數(shù)學(xué)模型省公共課一等獎(jiǎng)全國(guó)賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)模型主講|敬成林?jǐn)?shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編1文庫(kù)專用第1頁(yè)課程名稱學(xué)時(shí)36數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模MathematicalModeling學(xué)分3課程類別專業(yè)選修課先修課程微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程簡(jiǎn)介本課程是計(jì)算機(jī)及管理專業(yè)一門專業(yè)選修課。也是本科生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)課程。數(shù)學(xué)模型是架于數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問(wèn)題之間橋梁。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)處理實(shí)際問(wèn)題主要伎倆和路徑。本書介紹數(shù)學(xué)建模中慣用一些基本概念、理論和經(jīng)典數(shù)學(xué)模型，包含：數(shù)據(jù)擬合，網(wǎng)絡(luò)模型，優(yōu)化模型，離散模型、隨機(jī)模型，時(shí)間序列預(yù)報(bào)模型，回歸分析及其試驗(yàn)設(shè)計(jì)。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模相關(guān)問(wèn)題敘述和模型實(shí)例介紹，使學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)處理實(shí)際問(wèn)題能力有所提升。教材及參考書目《數(shù)學(xué)模型》，姜啟源主編，高等教育出版社

課程簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編2文庫(kù)專用第2頁(yè)數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編第一章建立數(shù)學(xué)模型第二章初等模型第三章

簡(jiǎn)單優(yōu)化模型第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型第五章微分方程模型第六章穩(wěn)定性模型第七章差分方程模型第八章離散模型第九章概率模型第十章統(tǒng)計(jì)回歸模型附錄:數(shù)學(xué)建模試驗(yàn)3文庫(kù)專用第3頁(yè)周次節(jié)次教學(xué)內(nèi)容課時(shí)作業(yè)執(zhí)行情況1五5－61.1-1.5數(shù)學(xué)模型介紹1.6數(shù)學(xué)模型基本方法步驟、特點(diǎn)和分類22五5－62.1公平席位分配(討論課)2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器用途2.3雙層玻璃功效23五5－62.7實(shí)物交換3.2生豬出售時(shí)機(jī)24五5－63.3森林救火(討論課)3.4最優(yōu)價(jià)格25五5－63.6消費(fèi)者選擇4.3汽車生產(chǎn)與原油采購(gòu)26五5－64.5飲料廠生產(chǎn)與檢修5.1傳染病模型(討論課)27五5－65.2經(jīng)濟(jì)增加模型5.6人口預(yù)測(cè)和控制

28五5－66.1打魚業(yè)連續(xù)收獲6.2軍備競(jìng)賽(討論課)2

教學(xué)進(jìn)度數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編4文庫(kù)專用第4頁(yè)9五5－66.4種群相互依存7.1市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中蛛網(wǎng)模型2

10五5－67.2減肥計(jì)劃-節(jié)食與運(yùn)動(dòng)8.3層次分析模型212五5－68.4效益合理分配9.2報(bào)童訣竅(討論課)213五5－69.5隨機(jī)人口模型9.6航空企業(yè)預(yù)定票策略214五5－610.1牙膏銷售量2評(píng)定周15五5－6Mtlab,Mathematcia數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)(上機(jī))216五5－6數(shù)學(xué)建模試驗(yàn)(上機(jī))217五5－6數(shù)學(xué)建模試驗(yàn)(上機(jī))218考試數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編5文庫(kù)專用第5頁(yè)數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編第一章建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模主要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)和分類1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模6文庫(kù)專用第6頁(yè)玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中艦艇、風(fēng)洞中飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目標(biāo)，對(duì)客觀事物一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)原型替換物模型集中反應(yīng)了原型中人們需要那一部分特征1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)模型第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編7文庫(kù)專用第7頁(yè)你碰到過(guò)數(shù)學(xué)模型——“航行問(wèn)題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船速度是多少?x=20y=5求解第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編8文庫(kù)專用第8頁(yè)航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型基本步驟作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號(hào)表示相關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編9文庫(kù)專用第9頁(yè)數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目標(biāo)，依據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要簡(jiǎn)化假設(shè)，利用適當(dāng)數(shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型全過(guò)程（包含表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編10文庫(kù)專用第10頁(yè)1.2數(shù)學(xué)建模主要意義電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法處理實(shí)際問(wèn)題第一步，越來(lái)越受到人們重視。

在普通工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模依然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編11文庫(kù)專用第11頁(yè)數(shù)學(xué)建模詳細(xì)應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決議

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編12文庫(kù)專用第12頁(yè)1.3數(shù)學(xué)建模示例1.3.1椅子能在不平地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)改變，可視為數(shù)學(xué)上連續(xù)曲面;地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置最少三只腳同時(shí)著地。第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編13文庫(kù)專用第13頁(yè)模型組成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地關(guān)系表示出來(lái)椅子位置利用正方形(椅腳連線)對(duì)稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對(duì)角線與x軸夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是

函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個(gè)距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編14文庫(kù)專用第14頁(yè)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地關(guān)系表示出來(lái)f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(

),g(

)最少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意

，f(

)?g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.證實(shí)：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型組成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置最少三只腳著地第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編15文庫(kù)專用第15頁(yè)模型求解給出一個(gè)簡(jiǎn)單、粗糙證實(shí)方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD交換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)基本性質(zhì),必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因?yàn)閒(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評(píng)注和思索建模關(guān)鍵~假設(shè)條件本質(zhì)與非本質(zhì)考查四腳呈長(zhǎng)方形椅子和f(),g()確定第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編16文庫(kù)專用第16頁(yè)背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增加概況中國(guó)人口增加概況年1908193319531964198219901995人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改變規(guī)律控制人口過(guò)快增加1.3.3怎樣預(yù)報(bào)人口增加第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編17文庫(kù)專用第17頁(yè)指數(shù)增加模型——馬爾薩斯提出(1798)慣用計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增加率r是常數(shù)今年人口x0,年增加率rk年后人口伴隨時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增加第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編18文庫(kù)專用第18頁(yè)指數(shù)增加模型應(yīng)用及不足與19世紀(jì)以前歐洲一些地域人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合適合用于19世紀(jì)后遷往加拿大歐洲移民后代可用于短期人口增加預(yù)測(cè)不符合19世紀(jì)后多數(shù)地域人口增加規(guī)律不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)久人口增加過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增加率r不是常數(shù)(逐步下降)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編19文庫(kù)專用第19頁(yè)阻滯增加模型(Logistic模型)人口增加到一定數(shù)量后，增加率下降原因：資源、環(huán)境等原因?qū)θ丝谠黾幼铚饔们易铚饔秒S人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增加率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納最大數(shù)量）r是x減函數(shù)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編20文庫(kù)專用第20頁(yè)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增加模型(Logistic模型)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編21文庫(kù)專用第21頁(yè)參數(shù)預(yù)計(jì)用指數(shù)增加模型或阻滯增加模型作人口預(yù)報(bào)，必須先預(yù)計(jì)模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4教授預(yù)計(jì)阻滯增加模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編22文庫(kù)專用第22頁(yè)模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國(guó)人口加入人口數(shù)據(jù)后重新預(yù)計(jì)模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品售量)阻滯增加模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x()=306.0第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編23文庫(kù)專用第23頁(yè)數(shù)學(xué)建?；痉椒C(jī)理分析測(cè)試分析依據(jù)對(duì)客觀事物特征認(rèn)識(shí)，找出反應(yīng)內(nèi)部機(jī)理數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,經(jīng)過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一方法，主要經(jīng)過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)1.4數(shù)學(xué)建模方法和步驟第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編24文庫(kù)專用第24頁(yè)數(shù)學(xué)建模普通步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型組成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目搜集相關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清楚‘問(wèn)題’第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編25文庫(kù)專用第25頁(yè)模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目作出合理、簡(jiǎn)化假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類比法盡可能采取簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模普通步驟第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編26文庫(kù)專用第26頁(yè)模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模普通步驟第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編27文庫(kù)專用第27頁(yè)數(shù)學(xué)建模全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象解答數(shù)學(xué)模型解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象信息檢驗(yàn)得到解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編28文庫(kù)專用第28頁(yè)1.5數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)和分類模型逼真性和可行性模型漸進(jìn)性模型健壯性模型可轉(zhuǎn)移性模型非預(yù)制性模型條理性模型技藝性模型不足

數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編29文庫(kù)專用第29頁(yè)數(shù)學(xué)模型分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)……表現(xiàn)特征描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決議……建模目了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編30文庫(kù)專用第30頁(yè)1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門技術(shù)，不如說(shuō)是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)他人作過(guò)模型親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編31文庫(kù)專用第31頁(yè)

第二章初等模型2.1公平席位分配2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器用途2.3雙層玻璃窗功效2.7實(shí)物交換數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編32文庫(kù)專用第32頁(yè)2.1公平席位分配系別學(xué)生百分比20席分配人數(shù)（%）百分比結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席分配百分比結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問(wèn)題三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按百分比分配，三個(gè)系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問(wèn)20席怎樣分配。若增加為21席，又怎樣分配。百分比加通例對(duì)丙系公平嗎系別學(xué)生百分比20席分配人數(shù)（%）百分比結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生百分比20席分配人數(shù)（%）百分比結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席分配百分比結(jié)果10.815116.61573.570321.00021第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編33文庫(kù)專用第33頁(yè)“公平”分配方法衡量公平分配數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時(shí)，分配公平

p1/n1–p2/n2~對(duì)A絕對(duì)不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對(duì)A不公平程度已大大降低!雖二者絕對(duì)不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對(duì)不公平A

p1/n1–p2/n2=5第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編34文庫(kù)專用第34頁(yè)公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡可能小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí)p1/n1>p2/n2，即對(duì)A不公平~對(duì)A相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編35文庫(kù)專用第35頁(yè)1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾個(gè)情況初始p1/n1>p2/n2

問(wèn)：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會(huì)出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編36文庫(kù)專用第36頁(yè)當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB定義該席給A不然,該席給B定義該席給Q值較大一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大一方Q

值方法計(jì)算，第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編37文庫(kù)專用第37頁(yè)三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位按人數(shù)百分比整數(shù)部分已將19席分配完成甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編38文庫(kù)專用第38頁(yè)深入討論Q值方法比“百分比加通例”方法更公平嗎？席位分配理想化準(zhǔn)則已知:m方人數(shù)分別為p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編39文庫(kù)專用第39頁(yè)

qi=Npi/P不全為整數(shù)時(shí)，ni

應(yīng)滿足準(zhǔn)則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，ni不應(yīng)降低“百分比加通例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編40文庫(kù)專用第40頁(yè)問(wèn)題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450，問(wèn)剩下一段還能否錄下1小時(shí)節(jié)目？要求不但回答下列問(wèn)題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間關(guān)系。思索計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增加嗎？2.2

錄像機(jī)計(jì)數(shù)器用途經(jīng)試驗(yàn)，一盤標(biāo)明180分鐘錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編41文庫(kù)專用第41頁(yè)錄像機(jī)計(jì)數(shù)器工作原理主動(dòng)輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計(jì)數(shù)器錄像帶錄像帶運(yùn)動(dòng)方向錄像帶運(yùn)動(dòng)右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增加變慢問(wèn)題分析觀察計(jì)數(shù)器讀數(shù)增加越來(lái)越慢！第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編42文庫(kù)專用第42頁(yè)模型假設(shè)

錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)

v；

計(jì)數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時(shí)間

t=0時(shí)讀數(shù)n=0.建模目建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間關(guān)系（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編43文庫(kù)專用第43頁(yè)模型建立建立t與n函數(shù)關(guān)系有各種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第

i圈半徑為r+wi,

m圈總長(zhǎng)度等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)長(zhǎng)度vt,所以第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編44文庫(kù)專用第44頁(yè)2.考查右輪盤面積改變，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過(guò)長(zhǎng)度，即3.考查t到t+dt錄像帶在右輪盤纏繞長(zhǎng)度，有模型建立第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編45文庫(kù)專用第45頁(yè)思考3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)覺(jué)稍有差異，請(qǐng)解釋。模型中有待定參數(shù)一個(gè)確定參數(shù)方法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法。思考第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編46文庫(kù)專用第46頁(yè)參數(shù)預(yù)計(jì)另一個(gè)確定參數(shù)方法——測(cè)試分析將模型改記作只需預(yù)計(jì)a,b理論上，已知t=184,n=6061,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可實(shí)際上，因?yàn)闇y(cè)試有誤差，最好用足夠多數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：

t020406080n0000114127603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編47文庫(kù)專用第47頁(yè)模型檢驗(yàn)應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出問(wèn)題：由模型算得n=4450時(shí)t=116.4分，剩下錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘節(jié)目。揭示了“t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄像帶狀態(tài)改變時(shí)，只需重新預(yù)計(jì)a,b即可。第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編48文庫(kù)專用第48頁(yè)2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問(wèn)題雙層玻璃窗與一樣多材料單層玻璃窗相比，降低多少熱量損失假設(shè)熱量傳輸只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)熱量

T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.3雙層玻璃窗功效第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編49文庫(kù)專用第49頁(yè)dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃外側(cè)溫度Tb~外層玻璃內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣熱傳導(dǎo)系數(shù)建模第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編50文庫(kù)專用第50頁(yè)記單層玻璃窗傳導(dǎo)熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對(duì)Q1比Q2降低許作最保守預(yù)計(jì)，取k1/k2=16建模第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編51文庫(kù)專用第51頁(yè)hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與一樣多材料單層玻璃窗相比，可降低97%熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是因?yàn)閷娱g空氣極低熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間經(jīng)過(guò)天花板、墻壁……損失熱量更多。雙層窗功效不會(huì)如此之大第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編52文庫(kù)專用第52頁(yè)問(wèn)題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高需要，約定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X數(shù)量為x0,乙占有Y數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對(duì)X,Y偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p(x,y)都是一個(gè)交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.7實(shí)物交換第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編53文庫(kù)專用第53頁(yè)xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲無(wú)差異曲線分析與建模假如甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)含有一樣滿意程度，即p1,p2對(duì)甲是無(wú)差異，MN將全部與p1,p2無(wú)差異點(diǎn)連接起來(lái)，得到一條無(wú)差異曲線MN,

線上各點(diǎn)滿意度相同,線形狀反應(yīng)對(duì)X,Y偏愛(ài)程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿意度更高點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差異曲線M1N1上。于是形成一族無(wú)差異曲線（無(wú)數(shù)條）。第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編54文庫(kù)專用第54頁(yè)p1.p2.c1

y0xf(x,y)=c1無(wú)差異曲線族性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)減(x增加,y減小)下凸(凸向原點(diǎn))互不相交在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多

y換取較少x;在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多

x換取較少y。甲無(wú)差異曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編55文庫(kù)專用第55頁(yè)xyOg(x,y)=c2c2

乙無(wú)差異曲線族g(x,y)=c2含有相同性質(zhì)（形狀能夠不一樣）雙方交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙無(wú)差異曲線族g=c2

(坐標(biāo)系x’O’y’,且反向）甲無(wú)差異曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意交換方案必在AB（交換路徑）上因?yàn)樵贏B外任一點(diǎn)p’,(雙方)滿意度低于AB上點(diǎn)p兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編56文庫(kù)專用第56頁(yè)ABp交換方案深入確定交換方案~交換后甲占有量(x,y)0

x

x0,0

y

y0矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路徑AB雙方無(wú)差異曲線族等價(jià)交換標(biāo)準(zhǔn)X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換標(biāo)準(zhǔn)下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點(diǎn)連線CDAB與CD交點(diǎn)p設(shè)X單價(jià)a,Y單價(jià)b,則等價(jià)交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編57文庫(kù)專用第57頁(yè)第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型3.2生豬出售時(shí)機(jī)3.3森林救火3.4最優(yōu)價(jià)格3.6消費(fèi)者均衡數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編58文庫(kù)專用第58頁(yè)現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))建立靜態(tài)優(yōu)化模型關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目標(biāo)確定恰當(dāng)目標(biāo)函數(shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型普通用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編59文庫(kù)專用第59頁(yè)3.2生豬出售時(shí)機(jī)喂養(yǎng)場(chǎng)天天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，預(yù)計(jì)可使80千克重生豬體重增加2千克。問(wèn)題市場(chǎng)價(jià)格當(dāng)前為每千克8元，不過(guò)預(yù)測(cè)天天會(huì)降低0.1元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售。假如預(yù)計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間降低，故存在最正確出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編60文庫(kù)專用第60頁(yè)求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤(rùn)20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價(jià)格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤(rùn)Q=R-C=pw-C預(yù)計(jì)r=2，若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編61文庫(kù)專用第61頁(yè)敏感性分析研究r,g改變時(shí)對(duì)模型結(jié)果影響預(yù)計(jì)r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對(duì)r（相對(duì)）敏感度生豬天天體重增加量r增加1%，出售時(shí)間推遲3%。rt第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編62文庫(kù)專用第62頁(yè)敏感性分析預(yù)計(jì)r=2，g=0.1研究r,g改變時(shí)對(duì)模型結(jié)果影響設(shè)r=2不變t對(duì)g（相對(duì)）敏感度生豬價(jià)格天天降低量g增加1%，出售時(shí)間提前3%。gt第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編63文庫(kù)專用第63頁(yè)健壯性分析保留生豬直到利潤(rùn)增值等于天天費(fèi)用時(shí)出售由S(t,r)=3提議過(guò)一周后(t=7)重新預(yù)計(jì),再作計(jì)算。研究r,g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果影響w=80+rt

w=w(t)p=8-gt

p=p(t)若(10%),則（30%）天天利潤(rùn)增值天天投入資金第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編64文庫(kù)專用第64頁(yè)3.3森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問(wèn)題分析問(wèn)題記隊(duì)員人數(shù)x,失火時(shí)刻t=0,開(kāi)始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).損失費(fèi)f1(x)是x減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.救援費(fèi)f2(x)是x增函數(shù),由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)x，使f1(x),f2(x)之和最小第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編65文庫(kù)專用第65頁(yè)關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理簡(jiǎn)化假設(shè).問(wèn)題分析失火時(shí)刻t=0,開(kāi)始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,畫出時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編66文庫(kù)專用第66頁(yè)模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）1）0

t

t1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢(shì)蔓延速度）2）t1

t

t2,

降為-x

(

為隊(duì)員平均滅火速度）4）每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3假設(shè)1）解釋

rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四面呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編67文庫(kù)專用第67頁(yè)模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編68文庫(kù)專用第68頁(yè)模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延最少隊(duì)員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,

,

為已知參數(shù)第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編69文庫(kù)專用第69頁(yè)模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可預(yù)計(jì),

c2

x

c1,t1,

x

c3,

x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費(fèi),c2~每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi),c3~每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用,t1~開(kāi)始救火時(shí)刻,~火勢(shì)蔓延速度,~每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為何?

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量x第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編70文庫(kù)專用第70頁(yè)3.4最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題依據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷量，記作x2）收入與銷量x成正比，系數(shù)p即價(jià)格3）支出與產(chǎn)量x成正比，系數(shù)q即成本4）銷量x依賴于價(jià)格p,x(p)是減函數(shù)建模與求解收入支出利潤(rùn)深入設(shè)求p使U(p)最大第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編71文庫(kù)專用第71頁(yè)使利潤(rùn)U(p)最大最優(yōu)價(jià)格p*滿足最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)到達(dá)建模與求解邊際收入邊際支出第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編72文庫(kù)專用第72頁(yè)結(jié)果解釋

q/2~成本二分之一

b~價(jià)格上升1單位時(shí)銷量下降幅度（需求對(duì)價(jià)格敏感度）

a~絕對(duì)需求(

p很小時(shí)需求)b

p*

a

p*

思索：怎樣得到參數(shù)a,b?第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編73文庫(kù)專用第73頁(yè)q2U(q1,q2)=cq103.6消費(fèi)者均衡問(wèn)題消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品偏愛(ài)程度用無(wú)差異曲線族表示，問(wèn)他怎樣分配一定數(shù)量錢，購(gòu)置這兩種商品，以到達(dá)最大滿意度。設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2,消費(fèi)者無(wú)差異曲線族(單調(diào)減、下凸、不相交），記作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函數(shù)已知甲乙價(jià)格p1,p2,有錢s，試分配s,購(gòu)置甲乙數(shù)量q1,q2,使U(q1,q2)最大.第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編74文庫(kù)專用第74頁(yè)s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型及求解已知價(jià)格p1,p2,錢s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大幾何解釋直線MN:最優(yōu)解Q:MN與l2切點(diǎn)斜率·MQN··第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編75文庫(kù)專用第75頁(yè)結(jié)果解釋——邊際效用消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品邊際效用之比恰等于它們價(jià)格之比時(shí)到達(dá)。效用函數(shù)U(q1,q2)應(yīng)滿足條件A.U(q1,q2)=c

所確定函數(shù)q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸解釋B實(shí)際意義第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編76文庫(kù)專用第76頁(yè)效用函數(shù)U(q1,q2)幾個(gè)慣用形式消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)置兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比平方根成正比。

U(q1,q2)中參數(shù),分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品偏愛(ài)程度。第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編77文庫(kù)專用第77頁(yè)購(gòu)置兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。

U(q1,q2)中參數(shù),分別表示對(duì)甲乙偏愛(ài)程度。思索：怎樣推廣到m(>2)種商品情況效用函數(shù)U(q1,q2)幾個(gè)慣用形式第三章簡(jiǎn)單優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編78文庫(kù)專用第78頁(yè)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

4.3

汽車生產(chǎn)與原油采購(gòu)4.5飲料廠生產(chǎn)與檢修數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編79文庫(kù)專用第79頁(yè)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

實(shí)際問(wèn)題中優(yōu)化模型x~決議變量f(x)~目標(biāo)函數(shù)gi(x)0~約束條件多元函數(shù)條件極值決議變量個(gè)數(shù)n和約束條件個(gè)數(shù)m較大最優(yōu)解在可行域邊界上取得數(shù)學(xué)規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點(diǎn)在模型建立和結(jié)果分析第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編80文庫(kù)專用第80頁(yè)假如生產(chǎn)某一類型汽車，則最少要生產(chǎn)80輛，那么最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃應(yīng)作何改變？例1汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃汽車廠生產(chǎn)三種類型汽車，已知各類型每輛車對(duì)鋼材、勞動(dòng)時(shí)間需求，利潤(rùn)及工廠每個(gè)月現(xiàn)有量。小型中型大型現(xiàn)有量鋼材（噸）1.535600勞動(dòng)時(shí)間（小時(shí)）28025040060000利潤(rùn)（萬(wàn)元）234制訂月生產(chǎn)計(jì)劃，使工廠利潤(rùn)最大。4.3

汽車生產(chǎn)與原油采購(gòu)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編81文庫(kù)專用第81頁(yè)設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)小、中、大型汽車數(shù)量分別為x1,x2,x3汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃模型建立

小型中型大型現(xiàn)有量鋼材1.535600時(shí)間28025040060000利潤(rùn)234線性規(guī)劃模型(LP)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編82文庫(kù)專用第82頁(yè)模型求解

3）

模型中增加條件：x1,x2,x3

均為整數(shù)，重新求解。

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X164.5161290.000000

X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226結(jié)果為小數(shù)，怎么辦？1）舍去小數(shù)：取x1=64，x2=167，算出目標(biāo)函數(shù)值z(mì)=629，與LP最優(yōu)值632.2581相差不大。2）試探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計(jì)算函數(shù)值z(mì)，經(jīng)過(guò)比較可能得到更優(yōu)解。但必須檢驗(yàn)它們是否滿足約束條件。為何？第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編83文庫(kù)專用第83頁(yè)IP可用LINDO直接求解整數(shù)規(guī)劃(IntegerProgramming,簡(jiǎn)記IP)“gin3”表示“前3個(gè)變量為整數(shù)”，等價(jià)于：ginx1ginx2ginx3IP最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值z(mì)=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3<600280x1+250x2+400x3<60000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解

IP結(jié)果輸出第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編84文庫(kù)專用第84頁(yè)其中3個(gè)子模型應(yīng)去掉，然后逐一求解，比較目標(biāo)函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：方法1：分解為8個(gè)LP子模型汽車廠生產(chǎn)計(jì)劃若生產(chǎn)某類汽車，則最少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。x1,x2,,x3=0或80

x1=80，x2=150，x3=0，最優(yōu)值z(mì)=610第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編85文庫(kù)專用第85頁(yè)LINDO中對(duì)0-1變量限定：inty1inty2inty3方法2：引入0-1變量，化為整數(shù)規(guī)劃

M為大正數(shù)，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X180.000000-2.000000

X2150.000000-3.000000

X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000若生產(chǎn)某類汽車，則最少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最優(yōu)解同前

第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編86文庫(kù)專用第86頁(yè)NLP即使可用現(xiàn)成數(shù)學(xué)軟件求解(如LINGO,MATLAB)，不過(guò)其結(jié)果常依賴于初值選擇。方法3：化為非線性規(guī)劃

非線性規(guī)劃（Non-LinearProgramming，簡(jiǎn)記NLP）

實(shí)踐表明，本例僅當(dāng)初值非?？拷厦娣椒ㄋ愠鲎顑?yōu)解時(shí)，才能得到正確結(jié)果。

若生產(chǎn)某類汽車，則最少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編87文庫(kù)專用第87頁(yè)應(yīng)怎樣安排原油采購(gòu)和加工

？

例2原油采購(gòu)與加工市場(chǎng)上可買到不超出1500噸原油A：購(gòu)置量不超出500噸時(shí)單價(jià)為10000元/噸；購(gòu)置量超出500噸但不超出1000噸時(shí)，超出500噸部分8000元/噸；購(gòu)置量超出1000噸時(shí)，超出1000噸部分6000元/噸。售價(jià)4800元/噸售價(jià)5600元/噸庫(kù)存500噸庫(kù)存1000噸汽油甲(A

50%)原油A原油B汽油乙(A

60%)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編88文庫(kù)專用第88頁(yè)決議變量

目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題分析利潤(rùn)：銷售汽油收入-購(gòu)置原油A支出難點(diǎn)：原油A購(gòu)價(jià)與購(gòu)置量關(guān)系較復(fù)雜甲(A

50%)AB乙(A

60%)購(gòu)置x

x11x12x21x224.8千元/噸5.6千元/噸原油A購(gòu)置量,原油A,B生產(chǎn)汽油甲,乙數(shù)量c(x)~購(gòu)置原油A支出利潤(rùn)(千元)c(x)怎樣表述？第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編89文庫(kù)專用第89頁(yè)原油供給

約束條件x

500噸單價(jià)為10千元/噸；500噸

x

1000噸，超出500噸8千元/噸；1000噸

x

1500噸，超出1000噸6千元/噸。目標(biāo)函數(shù)購(gòu)置x

ABx11x12x21x22庫(kù)存500噸庫(kù)存1000噸第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編90文庫(kù)專用第90頁(yè)目標(biāo)函數(shù)中c(x)不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃；對(duì)于用分段函數(shù)定義c(x)，普通非線性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解；想方法將模型化簡(jiǎn)，用現(xiàn)成軟件求解。

汽油含原油A百分比限制約束條件甲(A

50%)AB乙(A

60%)x11x12x21x22第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編91文庫(kù)專用第91頁(yè)x1,x2,x3~以價(jià)格10,8,6(千元/噸)采購(gòu)A噸數(shù)目標(biāo)函數(shù)

只有當(dāng)以10千元/噸價(jià)格購(gòu)置x1=500(噸)時(shí)，才能以8千元/噸價(jià)格購(gòu)置x2方法1

非線性規(guī)劃模型，能夠用LINGO求解模型求解x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

500噸

x

1000噸，超出500噸8千元/噸增加約束x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編92文庫(kù)專用第92頁(yè)方法1：LINGO求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12<x+500;x21+x22<1000;x11-x21>0;2*x12-3*x22>0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1<500;x2<500;x3<500;x>0;x11>0;x12>0;x21>0;x22>0;x1>0;x2>0;x3>0;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到是局部最優(yōu)解，還能得到更加好解嗎？

用庫(kù)存500噸原油A、500噸原油B生產(chǎn)汽油甲，不購(gòu)置新原油A，利潤(rùn)為4,800千元。

第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編93文庫(kù)專用第93頁(yè)y1,y2,y3=1~以價(jià)格10,8,6(千元/噸)采購(gòu)A增加約束方法2

0-1線性規(guī)劃模型，可用LINDO求解y1,y2,y3=0或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000購(gòu)置1000噸原油A，與庫(kù)存500噸原油A和1000噸原油B一起，生產(chǎn)汽油乙，利潤(rùn)為5,000千元。x1,x2,x3~以價(jià)格10,8,6(千元/噸)采購(gòu)A噸數(shù)y=0x=0x>0

y=1優(yōu)于方法1結(jié)果第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編94文庫(kù)專用第94頁(yè)b1b2

b3

b4方法3

b1

x

b2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z2

0,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x190005000050010001500b2

x

b3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3

0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3

x

b4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4

0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接處理處理分段線性函數(shù)c(x)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編95文庫(kù)專用第95頁(yè)IP模型，LINDO求解，得到結(jié)果與方法2相同.處理分段線性函數(shù)，方法3更具普通性bk

x

bk+1

yk=1,不然,yk=0方法3

bk

x

bk+1,x=zkbk+zk+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+1

0,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x190005000050010001500b1b2

b3

b4對(duì)于k=1,2,3第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編96文庫(kù)專用第96頁(yè)4.5飲料廠生產(chǎn)與檢修單階段生產(chǎn)計(jì)劃多階段生產(chǎn)計(jì)劃生產(chǎn)批量問(wèn)題企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃考慮與產(chǎn)量無(wú)關(guān)固定費(fèi)用給優(yōu)化模型求解帶來(lái)新困難外部需求和內(nèi)部資源隨時(shí)間改變第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編97文庫(kù)專用第97頁(yè)安排生產(chǎn)計(jì)劃,滿足每七天需求,使4周總費(fèi)用最小。存貯費(fèi):每七天每千箱飲料0.2千元。例1飲料廠生產(chǎn)與檢修計(jì)劃在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能力，能使檢修后每七天增產(chǎn)5千箱，檢修應(yīng)排在哪一周?

周次需求量(千箱)生產(chǎn)能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5累計(jì)100135

某種飲料4周需求量、生產(chǎn)能力和成本第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編98文庫(kù)專用第98頁(yè)問(wèn)題分析除第4周外每七天生產(chǎn)能力超出每七天需求；生產(chǎn)成本逐周上升；前幾周應(yīng)多生產(chǎn)一些。周次需求能力11530225403354542520累計(jì)100135成本5.05.15.45.5

飲料廠在第1周開(kāi)始時(shí)沒(méi)有庫(kù)存；從費(fèi)用最小考慮,第4周末不能有庫(kù)存；周末有庫(kù)存時(shí)需支出一周存貯費(fèi)；每七天末庫(kù)存量等于下周初庫(kù)存量。模型假設(shè)

第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編99文庫(kù)專用第99頁(yè)目標(biāo)函數(shù)約束條件產(chǎn)量、庫(kù)存與需求平衡決議變量

能力限制非負(fù)限制模型建立x1~x4：第1~4周生產(chǎn)量y1~y3：第1~3周末庫(kù)存量周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5存貯費(fèi):0.2(千元/周?千箱)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編100文庫(kù)專用第100頁(yè)模型求解

4周生產(chǎn)計(jì)劃總費(fèi)用為528(千元)最優(yōu)解：x1~x4：15，40，25，20；

y1~y3：

0，15，5.周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5產(chǎn)量15402520庫(kù)存01550LINDO求解第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編101文庫(kù)專用第101頁(yè)檢修計(jì)劃0-1變量wt：wt=1~檢修安排在第t周(t=1,2,3,4）在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能力，能使檢修后每七天增產(chǎn)5千箱，檢修應(yīng)排在哪一周?

檢修安排在任一周均可周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5約束條件能力限制產(chǎn)量、庫(kù)存與需求平衡條件不變第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編102文庫(kù)專用第102頁(yè)增加約束條件：檢修1次檢修計(jì)劃目標(biāo)函數(shù)不變0-1變量wt：wt=1~檢修安排在第t周(t=1,2,3,4）LINDO求解總費(fèi)用由528千元降為527千元檢修所造成生產(chǎn)能力提升作用,需要更長(zhǎng)時(shí)間才能得到充分表達(dá)。最優(yōu)解：w1=1,w2,w3,

w4=0;x1~x4：15,45,15,25；

y1~y3：0,20,0.第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編103文庫(kù)專用第103頁(yè)例2飲料生產(chǎn)