且EXY=－0．1，P{x≤0|Y≥2}=5／8，記Z=X+Y．求：17、a，b，c之值；標準答案：由聯(lián)合分布性質，有0．1+a+0．2+b+0．2+0．1+c=1，即a+b+c=0．4．①由EXY=－0．1－2a－0．6+0．2+3c=－0．13c－2a=0．4．②由P{X≤0|Y≥2}3a－5c=－0．7．③聯(lián)立①，②，③，解方程組得a=0．1，b=0．1，c=0．2．知識點解析：暫無解析18、Z的概率分布；標準答案：由(X，Y)的聯(lián)合分布及Z=X+Y，可知Z的取值為0，1，2，3，4．由于P{Z=0}=P{X=－1，Y=1}=0．1，P{Z=1}=P{X=0，Y=1}+P{X=－1，Y=2}=0．1+0．1=0．2，P{Z=2}=P{X=0，Y=2}+P{X=－1，Y=3}+P{X=1，Y=1}=0．2+0．2=0．4．P{Z=3}=P{X=0，Y=3}+P{X=1，Y=2}=0．1，P{Z=4}=P{X=1，Y=3}=0．2，從而得Z的概率分布為知識點解析：暫無解析19、P{Z=X}與P{Z=Y}．標準答案：由X，Y的邊緣分布可知P{Z=Y}=P{X+Y=Y}=P{X=0}=0．3，P{Z=X}=P{x+Y=X}=P{Y=0}=P()=0．知識點解析：暫無解析20、假設二維隨機變量(X，Y)在矩形區(qū)域G={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服從均勻分布．記(Ⅰ)求U和V的聯(lián)合分布；(Ⅱ)求U和V的相關系數ρ．標準答案：(Ⅰ)(U，V)是二維離散型隨機變量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且P{U=0，V=0}=P{X≤Y，X≤2Y}=P{X≤Y}=1／4，P{U=1，V=0}=P{X＞Y，X≤2Y}=P{Y＜X≤2Y}=1／4，P{U=1，V=1}=P{X＞Y，X＞2Y}=P{X＞2Y}=1／2．于是(X，Y)的聯(lián)合分布為(Ⅱ)從(Ⅰ)中分布表看出EU=3／4，DU=3／16，EV=1／2，DV=1／4；EUV=P{U=1，V=1}=1／2，Cov(U，V)知識點解析：暫無解析設二維隨機變量(U，V)～N(2，2；4，1；1／2)，記X=U－bY=V．21、問當常數b為何值時，X與Y獨立?標準答案：由于X=U－bV，Y=V，且=1≠0，故(X，Y)服從二維正態(tài)分布，所以X與Y獨立等價于X與Y不相關，即Cov(X，Y)=0，從而有Cov(U－bV，V)=0，Cov(U，V)－bDV=0，即－b．1=0．解得b=1，即當b=1時，X與Y獨立．知識點解析：暫無解析22、求(X，Y)的密度函數(x，y)．標準答案：由正態(tài)分布的性質知X=U－V服從正態(tài)分布，且EX=EU－EV=2－2=0．DX=D(U－V)=DU+DV－2Cov(U，V)=4+1－2．=3，所以X～N(0，3)，同理Y=V～N(2，1)．又因為X與Y獨立，故f(x，y)=fX(x)fY(y)知識點解析：暫無解析23、設二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上服從均勻分布，令Z=min(X，Y)，求EZ與DZ。標準答案：先求出Z的分布函數FZ(z)與概率密度fZ(z)，再計算EZ與DZ．當z＜0時，FZ(z)=0，當z≥1時，FZ(z)=1，當0≤z＜1時，FZ(z)=P{Z≤z}=P{min(X，Y)≤z}=1－P{min(X，Y)＞z}=1－P{X＞z，Y＞z}=1=P{X＞z}P{Y＞z}=1－(1－z)(1－)=1／2(3z－z2)，fZ(z)EZ=∫－∞+∞zfZ(z)dz=∫01z(－z)dz=5／12，EZ2=∫01z2(－z)dz=1／4；DZ==11／144．知識點解析：暫無解析24、設二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1}上服從均勻分布．(Ⅰ)問X與Y是否相互獨立；(Ⅱ)求X與Y的相關系數．標準答案：依題意，(X，Y)的聯(lián)合密度為(Ⅰ)為判斷X與Y的相互獨立性，先要計算邊緣密度fX(x)與fY(y)．fX(x)=∫－∞+∞f(x，y)dy當|x|＞1時，fX(x)=0．類似地，有fY(y)當x=y=0時，f(0，0)=1／π，而fX(0)fY(0)==4／π2．顯然它們不相等，因此隨機變量X與Y不是相互獨立的．或fX(x)．fY(y)≠f(x，y)，故X與Y不相互獨立．(Ⅱ)EX=∫－∞+∞xfX(x)dx=∫－11xdx=0．在這里，被積函數是奇函數，而積分區(qū)間[－1，1]又是關于原點對稱的區(qū)間，故積分值為零．類似地，有EY=0．E(XY)=∫－∞+∞∫－∞+∞xyf(x，y)dxdy故Cov(X，Y)=E(XY)－EXEY=0，知識點解析：暫無解析25、有100道單項選擇題，每個題中有4個備選答案，且其中只有一個答案是正確的．規(guī)定選擇正確得1分，選擇錯誤得0分．假設無知者對于每一個題都是從4個備選答案中隨機地選答，并且沒有不選的情況，計算他能夠超過40分的概率．標準答案：設X表示100個題中他能選對的題數，則X服從二項分布B(100，0．25)，從而EX=25，DX=18．75，應用拉普拉斯中心極限定理，X近似服從正態(tài)分布N(25，18．75)，于是P{X＞40}=1－P{X≤40}≈1－Ф(3．46)=0．0003．知識點解析：暫無解析26、設總體X服從韋布爾分布，密度函數為其中α＞0為已知，θ＞0是未知參數，試根據來自X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn，求θ的最大似然估計量．標準答案：設x1，x2，…，xn是樣本X1，…，Xn的觀測值，當xi＞0(i=1，2，…，n)時其似然函數為因此θ的最大似然估計值為知識點解析：暫無解析考研數學一（概率論與數理統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設A，B，C為隨機事件，A發(fā)生必導致B與C最多一個發(fā)生，則有A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：B與C最多有一個發(fā)生就是B與C不可能同時發(fā)生，即BC=，從而故選(C)．2、設隨機事件A，B，C兩兩獨立，且P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)，則必有A、C與A—B獨立．B、C與A—B不獨立．C、A∪C與獨立．D、A∪C與不獨立．標準答案：D知識點解析：暫無解析3、設A，B是兩個隨機事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=P(B|A)，則必有A、P(A|B)=．B、P(A|B)≠．C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(AB)≠P(A)P(B)．標準答案：C知識點解析：由題設條件可知，無論事件A發(fā)生與否，事件B發(fā)生的概率都相同，即事件A的發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，因此可以確認A與B是相互獨立的．應該選(C)．4、設事件A與B滿足條件則A、A∪B=．B、A∪B=Ω．C、A∪B=A．D、A∪B=B．標準答案：B知識點解析：暫無解析5、設隨機事件A與B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，則下列結論中一定成立的是A、A，B為對立事件．B、互不相容．C、A，B不獨立．D、A，B相互獨立．標準答案：C知識點解析：A，B互不相容，只說明AB=，但并不一定滿足A∪B=Ω，即互不相容的兩個事件不一定是對立事件，又因A∪B=Ω不一定成立，故A∪B即AB=亦不一定成立，因此選項(A)與(B)均不能選．同時因P(AB)==0，但是P(A)P(B)＞0，即P(AB)≠P(A)P(B)，故A與B一定不獨立，應選(C)．6、設A，B是任意兩個隨機事件，又知，且P(A)＜P(B)＜1，則一定有A、P(A∪B)=P(A)+P(B)．B、P(A一B)=P(A)一P(B)．C、P(AB)=P(A)P(B|A)．D、P(A|B)≠P(A)．標準答案：D知識點解析：由于，則A∪B=B，AB=A．當P(A)＞0時，選項(A)不成立；當P(A)=0時，條件概率P(B|A)不存在，選項(C)不成立；由于任何事件概率的非負性，而題設P(A)＜P(B)，故選項(B)不成立．對于選項(D)，依題設條件0≤P(A)＜P(B)＜1，可知條件概率P(A|B)存在，并且．故應選(D)．7、將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：A1={擲第一次出現正面}，A2={擲第二次出現正面}，A3={正、反面各出現一次}，A4={正面出現兩次}，則A、A1，A2，A3相互獨立．B、A2，A3，A4相互獨立．C、A1，A2，A3兩兩獨立．D、A2，A3，A4兩兩獨立．標準答案：C知識點解析：暫無解析8、某射手的命中率為p(0＜p＜1)，該射手連續(xù)射擊n次才命中k次(k≤n)的概率為A、pk(1一p)n-k．B、Cnkpk(1一p)n-k．C、Cn-1k-1pk(1一p)n-k．D、Cn-1k-1pk-1(1一p)n-k．標準答案：C知識點解析：n次射擊視為n次重復獨立試驗，每次射擊命中概率為p，不中概率為1一p，設事件A=“射擊n次才命中k次”=“前n一1次有k一1次擊中，且第n次也擊中”，則P(A)=Cn-1k-1pk-1(1一p)n-1-(k-1).p=Cn-1k-1pk(1一p)n-k．應選(C)．9、下列函數中是某一隨機變量的分布函數的是A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：對于(A)：由于F(x)應滿足x≤F(x)≤1，因此(A)不正確．對于(B)：由于F(1+0)=，即F(x)在點x=1處不是右連續(xù)的，因此(B)不正確．對于(C)：由于F(x)在(0，1)內單調減小，不滿足分布函數F(x)是單調不減這一性質，因此(C)不正確．故選(D)．10、設隨機變量X的概率密度為f(x)，則下列函數中一定可以作為概率密度的是A、f(2x)．B、2f(x)．C、|f(-x)|．D、f(|x|)．標準答案：C知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)11、已知．則X=_________．標準答案：知識點解析：由事件的運算性質，可得于是12、設隨機事件A，B滿足條件A∪C=B∪C和C一A=C—B，則標準答案：知識點解析：由于A=(A∪C)一(C—A)=(B∪C)一(C—B)=B，因此13、在一個盒子中放有10個乒乓球，其中8個是新球，2個是用過的球．在第一次比賽時，從該盒子中任取2個乒乓球，比賽后仍放回盒子中．在第二次比賽時從這個盒子中任取3個乒乓球，則第二次取出的都是新球的概率為_____．標準答案：0.218知識點解析：在第一次比賽時從盒子中任取的2個乒乓球之中，可能全是用過的球，可能有1個新球1個用過的球，也可能全是新球．設Ai表示事件“在第一次比賽時取出的2個球中有i個是新球，其余是用過的球”(i=0，1，2)，B表示事件“在第二次比賽時取出的球全是新球”，則有由于A0，A1，A2構成完備事件組，因此由全概率公式可得14、某人衣袋中有兩枚硬幣，一枚是均勻的，另一枚兩面都是正面．(I)如果他隨機取一枚拋出，結果出現正面，則該枚硬幣是均勻的概率為_______；(Ⅱ)如果他將這枚硬幣又拋一次，又出現正面，則該枚硬幣是均勻的概率為_______．標準答案：知識點解析：兩小題都是求條件概率，因此需用貝葉斯公式．設B=“取出的硬幣是均勻的”，Ai=“第i次拋出的結果是正面”，i=1，2，則(I)所求概率為P(B|A1)，(Ⅱ)所求概率為P(B|A1A2)．(I)由貝葉斯公式得(Ⅱ)由貝葉斯公式得15、對同一目標接連進行3次獨立重復射擊，假設至少命中目標一次的概率為7／8，則單次射擊命中目標的概率P=_______．標準答案：知識點解析：引進事件Ai={第i次命中目標}(i=1，2，3)，由題設知，事件A1，A2，A3相互獨立，且其概率均為p，由3次獨立重復射擊至少命中目標一次的概率16、設隨機事件A與B互不相容，且A=B，則P(A)=______．標準答案：0知識點解析：由于A=B，于是有AB=A=B，又由于A與B互不相容，因此AB=，即A=B=．所以P(A)=0．17、重復獨立擲兩個均勻的骰子，則兩個骰子的點數之和為4的結果出現在它們點數之和為7的結果之前的概率為_____．標準答案：知識點解析：暫無解析18、若在區(qū)間(0，1)上隨機地取兩個數u，v，則關于x的一元二次方程x2一2vx+u=0有實根的概率是_______．標準答案：知識點解析：設事件A表示“方程x2—2vx+u=0有實根”，因u，v是從(0，1)中任意取的兩個數，因此點(u，v)與正方形區(qū)域D內的點一一對應，其中D={(u，v)|0＜u＜1，0＜v＜1}．事件A={(u，v)|(2v)2一4u≥0，(u，v)∈D}，有利于事件A的樣本點區(qū)域為圖1．2中陰影部分D1，其中D1={(u，v)|v2≥u，0＜u，v＜1}．依幾何型概率公式，有19、設A、B是兩個隨機事件，且=______標準答案：知識點解析：根據乘法公式再應用減法公式或應用加法公式20、已知X，Y為隨機變量且P{X≥0，Y≥0}=．{P{X≥0}=P{Y≥0}=設A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，則P(A)=_____，P(B)=______，P(C)=______．標準答案：知識點解析：暫無解析21、設有某種零件共100個，其中10個是次品，其余為合格品．現在從這些零件中不放回抽樣，每次抽取一個零件，如果取出一個合格品就不再取下去，則在三次內取到合格品的概率為______。標準答案：0.9993知識點解析：設事件Ai表示“第i次取到合格品”(i=1，2，3)，事件A表示“在三次內取到合格品”，則有22、甲、乙二人輪流投籃，游戲規(guī)則規(guī)定為甲先開始，且甲每輪只投一次，而乙每輪連續(xù)投兩次，先投中者為勝．設甲、乙每次投籃的命中率分別是P與0．5，則p=_______時，甲、乙勝負概率相同．標準答案：知識點解析：記事件Ai表示甲在總投籃次數中第i次投中，i=1，4，7，10，…．事件Bj表示乙在總投籃次數中第j次投中，j=2，3，5，6，8，9，…．記事件A，B分別表示甲、乙取勝．事件A可以表示為下列互不相容的事件之和，即這是一個公比q=0．25(1一p)的幾何級數求和問題．由于0＜0．25(1一p)＜1，該級數收斂，且若要甲、乙勝率相同，則P(A)=P(B)=0．5，即按這種游戲規(guī)則，只有當，甲、乙勝負概率相同．23、拋擲一枚勻稱的硬幣，設隨機變量X=則隨機變量X在區(qū)間上取值的概率為______．標準答案：知識點解析：隨機變量X的概率分布為三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)24、拋擲兩枚骰子，在第一枚骰子出現的點數能夠被3整除的條件下，求兩枚骰子出現的點數之和大于8的概率．標準答案：設A表示事件“第一枚骰子出現的點數能夠被3整除”，B表示事件“兩枚骰子出現的點數之和大于8”．拋擲兩枚骰子所出現的點數為(i，j)(i，j=1，2，…，6)，其中i，j分別表示拋擲第一枚骰子和拋擲第二枚骰子出現的點數，共有62=36種結果，即有36個基本事件．拋擲第一枚骰子出現3點或6點時，才能被3整除，因此事件A包含2個基本事件，從而事件A和事件B的交AB={(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，即包含5個基本事件，因此所求概率即為條件概率知識點解析：暫無解析25、在區(qū)間(0，1)中任取兩數，求這兩數乘積大于0．25的概率．標準答案：設x與y為從(0，1)中取出的兩個數，記事件A表示“x與y之積大于0．25”，則Ω={(x，y)|0＜x，y＜1}，A={(x，y)|xy＞0．25，(x，y)∈Ω}．Ω，A的圖形如圖1．1所示，由幾何概率定義得知識點解析：暫無解析26、已知P(A)=0．5，P(B)=0．6，P(B|A)=0．8，求P(A∪B)和標準答案：由題設及乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=0．5×0．8=0．4，從而依題設及加法公式有P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．5+0．6一0.4=0．7．由條件概率的定義有知識點解析：暫無解析27、一條自動生產線連續(xù)生產n件產品不出故障的概率為，n=0，1，2，…．假設產品的優(yōu)質品率為p(0＜p＜1)．如果各件產品是否為優(yōu)質品相互獨立．(I)計算生產線在兩次故障間共生產k件(k=0，1，2，…)優(yōu)質品的概率；(Ⅱ)若已知在某兩次故障間該生產線生產了k件優(yōu)質品，求它共生產m件產品的概率．標準答案：(I)應用全概率公式，有(Ⅱ)當m＜k時，P(Am|Bk)=0；當m≥k時，知識點解析：暫無解析28、設平面區(qū)域D是由坐標為(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四個點圍成的正方形．今向D內隨機地投入10個點，求這10個點中至少有2個點落在曲線y=x2與直線y=x所圍成的區(qū)域D1內的概率．標準答案：設事件A表示“任投的一點落在區(qū)域D1內”，則P(A)是一個幾何型概率的計算問題．樣本空間Ω={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，有利于事件A的樣本點集合為D1={(x，y)|x2≤y≤x}(如圖1．3)．依幾何型概率公式設事件Bk表示“10個點中落入區(qū)域D1的點的個數為k”，k=0，…，10，這是一個十重伯努利概型問題，應用伯努利公式P(B2∪B3∪…∪B10)=1一P(B0)一P(B1)=1一(1一p)10—C101p(1一p)9知識點解析：暫無解析29、設隨機變量X的分布律為求X的分布函數F(x)，并利用分布函數求P{2＜X≤6}，P{X＜4}，P{1≤X＜5}．標準答案：X為離散型隨機變量，其分布函數為F(x)=這里和式是對所有滿足xi≤x的i求和，本題中僅當xi=1，4，6，10時概率P{X=xi}≠0，故有當x＜1時，F(x)=P{X≤x}=0；當1≤x＜4時，F(x)=P{X≤x}=P{X=1}=2／6；當4≤x＜6時，F(x)=P{X≤x}=P{X=1}+P{X=4}=3／6；當6≤x＜10時，F(x)=P{X≤x}=P{X=1}+P{X=4}+P{X=6}=5／6；當x≥10時，F(x)=P{X=1}+P{X=4}+P{X=6}+P{X=10}=1．P{2＜X≤6}=F(6)一F(2)=5／6—1／3=1／2，P{X＜4}=F(4)一P{X=4}=1／2—1／6=1／3，P{1≤X＜5}=P{1＜X≤5}+P{X=1}一P{X=5}=F(5)一F(1)+1／3—0=1／2—1／3+1／3=1／2．知識點解析：暫無解析30、設隨機變量X的概率密度為f(x)=試求：(I)常數C；(Ⅱ)概率；(Ⅲ)X的分布函數．標準答案：(I)由1=∫-∞+∞f(x)dx=∫0J24Cxdx=8(Ⅲ)分布函數F(x)=∫-∞xf(t)dt，由于f(x)是分段函數，該積分在不同的區(qū)間上被積函數的表達式各不相同，因此積分要分段進行．要注意的是不管x處于哪一個子區(qū)間，積分的下限總是“一∞”，積分∫-∞xf(t)dt由(一∞，x)的各個子區(qū)間上的積分相加而得．當x≤0時，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞x0dt=0；當0＜x≤2時,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+當x＞2時，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+因此知識點解析：暫無解析31、設隨機變量X的分布函數為求P{0．4＜X≤1．3}，P{X＞0．5}，P{1．7＜X≤2}以及概率密度f(x)．標準答案：P{0．4＜X≤1．3}=F(1．3)一F(0．4)=(1．3—0．5)一P{X＞0．5}=1一P{X≤0．5}=1一F(0．5)=P{1．7＜X≤2}=F(2)一F(1．7)=1—1=0；知識點解析：暫無解析考研數學一（概率論與數理統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、若ABC，則必有：A、P(C)≤P(A)＋P(B)－1．B、P(C)≥P(A)＋(B)－1．C、P(C)＝P(AB)．D、P(C)＝P(A∪B)．標準答案：B知識點解析：由1≥P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，∴P(C)≥P(AB)≥P(A)＋P(B)－1，可見應選B．2、設0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)＋P()＝1，則A與B必A、不相容．B、對立．C、獨立．D、不獨立．標準答案：C知識點解析：由P(A｜B)＝1－P()＝P(A)，∴得P(AB)＝P(A)P(B)，故應選C．3、設三事件A，B，C兩兩獨立，則A，B，C相互獨立的充分必要條件是：A、A與BC獨立．B、AB與A∪C獨立．C、AB與AC獨立．D、A∪B與A∪C獨立．標準答案：A知識點解析：∵“兩兩獨立”指P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C).P(BC)＝P(B)P(C)；而“相互獨立”指上述3個式子，另加P(ABC)＝P(A).P(B)P(C)共4個式子成立．灃意P(ABC)＝P(A(BC))，只有選項A可選．4、設三事件A，B，C相互獨立且0＜P(C)＜1，則下述事件中不獨立的是：A、與C．B、AC與．C、．D、．標準答案：B知識點解析：∵AB與中都含C的運算(即有公共的事件C)，無法保證獨立．而另3項選擇卻都是“相互獨立”的．5、設事件A與B獨立且不相容，則min[P(A)，P(B)]＝_______．A、1B、0C、D、不能確定．標準答案：B知識點解析：∵AB＝φ，得0＝P(AB)＝P(A)P(B)，可見P(A)與P(B)中至少有一個為0，故min[P(A)，P(B)]＝0．6、對事件A，B，已知P(A)＝1，則必有：A、A＝Ω．B、BA．C、A與B獨立．D、P(B)＜P(A)．標準答案：C知識點解析：“概率為0或1的事件與任一事件獨立”，可見應選C．注意由“P(A)＝1”推不出“A＝Ω”，而有可能B＝Ω呢!故另3個選項不行．7、拋n次硬幣(該幣每次出現正面的概率均為p)，則共出現偶數次正面的概率為：A、Cn2kp2k(1－p)n-2kB、p2kC、D、標準答案：D知識點解析：Cnkpk(1－p)n-k＝1，又Cnk(－p)k(1－p)n-k＝[－p－(1－p)]n＝(1－2p)n，二式相加得：2Cnkpk(1－p)n-k＝1＋(1－2p)n，故應選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)8、對事件A，B，已知P(｜A)＝，P(B｜)＝，P(AB)＝，則P(A)＝_______．P(B)＝_______，P(A∪)＝_______．標準答案：知識點解析：，∴P(A)＝3P(A)－3P(AB)，得P(A∪)＝1－P(B)＝1－[P(B)－P(AB)]＝．9、設10件產品中有4件不合格品，從中任取2件．已知所取的兩件中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為_______．標準答案：知識點解析：記A＝{取的2件產品中至少有1件是不合格品}，B＝{取的2件產品都是不合格品}，則P(A)＝1－P()＝1－，P(B)＝，且BA，有AB＝B．所求概率為P(B｜A)＝．10、對二事件A、B，已知P(A)＝0．6，P(B)＝0．7，那么P(AB)可能取到的最大值是_______，P(AB)可能取到的最小值是_______．標準答案：0．6；0．3．知識點解析：注意ABA，∴P(AB)≤P(A)＝0．6．而若AB(這與P(A)＝0．6＜P(B)＝0．7不矛盾)，則P(AB)＝P(A)＝0．6，可見P(AB)可能取的最大值是0．6；又∵1≥P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1．3－P(AB)，∴P(AB)≥0．3而當A∪B＝Ω時，P(AB)＝0．3．或見P(AB)可能取的最小值是0．3．11、設一批產品中一、二、三等品各占60％，30％，10％，現從中任取一件，結果不是三等品，則取到的是一等品的概率為_______．標準答案：知識點解析：記Ai＝{取得i等品}，i＝1．2，3．則P()＝0．9．而P(A1)＝P(A1)＝0．6．故12、3架飛機(一長二僚)去執(zhí)行轟炸任務，途中要過一敵方的高炮陣地，各機通過的概率均為0．8，通過后轟炸成功的概率均為0．3，各機間相互獨立，但只有長機通過高炮陣地才有可能轟炸成功．求最終轟炸成功的概率為_______．標準答案：0．476544知識點解析：暫無解析13、設隨機變量X，Y，Z相互獨立，且X～N(4，5)，Y～N(－2，9)，Z～N(2，2)，則P{0≤X＋Y－Z≤3}＝_______．(Ф()＝0．7734)標準答案：0．2734知識點解析：E(X＋Y－Z)＝EX＋EY－EZ＝4－2－2＝0，D(X＋Y－Z)＝DX＋DY＋DZ＝5＋9＋2＋2＝16．∴X＋Y－Z～N(0，16)，故P{0≤X＋Y－Z＜3}＝－Ф(0)＝0．7734－0．5＝0．2734．14、對隨機變量X，Y，Z，已知EX＝EY＝1，EZ＝－1，DX＝DY＝1，DZ＝4，ρ(X，Y)＝0，ρX，Z＝，ρY，Z＝－．(ρ為相關系數)則E(X＋Y＋Z)＝_______，D(X＋Y＋Z)＝_______，cov(2X＋Y，3Z＋X)＝_______．標準答案：1；；3．知識點解析：E(X＋Y＋Z)＝EX＋EY＋EZ＝1，D(X＋Y＋Z)＝DX＋DY＋DZ＋2coy(X，Y)＋2coy(X，Z)＋2cov(Y，Z)＝1＋1＋4＋0＋2ρX，Z＝6＋2××2＋2×(－)×2＝cov(2X＋Y，3Z＋X)＝6cov(X，Z)＋2Dx＋3cov(Y，Z)＋cov(Y，X)＝6×ρ(X，Z)＋2DX＋3.ρ(Y，Z).＋0＝6××2＋2×1＋3×(－)×2＝3．15、設二維隨機變量(X，Y)的分布列為(如表)．其中α，β未知，但已知E(Y)＝，則α＝_______，β＝_______，E(X)＝_______，E(XY)＝_______．標準答案：知識點解析：暫無解析16、設(X，Y)在D：｜χ｜＋｜y｜≤a(a＞0)上服從均勻分布，則E(X)＝_______，E(Y)＝_______，E(XY)＝_______．標準答案：0；0；0．知識點解析：暫無解析17、對隨機變量X，Y，已知3X＋5Y＝11，則X和Y的相關系數為_______．標準答案：知識點解析：∵Y＝－，∴(X，Y)的相關系數為－1(若Y＝aX＋b)，則(X，Y)的相關系數為)．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)18、將n個同樣的盒子和n只同樣的小球分別編號為1，2，…，n．將這n個小球隨機地投入n個盒子中，每個盒子中投入一只小球．問至少有一只小球的編號與盒子的編號相同的概率是多少?標準答案：記Ai＝{i號小球被投入到第i號盒中}，i＝1，2，…，n則P(Ai)＝，i＝1，…，n．P(AiAj)＝，1≤i＜j≤n，…，P(A1A2…An)＝．所求概率為知識點解析：暫無解析19、某廠生產的各臺儀器，可直接出廠的占0．7，需調試的占0．3，調試后可出廠的占0．8，不能出廠的(不合格品)占0．2．現生產了n(n≥2)臺儀器(設每臺儀器的生產過程相互獨立)，求：(1)全部能出廠的概率；(2)恰有2臺不能出廠的概率；(3)至少有2臺不能出廠的概率．標準答案：對一臺儀器而言，記A＝{可直接出廠}，B＝{最終能出廠}，則AB，P(A)＝0．7，P(B｜)＝0．8，∴P(B)＝P(B)＝P(A)＋P(B)＝0．94．故(1)Cnn.0．94n.(1－0．94)n-n＝0．94n；(2)Cnn-2.0．94n-2.0．062：(3)1－Cnn0．94n－Cnn-1.0．94n-1.0．06＝1－0．94n－n.0．06.0．94n-1．知識點解析：暫無解析20、袋中有a白b黑共a＋b只球，現從中隨機、不放回地一只一只地取球，直至袋中所剩之球同色為止．求袋中所剩之球全為白球的概率．標準答案：我們將球一只一只地全部取完(這不影響所求之概率)，則P{袋中全剩白球}＝P{最后一只取白球}＝(抽簽原理)．知識點解析：暫無解析21、設事件A、B、C兩兩獨立，且ABC＝φ，P(A)＝P(B)＝P(C)＝p，問P可能取的最大值是多少?標準答案：P(A∪B∪C)＝P(A)＋IP(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)＝3p－3p2，又P(A∪B∪C)≥P(A∪B)＝P(A)＋(B)－P(AB)＝2p－p2，∴2p－p2≤3p－p2，斛得p≤(p＝0顯然無意思)；取Ω＝{ω1，ω2，ω3，ω4}，p(ωi)＝，i＝1，…，4，A＝{ω1，ω2}，B＝{ω1，ω3}，C＝{ω2,ω3}，則P(A)＝P(B)＝P(C)＝，而此A、B、C兩兩獨立且ABC＝φ，可見p可能取的最大值應為．知識點解析：暫無解析22、隨機變量X可能取的值為－1，0．1，且如EX＝0．1，EX2＝0．9．求的分布列．標準答案：由題意，X的分布列可設為：X～且知：a＋b＋c＝1，0．1＝EX＝－a＋c，0．9＝E(X2)＝(－1)2.a＋12.c＝a＋c．可解得a＝0．4，b＝0．1，c＝0．5，代問分布列表達式即可．知識點解析：暫無解析23、往△ABC中任取一點P，而△ABC與△ABP的面積分別記為S與S1，若已知S＝12．求ES1．標準答案：如圖建立坐標系，設AB長為r，△ABC高為h，c點坐標為(u，h)，設△ABC所圍區(qū)域為G，則G的面積S＝rh＝12．又設P點坐標為(X，Y)，則隨機變量(X，Y)在G上服從均勻分布，其概率密度為而S1＝rY．易得線段AC的方程為χ＝y(tǒng)，BC的方程為χ＝r－y，故EY＝∴ES1＝，而rh＝24，ES1＝4．知識點解析：暫無解析24、已知線段AB＝4，CD＝1，現分別獨立地在AB上任取點A1，住CD上任取點C1．作一個以AA1為底、CC1為高的三角形，設此三角形的而積為S，求P(S＜1)和D(S)．標準答案：AA1長度為X，CC1長度為Y，則知X與Y為二相互獨立的隨機變量．分別服從區(qū)間[0，4]和[0，1]上的均勻分布，(X，Y)的概率密度為其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤4，0≤y≤1}，而S＝．故P(S＜1)＝P(XY＜2)＝其中G為圖中陰影部分．而∴DS＝ES2－(ES)2＝．知識點解析：暫無解析25、設隨機變量X在區(qū)間(－1，1)上服從均勻分布，Y＝X2，求(X，Y)的協(xié)方差矩陣和相關系數．標準答案：X的概率密度為：故EX＝0，∴DX＝，DY＝E(Y2)－(EY)2＝E(X4)－EX2)2＝，cov(X，Y)＝cov(X，X3)－E(X3)－EX.EX2＝0，故知(X，Y)的相關系數ρ(X，Y)＝0，協(xié)方差陣為知識點解析：暫無解析26、現有k個人在某大樓的一層進入電梯，該樓共，n＋1層，電梯在任一層時若無人下電悌則電梯不停(以后均無人再入電梯)．現已知每個人在任何一層(當然不包括第一層)下電梯是等可能的且相互獨立，求電梯停止次數的平均值．標準答案：記Xi＝則P(Xi＝0)＝，EXi＝1－，i＝2，3，…，n＋1．而X＝Xi為電梯停的次數，故知平均停的次數為EX＝知識點解析：暫無解析27、設某種元件的壽命為隨機變量且服從指數分布，這種元件可用兩種方法制得，所得元件的平均壽命分圳為100和150(小時)，而成本分別為c、和2c元，如果制得的元件壽命不超過200小時，則須進行加工，費用為100元，為使平均費用較低，問c取值時，用第2種方法較好?標準答案：記用第一、第二種方法制得的元件的壽命分別為X、Y，費用分別為ξ、η，則知X、Y的概率密度分別為：且P(X≤200)＝＝1－e－2，P(Y≤200)＝∴Eξ＝(c＋100)P(X≤200)＋c.P(X＞200)＝c＋100p(X≤200)，Eη＝(2c＋100)P(Y≤200)＋2cP(y＞200)＝2c＋100P(Y≤200)，于是Eη－Eξ＝c＋100.[P(Y≤200)－P(X≤200)]＝c＋100(e－2－)，可見c＜100(－e－2)時，Eη＜Eξ，用第2種方法較好(平均費用較低)．知識點解析：暫無解析28、設做一次實驗的費用為1000元，如果實驗失敗，則要另外再花300元對設備調整才能進行下一次的實驗，設各次實驗相互獨立，成功的概率均為0．2．并假定實驗一定要進行到出現成功為止，求整個實驗程序的平均費用．標準答案：設需進行X次試驗，則所需費用為Y＝1000＋300(X－1)，而P(X＝k)＝0．8k-1.0．2，k＝1，2，…，記g(χ)＝kχk-1，｜χ｜＜1，則于是EX＝k.0．8k-1.0．2＝0．2g(0．8)＝0．2.＝5，故EY＝1000＋300(EX－1)＝2200(元)．知識點解析：暫無解析29、現有獎券100萬張，其中一等獎1張，獎金5萬元；二等獎4張，每張獎金2500元；三等獎40張，每張獎金250元；四等獎400張，每張獎金25元．而每張獎券2元，試計算買一張獎券的平均收益．標準答案：記X和ξ分別為買1張獎券的所得的獎金和凈收益(單位為元)，則ξ＝X－2，而X的概率分布為：∴Eξ＝EX－2＝－2＝－1．92(元)．知識點解析：暫無解析30、設隨機變量(X，Y)～N(0，1；0，1；ρ)，求Emax(X，Y)．標準答案：E(X—Y)＝EX－EY＝0，D(X－Y)＝DX＋DY－2cov(X，Y)＝1＋1－2ρ＝2(1－ρ)，∴X－Y～(0，2(1－ρ))，得E｜X－Y｜＝．而max(X，Y)＝[X＋Y＋｜X－Y｜]故Emax(X，Y)＝知識點解析：暫無解析31、設隨機變量X1，X2，…，Xn獨立同分布且。DX1＝σ2，令，試求Xi－與Xj－相關系數．標準答案：可見，故Xi－與Xj－的相關系數為知識點解析：暫無解析32、設試驗成功的概率為，失敗的概率為，獨立重復試驗直到兩次成功為止．設X為所需要進行的試驗次數，求X的概率分布及E(X)．標準答案：P(X＝P)＝P{前k－1次試驗中恰出現1次成功，第k次試驗成功}＝，k＝2，3，…，設出現第1次成功時進行了ξ次試驗，從第1次成功(不含)到第2次成功(含)進行了η次試驗，則X＝ξ＋η，且ξ與η服從同一幾何分布：P(ξ－k)＝，k＝1，2，…，可算得Eξ＝Eη＝故EX＝Eξ＋Eη＝．知識點解析：暫無解析考研數學一（概率論與數理統(tǒng)計）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設隨機變量X與Y的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布，X與Y相互獨立的充分必要條件是A、E(X－Y)＝0．B、D(X—Y)＝0．C、E(X2－Y2)＝0．D、E[X(Y－EY)]＝0．標準答案：D知識點解析：(X，Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立的充分必要條件是它們的相關系數ρXY＝0，而對任何兩個隨機變量X與Y，有ρXY＝0cov(X，Y)＝0EXY＝EXEY．而EXY＝EXEY又可以變形為EXY－EXEY＝E[X(Y－EY)]＝0，因此應選D．2、設A1，A2是兩個隨機事件，隨機變量Xi＝(i＝1，2)，已知X1與X2不相關，則A、X1與X2不一定獨立．B、A1與A2一定獨立．C、A1與A2不一定獨立．D、A1與A2一定不獨立．標準答案：B知識點解析：EXi＝P()－P(Ai)＝1－2P(Ai)，i＝1，2，E(X1X2)＝P{X1＝－1，X2＝－1}－P{X1＝－1，X2＝1}－P{X1＝1，X2＝－1}＋P{X1＝1，X2＝1}＝P(A1A2)－P(A1)－P(A2)＋P()＝P(A1A2)－[P(A1)－P(A1A2)]－[P(A2)－P(A1A2)]＋1－P(A1)－P(A2)＋P(A1A2)＝4P(A1A2)－2P(A1)－2P(A2)＋1，EX1EX2＝[1－2P(A1)][1－2P(A2)]＝4P(A1)P(A2)－2P(A1)－2P(A2)＋1．因X1與X2不相關，故E(X1X2)＝EX1EX2．P(A1A2)＝P(A1)P(A2)，即A1與A2相互獨立，應選B．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)3、每張卡片上都寫有一個數字，其中有兩張卡片上都寫有數字0，三張卡片都寫有數字1，另兩張卡片上分別寫有數字2與9．將這七張卡片隨意排成一排，所排的數字恰好為2001911的概率是_______．標準答案：0．0024知識點解析：設事件A＝“排成數字是2001911”，將七張卡片隨意排列共有7!種不同的等可能排法．此即樣本空間Ω的樣本點總數，而有利于事件A的卡片排列方法為2!3!種，依古典型概率公式P(A)＝＝0．0024．4、設A、B、C是三個隨機事件，AC，BC，P(A)＝0．7，P(A－C)＝0．4，P(AB)＝0．5，則P(AB)＝_______．標準答案：0．2知識點解析：從AC，BC，可知ABC，兩次應用減法公式有P(C)＝P(A)－P(A－C)＝0．7－0．4＝0．3，P(AB)＝P(AB－C)＝P(AB)－P(C)＝0．5－0．3＝0．2．5、設A、B是兩個隨機事件，0＜P(B)＜1，AB＝，則P(A｜)＋P(｜B)＝_______．標準答案：2知識點解析：從條件AB＝有(AB)()＝(AB)(AB)＝AB，但是對任何事件A、B，都有因此有AB＝，A∪B＝＝Ω．于是A與B為對立事件，即＝B，＝A．因此P(A｜)＋P(｜B)＝P()＋P(B｜B)＝2．三、解答題(本題共32題，每題1.0分，共32分。)6、將3個球隨機地放入4個盒子中，求盒子中球的最多個數分別為1，2，3的概率．標準答案：設事件Ai表示盒子中球的最多個數為i個，i＝1，2，3．易見A1，A2，A3是一個完備事件組．將3個球隨機地放入4個盒子共有43種不同的等可能情況，即樣本空間Ω中的樣本點個數為43．事件A1表示盒子中球的最多個數為1，即4個盒子中有3個盒子有球，其中每個盒子只有1個球，因此#A1＝C43.3!．根據古典概型公式P(A1)＝事件A3表示盒子中球的最多個數為3，即3個球都放入了4個盒子中的1個盒子內，因此#A3＝C41．于是P(A3)＝由于構成完備組的各事件概率之和為1，所以P(A2)＝1－P(A1)－P(A3)＝1－．知識點解析：暫無解析7、將一顆正六面體的骰子連續(xù)擲兩次，B、C分別表示第一次和第二次擲出的點數，求拋物線y＝χ2＋Bχ＋C與χ軸沒有交點的概率p．標準答案：設事件A表示“y＝χ2＋Bχ＋C與χ軸無交點”，將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，所有等可能的基本結果共有36種，即Ω＝{(1，1)，…，(6，6)}．而A＝“B2－4C＜0”=“C＜”，用列舉法可以確定出有利于A的樣本點數目為17，具體做法是：對應于第一次擲出的“1點”，即“B＝1”，樣本空間中有利于A的樣本點有6個，它們分別是(1，1)，…，(1，6)，對于B＝2，3，4，5，6，逐個分析列表如下：從表中看出，有利于A的樣本點數目為17，則p＝P(A)＝．知識點解析：暫無解析8、隨機地向半圓Ω＝{(χ，y)：0＜y＜}內投擲一點(r＞0)，事件A表示“擲點與原點連線和χ軸正方向夾角小于，π／6”，求P(A)．標準答案：如圖1一1，設擲點坐標為(χ，y)，依題意，它是隨機地取自以(r，0)為圓心、r為半徑的半圓內，即樣本空間Ω＝{(χ，y)：0＜y＜}．事件A的樣本點區(qū)域G為G＝{(χ，y)：0≤，y＜}，這是一個幾何型概率的計算問題，需要計算樣本空間Ω所在區(qū)域的面積與有利于事件A的樣本點區(qū)域G的面積：SΩ＝π，SG＝S△DOC＋S扇形DCB，其知識點解析：暫無解析9、設A、B是兩個隨機事件，P(A)＝0．4，P(B｜A)＋P()＝1，P(A∪B)＝0．7，求P()．標準答案：對于任何概率不為零的事件，一定有P(B｜)＋P()＝1，結合題設條件：P(B｜A)＋P()＝1，可以得到P(B｜A)＝P(B｜)，即A與B相互獨立．應用加法公式，有P(A∪B)＝P(A)＋P()＝P(A)＋P()P(B)，P(B)＝＝0．5，＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝0．8．或者從A與B獨立知與也獨立，因此有P(A∪B)＝1－，與P()＝1－P(A)P(B)．從①可得P()＝0．5，P(B)＝0．5，代入②得到P()＝0．8．知識點解析：暫無解析10、某批產品優(yōu)質品率為80％，每個檢驗員將優(yōu)質品判斷為優(yōu)質品的概率是90％，而將非優(yōu)質品錯判為優(yōu)質品的概率是20％，為了提高檢驗信度，每個產品均由3人組成的檢查組，每人各自獨立進行檢驗1次，規(guī)定3人中至少有2名檢驗員認定為優(yōu)質品的產品才能確認為優(yōu)質品．假設各檢驗員檢驗水平相同．求一件被判斷為優(yōu)質品的產品確實真是優(yōu)質品的概率．標準答案：設事件B表示“檢查的產品被判為優(yōu)質品”，事件A表示“檢查的產品實為優(yōu)質品”，X表示3人中對被驗的優(yōu)質品判斷為優(yōu)質品的人數，則X～B(3，0．9)，Y表示3人中對被驗的非優(yōu)質品誤判為優(yōu)質品的人數，Y～B(3，0．2)．依題意P(A)＝0．8，P()＝0．2，P(B｜A)＝P{X≥2}＝C320．92.0．1＋0．93＝0．972，P(B｜)＝P{Y≥2}＝C320．22.0．8＋0．23＝0．104，根據貝葉斯公式，有P(A｜B)＝＝0．974．知識點解析：暫無解析11、甲、乙二人各自獨立地對同一試驗重復兩次，每次試驗的成功率甲為0．7，乙為0．6，試求二人試驗成功次數相同的概率．標準答案：設事件Ai與Bi分別表示在兩次獨立重復試驗中甲成功i次與乙成功j次，顯然Ai與Bi相互獨立，i，j＝0，1，2，依獨立重復試驗的伯努利(二項分布)公式P(A0)＝0．32＝0．09，P(A2)＝0．72＝0．49，P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)＝0．42．類似地，P(B0)＝0．42＝0．16，P(B2)＝0．62＝0．36，P(B1)＝0．48．設事件A表示“在二人各自進行的兩次獨立重復試驗中，甲、乙二人成功次數相同”，則P(A)＝P(AiBi)＝P(Ai)p(Bi)＝0．09×0．16＋0．42×0．48＋0．49×0．36＝0．3924．如果要計算甲比乙試驗成功次數多(記作事件B)或少(記作事件C)的概率，則P(B)＝P(A1B0∪A2B0∪A2B1)＝P(A1B0)＋P(A2B0)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B0)＋P(A2)P(B0)＋P(A2)P(B1)．＝0．42×0．16＋0．49×0．16＋0．49×0．48＝0．3808，P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0．2268．或P(C)＝P(A0B1)＋P(A0B2)＋P(A1B2)＝0．2268．知識點解析：暫無解析12、一條旅游巴士觀光線共設10個站，若一輛車上載有30位乘客從起點開出，每位乘客都等可能地在這10個站中任意一站下車，且每個乘客不受其他乘客下車與否的影響，規(guī)定旅游車只在有乘客下車時才停車．求：(Ⅰ)這輛車在第i站停車的概率以及在第i站不停車的條件下在第i站停車的概率；(Ⅱ)判斷事件“第i站不停車”與“第i站不停車”是否相互獨立．標準答案：設事件Am＝“第m位乘客在第i站下車”(m＝1，2，…，30)，Bn＝“第n站停車”，n＝1，2，…，10．(Ⅰ)依題意A1，A2，…，A3。相互獨立，P(Am)＝，m＝1，2，…，30．類似地P(Bj)＝1－在第i站不停車，即Bi不發(fā)生的條件下，每位乘客都等可能地在第i站以外的9個站中任意一站下車，也就是說每位乘客在第j站下車的概率為，因此有(Ⅱ)由于P(Bj｜)≠P(Bj)，因此與Bj不獨立，從而Bi與Bj不獨立．或者由計算可知B與不獨立，從而Bi與Bj亦不獨立．知識點解析：暫無解析13、設離散型隨機變量X的概率分布為P{X＝n}＝a2pn，n＝0，1，2，…，試確定a與p的取值范圍．標準答案：作為離散型隨機變量X的概率函數應滿足非負性與P{X＝n}＝1，結合本題應有P{X＝n}＝a2pn≥0(n＝0，1，2，…)與P{X＝n}＝a2pn＝1．由此可以推出p一定是非負的并且只有當o＜p＜1時，級數互pn才收斂，此時互．則a2＝1－P，0＜｜a｜＜1．由以上分析可以看出a，p的取值范圍分別是：0＜｜a｜＝＜1，0＜P＜1．知識點解析：暫無解析14、設鋼管內徑服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，規(guī)定內徑在98到102之間的為合格品；超過102的為廢品，不足98的是次品，已知該批產品的次品率為15．9％，內徑超過101的產品在總產品中占2．28％，求整批產品的合格率．標準答案：依題意P{X＜98}＝0．159，P{X＞101}＝0．0228，0．159＝P{X＜98}＝P{X≤98}＝Ф()，0．0228＝P{X＞101}＝1－P{X≤101}＝1－Ф()，Ф()＝0．9772．②根據①與②式查正態(tài)分布表，可得關于μ與σ的二元方程組：μ＝99，σ＝1．于是，P{98≤X≤102}＝Ф(102－99)－Ф(98－99)＝Ф(3)－Ф(－1)＝0．83995．因此合格率約為84％．知識點解析：暫無解析15、設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為求使得｜F(a)－｜達到最小的正整數n．標準答案：由于連續(xù)型隨機變量X的分布函數是連續(xù)函數，因此F(χ)在(－∞，＋∞)內連續(xù)，當然在χ＝－1與χ＝1處也連續(xù)，于是有0＝F(－1－0)＝F(－1)＝a－b，1＝F(1)＝F(1－0)＝a＋b．解以a，b為未知量的二元一次方程組，可得a＝，b＝．當一1≤χ＜1時，由于≥0，且只有當n＝時為0，n≠時大于0．比較n＝2與n＝3的兩個值：當n＝2時，當n＝3時，因此可知，當n＝3時，｜F(a)－｜達到最小，其最小值為1／12．知識點解析：暫無解析16、假定某街道有n個設有紅綠燈的路口，各路口各種顏色的燈相互獨立，紅綠燈顯示的時間比為1：2．今有一汽車沿該街道行駛，若以X表示該汽車首次遇到紅燈之前已通過的路口數，試求X的分布律．標準答案：事件“X＝k”表示汽車在前k個路口均遇到綠燈，而在第k＋1個路口遇到紅燈，所以P{X＝k}＝，k＝0，1，2，…，n－1．而P{X＝n}＝()n，將其列成表格形式即為知識點解析：暫無解析17、設1000件產品中有150件次品，從中一次抽取3件，求：最多取到1件次品的概率．標準答案：由于超幾何分布中產品總數(1000)很大，而從中抽取的產品數量(3件)相對很小，因此可將超幾何分布用二項分布B(3，0．15)近似，即P{X≤1}＝P{X＝0}＋P{X＝1}≈0．853＋C310．15×0．852＝0．93925．知識點解析：暫無解析18、一大批種子的發(fā)芽率是99．8％，從中隨機地選取1000粒進行試驗，求這1000粒種子中發(fā)芽數目X的概率分布并計算恰好只有一粒種子未發(fā)芽的概率．標準答案：由于該批種子數量很大，因此可以認為X服從二項分布B(1000，0．998)，即P{X＝k}＝C1000k0．998k0．0021000-k，k＝0，1，…，1000．設1000粒種子不發(fā)芽的種子數為Y，則Y＝1000－X且Y～B(1000，0．002)．Y所服從的二項分布參數n＝1000和p＝0．002顯然滿足泊松定理條件，因此y近似服從參數λ＝np＝2的泊松分布，于是P{Y＝1}≈λe－λ＝2e－2≈0．27．知識點解析：暫無解析19、一批玻璃杯整箱出售，每箱裝有12只，其中含有0個，1個，2個次品的概率分別是0．6，0．2，0．2．一顧客需買該產品5箱，他的購買方法是：任取一箱，打開后任取3只進行檢查，若無次品就買下該箱，若有次品則退回另取一箱檢查，求他需要檢查的箱數X的概率分布及檢查箱數不超過6箱的概率β．標準答案：設Ai表示一箱中有i個次品，i＝0，1，2；B表示一箱通過檢查．P(