教案空間直線(xiàn)、平面的平行-教案課件-人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)

空間直線(xiàn)、平面的平行

【第一課時(shí)】

直線(xiàn)與直線(xiàn)平行

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解基本事實(shí)4,并會(huì)用它解決兩直線(xiàn)平行問(wèn)題

2.理解定理的內(nèi)容，套用定理解決角相等或互補(bǔ)問(wèn)題

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.基本事實(shí)4

2.等角定理

【教學(xué)過(guò)程】

一、問(wèn)題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：

1.基本事實(shí)4的內(nèi)容是什么？

2.定理的內(nèi)容是什么？

二、基礎(chǔ)知識(shí)

1.基本事實(shí)4

（1）平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)壬丘.這一性質(zhì)通常叫做平行線(xiàn)的傳遞

a//b

性.（2）符號(hào)表示：\=>a//c.

b//c.

2.等角定理

如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

名師點(diǎn)撥

定理實(shí)質(zhì)上是由如下兩個(gè)結(jié)論組合成的：①若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩

邊分別平行且方向都相同（或方向都相反），則這兩個(gè)角相等；②若一個(gè)角的兩

邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)應(yīng)邊方向相同，另一組對(duì)應(yīng)邊方向相反，

則這兩個(gè)角互補(bǔ).

三、新知探究

探究^5?___________

基本事實(shí)4的應(yīng)用

例1：如圖，E,?分別是長(zhǎng)方體ABCD-AiBiC箕的棱AiA,GC的中點(diǎn).求

證：四邊形81即尸為平行四邊形.

【證明】如圖所示，取?？诘闹悬c(diǎn)Q,連接E。，QG.

因?yàn)镋是A4i的中點(diǎn)，所以E。幺AMi.

因?yàn)樵诰匦蜛iBCQi中，

所以EQ幺BG，

所以四邊形EQGBi為平行四邊形，所以SE幺GQ.

又Q，尸分別是。。，GC的中點(diǎn),

所以。。幺GF,

所以四邊形。QCF為平行四邊形,

所以C\QJUD.

又BIEZCIQ,所以尸D.

故四邊形BiEDF為平行四邊形.

［規(guī)律方法］

證明空間中兩條直線(xiàn)平行的方法

(1)利用平面幾何的知識(shí)(三角形與梯形的中位線(xiàn)、平行四邊形的性質(zhì)、

平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等)來(lái)證明.

(2)利用基本事實(shí)4即找到一條直線(xiàn)c,使得?！╟,同時(shí)b〃c,由基本事

實(shí)4得到a〃b.

探究點(diǎn)&L

定理的應(yīng)用

例2：如圖所示，不共面的三條射線(xiàn)04OB,0C,點(diǎn)4,

B\,G分別是。4,OB,0C上的點(diǎn)，且第=嘿=等

(7/1UD(7C

求證：△4BiGs△ABC.

【證明】在△0AB中，因?yàn)榈?黑,所以

U/iUD

同理可證4G〃AC,B\C\//BC.R

所以NGAiB］=NCAB,ZA\B\C\=ZABC.

所以△48Qs△ABC.

［規(guī)律方法］

運(yùn)用定理判定兩個(gè)角是相等還是互補(bǔ)的途徑有兩種：一是判定兩個(gè)角的方向

是否相同；二是判定這兩個(gè)角是否都為銳角或都為鈍角，若都為銳角或都為鈍角

則相等，反之則互補(bǔ).

【課堂檢測(cè)】

1.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-48GD1中，M是AO的中點(diǎn)，N

是BiG的中點(diǎn)，求證：CM//A1N.

證明:取的中點(diǎn)P,連接GP,MP,則4尸

又N為MC的中點(diǎn),BiCi^AiDi，

所以GN幺以1,四邊形力WG為平行四邊形，A\N//C\P.

又由PM幺。。?幺CG，得CP〃CM.所以CM〃4N.

2.如圖，已知直線(xiàn)a,8為異面直線(xiàn)，A,B,C為直線(xiàn)a上三點(diǎn)，D,E,F

為直線(xiàn)匕上三點(diǎn)，4,B',C,D',E分別為AO,DB,BE,EC,CT的中點(diǎn).求

證：NA'B'C'=NC'D'E'.

證明：因?yàn)锳，，方分別是AO,OB的中點(diǎn)，所以AE〃/

同理同D'〃a,B'C'//b,D'E'//b,所以B'CZ/D'E'.

又NA5c的兩邊和NUDE的兩邊的方向都相同，

所以NA5C'=NCZ>'E'.

【第二課時(shí)】

直線(xiàn)與平面平行

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解直線(xiàn)與平面平行的定義，會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確

描述直線(xiàn)與平面平行的判定定理，會(huì)用直線(xiàn)與平面平行的判定定理證明一些空間

線(xiàn)面位置關(guān)系

2.理解并能證明直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理，明確定理的條件，能利用直

線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問(wèn)題

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.直線(xiàn)與平面平行的判定

2.直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)

【教學(xué)過(guò)程】

一、問(wèn)題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：

1.直線(xiàn)與平面平行的判定定理是什么？

2.直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理是什么？

二、基礎(chǔ)知識(shí)

1.直線(xiàn)與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平

文字語(yǔ)言

任，那么該直線(xiàn)與此平面平行

符號(hào)語(yǔ)言Ha,bua,且“〃〃上

--------a

圖形語(yǔ)言z一—

名師點(diǎn)撥

用該定理判斷直線(xiàn)a和平面a平行時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件:

(1)直線(xiàn)a在平面a外，即a<Ia.

(2)直線(xiàn)b在平面a內(nèi)，即/?ua.

(3)兩直線(xiàn)a,b平行，即

2.直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線(xiàn)的平面

文字語(yǔ)言

與此平面相交，那么該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行

符號(hào)語(yǔ)言a//a,auB，anB=b=a〃b

圖形語(yǔ)言

/b/

名師點(diǎn)撥

(1)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè):

①直線(xiàn)。與平面a平行，即.〃/

②平面a,4相交于一條直線(xiàn)，即an￡=A；

③直線(xiàn)a在平面尸內(nèi)，即。＜=民

以上三個(gè)條件缺一不可.

（2）定理的作用：

①線(xiàn)面平行=線(xiàn)線(xiàn)平行；

②畫(huà)一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.

（3）定理揭示了直線(xiàn)與平面平行中蘊(yùn)含著直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，即通過(guò)直線(xiàn)與

平面平行可得到直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，這給出了一種作平行線(xiàn)的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中

的轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

三、合作探究

探究點(diǎn)②____________________________

直線(xiàn)與平面平行的判定

例1：如圖，在正方體ABCO-AIBIG。中，E,F,G分別是

BC,CC\,88的中點(diǎn)，求證：￡尸〃平面AQiG.

【證明】連接8C，則由E,F分別是8C,CG的中點(diǎn)，知

EF//BC\.

又AB幺4囚幺DC，所以四邊形ABC。是平行四邊形,

所以BG〃A￡h，所以

又E/過(guò)平面ADiG,Adu平面AOiG,

所以EF〃平面AOiG.

［規(guī)律方法］

應(yīng)用判定定理證明線(xiàn)面平行的步驟

上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有:

①空間直線(xiàn)平行關(guān)系的傳遞性法;

②三角形中位線(xiàn)法；

③平行四邊形法；

④成比例線(xiàn)段法.

［提醒］線(xiàn)面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)

（1）條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線(xiàn)在平面外”.

（2）不能利用題目條件順利地找到兩平行直線(xiàn).

探究點(diǎn)且L

線(xiàn)面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

例2：如圖，P是平行四邊形ABCO所在平面外的一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn),

在。M上取一點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G和AP作平面，交平面8DM于GH.求證：AP//GH.

【證明】如圖，連接AC,交BD于點(diǎn)、0,連接M0.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以點(diǎn)。是AC的中點(diǎn).

又因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，

所以AP〃OM

又因?yàn)锳PC平面8DM,OMu平面

所以AP〃平面BDM.

因?yàn)槠矫嬉?GA平面BDM=GH,

APu平面訊”G,所以AP〃G”.

［規(guī)律方法］

利

用：蓄乏破不找一）-二秦差或年行至二不爭(zhēng)畝…：

線(xiàn)

面7

平

行

漏惠，良事或豆正泰看豆專(zhuān)正與■盲福

的

性5i

:交的平面

質(zhì)

定

理

解悟兔爰逅…

題

的

步

驟俑夜鹿口而好毛.............［

【課堂檢測(cè)】

1.已知人是平面a外的一條直線(xiàn)，下列條件中，可得出/7〃a的是（）

A.。與a內(nèi)的一條直線(xiàn)不相交

B.8與a內(nèi)的兩條直線(xiàn)不相交

C.b與a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)不相交

D.萬(wàn)與a內(nèi)的所有直線(xiàn)不相交

解析：選D.若人與a內(nèi)的所有直線(xiàn)不相交，即〃與a無(wú)公共點(diǎn)，故8〃a.

2.給出下列命題：

①如果一條直線(xiàn)不在平面內(nèi)，則這條直線(xiàn)就與這個(gè)平面平行；

②過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線(xiàn)平行；

③如果一條直線(xiàn)與平面平行，則它與平面內(nèi)的任何直線(xiàn)平行.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B.①中，直線(xiàn)可能與平面相交，故①錯(cuò)；②是正確的；③中，一條

直線(xiàn)與平面平行，則它與平面內(nèi)的直線(xiàn)平行或異面，故③錯(cuò).

3.三棱臺(tái)山Ci中，直線(xiàn)AB與平面48cl的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行

C.在平面內(nèi)D.不確定

解析：選B.在三棱臺(tái)48cAiBiCi中,AB//AiBx,ABC平面AliB,AiBg平

面48C，所以AB〃平面ABG.

4.如圖，直三棱柱ABC-ABG中，。是43的中點(diǎn).證明：8G〃平面4CD

證明：如圖，連接AG交4c于點(diǎn)F,則尸為AG的中點(diǎn).

又。是的中點(diǎn)，連接。F,則。尸〃AC.

因?yàn)椤=平面AC。，8G。平面4CO,所以BG〃平面4CD

【第三課時(shí)】

平面與平面平行

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解平面與平面平行的定義，會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確

描述平面與平面平行的判定定理，會(huì)用平面與平面平行的判定定理證明空間面面

位置關(guān)系

2.理解并能證明平面與平面平行的性質(zhì)定理，能利用平面與平面平行的性

質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問(wèn)題

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.平面與平面平行的判定

2.平面與平面平行的性質(zhì)

一、問(wèn)題導(dǎo)入

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：

1.面面平行的判定定理是什么？

2.面面平行的性質(zhì)定理是什么？

二、基礎(chǔ)知識(shí)

1.平面與平面5F行的判定定理

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行,

文字語(yǔ)言

那么這兩個(gè)平面平行

符號(hào)語(yǔ)言auB，bufj,a〃a,)〃a=>6〃a

圖形語(yǔ)言

/7

名師點(diǎn)撥

（1）平面與平面平行的判定定理中的平行于一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線(xiàn)”

是必不可少的.

（2）面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為

線(xiàn)面平行.

2.平面與平面平行的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相

文字語(yǔ)言

交，那么兩條交線(xiàn)平行

符號(hào)語(yǔ)言a//P，aC\y=a,/3C]y=b=>a//_h

圖形語(yǔ)言

/

名師點(diǎn)撥

(1)用該定理判斷直線(xiàn)。與。平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件:

①平面a和平面夕平行,即a〃夕；

②平面y和a相交，即aCly=a；

③平面？和/相交,即夕n尸尻

以上三個(gè)條件缺一不可.

(2)已知兩個(gè)平面平行，雖然一個(gè)平面內(nèi)的任何直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，

但是這兩個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)并不一定相互平行，它們可能是平行直線(xiàn)，也可能

是異面直線(xiàn)，但不可能是相交直線(xiàn).

(3)該定理提供了證明線(xiàn)線(xiàn)平行的另一種方法，應(yīng)用時(shí)要緊扣與兩個(gè)平行

平面都相交的第三個(gè)平面.

三、合作探究

探究點(diǎn)②____________________________

平面與平面平行的判定

例1：如圖所示，已知正方體ABC。A\B\C\D\.

(1)求證：平面〃平面BiDC；

(2)若E,尸分別是44”CC的中點(diǎn)，求證：平面EBOi〃

平面FBD.

【證明】(1)因?yàn)锽iB幺DDi，

所以四邊形BByDyD是平行四邊形，

所以又平面BQC，

BiDiU平面HDC所以80〃平面81Q1C

同理40〃平面BiDC

又AiDCBD=D,

所以平面A13?！ㄆ矫鍮\DxC.

(2)由8?！▏琛?，

得平面EB\D\.

取88的中點(diǎn)G,

連接AG,GF,

易得AE〃5G,

又因?yàn)锳E=8G,

所以四邊形AE8G是平行四邊形,

所以B\E//AG.

易得G/〃A。，又因?yàn)镚b=AO,

所以四邊形ADFG是平行四邊形，

所以AG所以8E〃OF,

所以O(shè)F〃平面EB\D\.

又因?yàn)??？凇?=。，

所以平面平面FBD.

［變條件］把本例（2）的條件改為“E,尸分別是44|與CG上的點(diǎn)，且AiE

=%法”，求F在何位置時(shí)，平面平面尸8。？

解：當(dāng)/滿(mǎn)足C/=；CG時(shí)，兩平面平行，下面給出證案_____

明：金1

在DiD上取點(diǎn)M,［/亡/。

且DM=^DD\,AB

連接AM,FM,

則AE^DyM,

從而四邊形AMDiE是平行四邊形.

所以D\E//AM.

同理，F(xiàn)M^CD,

又因?yàn)锳3幺C。，所以幺A3,

從而四邊形b是平行四邊形.所以AM〃8F.

即有D\E//BF.又8R=平面FBD,

。1版平面FBD,

所以〃平面FBD.

又BiB幺DiD,從而四邊形BBIDIO是平行四邊形.故而

又BOu平面EBO,8。/平面F8O,

從而8。1〃平面FBD,

又。

所以平面EBiDi〃平面FBD.

［規(guī)律方法］

證明面面平行的方法

(1)要證明兩平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線(xiàn)平行于

另一個(gè)平面即可.

(2)判定兩個(gè)平面平行與判定線(xiàn)面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即

先在一個(gè)面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線(xiàn)，若找不到再作輔助線(xiàn).

探究點(diǎn)酉__________________________

面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

例2：如圖所示，兩條異面直線(xiàn)3A,0c與兩平行平面a,4分別交于點(diǎn)8,

A和O,C,點(diǎn)M,N分別是AB,的中點(diǎn)，求證：〃平面a.

【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE〃C。交a于點(diǎn)E,取AE的

中點(diǎn)尸，連接MP,PN,BE,ED,BD,AC.

因?yàn)锳E〃C。，所以AE,CO確定平面AEQC.

則平面AEDCna=OE,AEDC^［i=AC,因?yàn)閍〃尸，

所以AC〃O￡

又P，N分別為AE,CO的中點(diǎn)，

所以PN〃DE,PNQa,DEs,所以PN〃a.

又M,P分別為A8,AE的中點(diǎn)，

所以且MEa,BEua.

所以MP〃a,因?yàn)镸PnPN=P,

所以平面MPN//a.

又MNu平面MPN,所以MN〃平面a.

1.［變條件］在本例中將M，N分別為AB,C。的中點(diǎn)換為M,N分別在線(xiàn)

段AbCO上，且A髭M=懸CN，其他不變.

證明：MN〃平面a./c/

證明：作AE〃C。交a于點(diǎn)E,連接AC,BD,如圖.

因?yàn)閍〃4且平面AEDC與平面a,4的交線(xiàn)分別為ED'

AC,所以AC〃皮＞,所以四邊形AEDC為平行四邊形，作NP

〃DE交AE于點(diǎn)P,

連接MP,BE,于是筮=募.

lyLJre.

又因?yàn)镸B_ND'加以而后所以MP//BE.

而B(niǎo)Eua,MRta,所以MP〃a.同理PN//a.

又因?yàn)镸PCNP=P,所以平面MPN〃平面a.

又MNu平面MPN,所以MN〃平面a.

2.［變條件、變問(wèn)法］兩條異面直線(xiàn)與三個(gè)平行平面a,夕，/分別交于4B,

C和。，E,F,求證：金=臆.

￡）CtLr

證明：連接A/7交平面夕于點(diǎn)

連接MB,ME,BE,AD,CF,因?yàn)閍〃4,

所以ME//AD.

所以區(qū)=迪

"以EFMF-

同理，BM//CF,

ABAM

所以~BC=~MF,

ABDE

即~BC~EF-

［規(guī)律方法］

應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟

〔審題看是否有平面與平面平行:

（JYS）_（找（或作）第三個(gè)平面與已知兩個(gè)平面相交:

--1確定交線(xiàn)位置;

——（得兩條交線(xiàn)互相平行［

［提醒］面面平行性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)：面面平行n線(xiàn)線(xiàn)平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.與

判定定理交替使用，可實(shí)現(xiàn)線(xiàn)面、線(xiàn)線(xiàn)、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化.

探究點(diǎn)庖L

平行關(guān)系的綜合問(wèn)題

，c

例3：在正方體ABC。AIBICQI中，如圖.人產(chǎn)2^^|'

(1)求證：平面〃平面C8￡＞；/I

(2)試找出體對(duì)角線(xiàn)AC與平面ABQi和平面CBO於】右。的

交點(diǎn)、E,F,并證明：A\E=EF=FC.

【解】(1)證明：因?yàn)樵谡襟wABC。AiBiGOi中，AD幺BiG，

所以四邊形AB\C\D是平行四邊形，

所以A8〃GD

又因?yàn)镃Qu平面CiBD,ABC平面CiBD.

所以AB〃平面G8D

同理31。1〃平面CiBD.

又因?yàn)锳B\^B\D\=5,ABC平面AB\D\,8D|U平面AB\D\，所以平面ABXD\

〃平面GBDn

以點(diǎn)E就是AC與平面ABMi的交點(diǎn)；

連接AC交BD于0,連接GO與AiC交于點(diǎn)凡則點(diǎn)/就是AiC與平面

CiBD的交點(diǎn).證明AiE=EF=FC的過(guò)程如下：

因?yàn)槠矫鍭iGCn平面ABQ1=EO1,

平面4GCn平面C\BD=C\F,

平面ABMi〃平面G8D,所以E0I〃GF

在△4GF中，。1是4cl的中點(diǎn)，

所以E是的中點(diǎn)，即4E=E/；

同理可證。尸〃4應(yīng)

所以E是CE的中點(diǎn)，

即Cb=RE,所以4|￡：=//=尸。.

［規(guī)律方法］

解決平行關(guān)系的綜合問(wèn)題的方法

(1)在遇到線(xiàn)面平行時(shí)，常需作出過(guò)已知直線(xiàn)與已知平面相交的輔助平面,

以便運(yùn)用線(xiàn)面平行的性質(zhì).

（2）要靈活應(yīng)用線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行和面面平行的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)相互聯(lián)系、

相互轉(zhuǎn)化.在解決立體幾何中的平行問(wèn)題時(shí)，一般都要用到平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.轉(zhuǎn)

化思想是解決這類(lèi)問(wèn)題的最有效的方法.

【課堂檢測(cè)】

1.已知a,4是兩個(gè)不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面a與平面

夕平行的是（）

A.平面a內(nèi)有一條直線(xiàn)與平面夕平行

B.平面a內(nèi)有兩條直線(xiàn)與平面夕平行

C.平面a內(nèi)有一條直線(xiàn)與平面夕內(nèi)的一條直線(xiàn)平行