函數(shù)模型的應(yīng)用同步訓(xùn)練 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用（同步訓(xùn)練）一、選擇題1.某種植物生長(zhǎng)發(fā)育的數(shù)量y與時(shí)間x的關(guān)系如下表所示．x123…y125…下面的函數(shù)關(guān)系式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是()A.y＝log2(x＋1)B.y＝2x－1C.y＝2x－1D.y＝(x－1)2＋12.某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a，如果保持5%的年增長(zhǎng)率，那么經(jīng)過x年(x∈N*)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿足()A.y＝a(1＋5%x)B.y＝a＋5%C.y＝a(1＋5%)x－1D.y＝a(1＋5%)x3．sigmoid函數(shù)f(t)＝eq\f(K,1＋eg(t))是描述在資源有限的條件下種群增長(zhǎng)規(guī)律的一個(gè)最佳數(shù)學(xué)模型．某研究所根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了一種病毒的sigmoid函數(shù)模型f(t)＝eq\f(K,1＋e－0.2(t－63))，當(dāng)f(t*)＝0.9K時(shí)，病毒增長(zhǎng)達(dá)到最大，則t*約為(ln9≈2.2)()A.90B.83C.74D.634.“紅豆生南國(guó)，春來發(fā)幾枝？”如圖給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖．那么紅豆生長(zhǎng)時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系用下列函數(shù)模型擬合最好的是()A.指數(shù)函數(shù)：y＝2tB.對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝log2tC.冪函數(shù)：y＝t3D.二次函數(shù)：y＝2t25.已知某物體的溫度θ(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：min)的變化規(guī)律是θ＝2t＋1＋21－t(t≥0)，則當(dāng)物體的溫度為5℃時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間t＝()A.eq\f(1,2)B.1C.eq\f(3,2)D.26.如果某工廠12月份的產(chǎn)量是1月份產(chǎn)量的7倍，那么該工廠這一年中的月平均增長(zhǎng)率是()A.eq\f(7,11)B.eq\f(7,12)C.－1D.－17.某市的房?jī)r(jià)(均價(jià))經(jīng)過6年時(shí)間從1200元/m2增加到了4800元/m2，則這6年間平均每年的增長(zhǎng)率是()A.600元B.50%C.－1D.＋18.衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)去的新丸體積為a，經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為：V＝a·e－kt．已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)a．若一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過的天數(shù)為()A.125B.100C.75D.509.(多選)假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如圖所示，橫軸為投資時(shí)間，縱軸為回報(bào)．根據(jù)以上信息，若使回報(bào)最多，下列說法正確的是()A.投資3天以內(nèi)(含第3天)，采用方案一B.投資4天，不采用方案三C.投資6天，采用方案二D.投資10天，采用方案二 二、填空題10.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是________(lg2≈0.3010)．11.某種動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(單位：只)與時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系式為y＝alog2(x＋1)，若這種動(dòng)物第1年有100只，則到第7年它們發(fā)展到________只．12.某商品價(jià)格y(單位：元)因上架時(shí)間x(單位：天)的不同而不同，假定商品的價(jià)格與上架時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是一種指數(shù)型函數(shù)，即y＝k·ax(a＞0且a≠1)，x∈N*．當(dāng)商品上架第1天的價(jià)格為96元，而上架第3天的價(jià)格為54元，則該商品上架第4天的價(jià)格為________元．13.已知某個(gè)病毒經(jīng)30min可繁殖為原來的2倍，且病毒的繁殖規(guī)律為y＝ekt(其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間，單位：h，y表示病毒個(gè)數(shù))，則k＝________，經(jīng)過5h，1個(gè)病毒能繁殖________個(gè)．三、解答題14.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要20min，那么降溫到35℃，需要多長(zhǎng)時(shí)間(結(jié)果精確到0.1)?15.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少eq\f(1,3)，問：至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求？(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)16.大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)，單位是m/s，θ是表示魚的耗氧量的單位數(shù)．(1)當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？(2)某條鮭魚想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？參考答案及解析：一、選擇題1.D解析：代入數(shù)值檢驗(yàn)，把x＝2代入可排除A，B，C，把x＝1，2，3代入D選項(xiàng)，符合題意．2.D解析：經(jīng)過1年，y＝a(1＋5%)；經(jīng)過2年，y＝a(1＋5%)2；…；經(jīng)過x年，y＝a(1＋5%)x．3.C解析：由題意得f(t*)＝eq\f(K,1＋e－0.2(t*－63))＝0.9K，整理得eq\f(1,1＋e－0.2(t*－63))＝0.9，即e－0.2(t*－63)＝eq\f(1,9)，可得－0.2(t*－63)＝－ln9≈－2.2，解得t*＝74．4.A解析：由題意知函數(shù)的圖象在第一象限是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，并且增長(zhǎng)速度很快，符合指數(shù)型函數(shù)模型，且圖象過點(diǎn)(1，2)，所以圖象由指數(shù)函數(shù)來模擬比較好．5.B解析：θ＝2t＋1＋21－t＝2．當(dāng)θ＝5時(shí)，2t＋eq\f(1,2t)＝eq\f(5,2)．令2t＝x(x≥1)，則x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq\f(1,2)(舍去)，此時(shí)t＝1．6.D解析：設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x，1月份的產(chǎn)量為a，則有a(1＋x)11＝7a，則1＋x＝，故x＝－1．故選D．7.C解析：設(shè)6年間平均年增長(zhǎng)率為x，則有1200(1＋x)6＝4800，解得x＝－1．故選C．8.C解析：由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝．設(shè)經(jīng)過t1天后，一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則eq\f(8,27)a＝a·，∴eq\f(8,27)＝＝，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75．故選C．9.ABC解析：由圖可以看出，從每天回報(bào)看，在第一天到第三天，方案一最多，故A正確；在第四天，方案一、二一樣多，方案三最少，故B正確；在第五天到第八天，方案二最多，故C正確；第九天開始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，故D不正確．故選ABC． 二、填空題10.答案：4解析：設(shè)至少要洗x次，則≤eq\f(1,100)，所以x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，所以至少需清洗4次．11.答案：300解析：由題意，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，當(dāng)x＝7時(shí)，y＝100log2(7＋1)＝300，故到第7年它們發(fā)展到300只．12.答案：40.5解析：由題意得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k×a1＝96，,k×a3＝54，))結(jié)合a＞0且a≠1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4)，,k＝128，))即y＝128×，則該商品上架第4天的價(jià)格為128×＝eq\f(81,2)＝40.5，即該商品上架第4天的價(jià)格為40.5元．13.答案：2ln2，1024解析：當(dāng)t＝0.5時(shí)，y＝2，∴2＝，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2．當(dāng)t＝5時(shí)，y＝e10ln2＝210＝1024．三、解答題14.解：由題意知40－24＝(88－24)，即eq\f(1,4)＝．解得h＝10，故T－24＝(88－24)·．當(dāng)T＝35時(shí)，代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝eq\f(11,64)．兩邊取對(duì)數(shù)，解得t≈25.4．因此約需要25.4min咖啡可降溫到35℃．15.解：依題意，設(shè)過濾n次，得eq\f(2,100)×≤eq\f(1,1000)，即≤eq\f(1,20)，則n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4．又因?yàn)閚∈N，所以至少要過濾8次才能達(dá)到市場(chǎng)要求．16.解：(1)由v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)可知，當(dāng)θ＝900時(shí)，v＝