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2024-2025學(xué)年四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三下學(xué)期高考考前質(zhì)量檢測試題三(5月模擬)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,角的對邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形2.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.3.已知直線過雙曲線C:的左焦點(diǎn)F,且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.4.已知拋物線:,直線與分別相交于點(diǎn),與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),若,則()A.3 B. C. D.5.函數(shù)的圖像大致為().A. B.C. D.6.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,且,過點(diǎn)的動直線與拋物線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.給出下列四個命題:①在拋物線上滿足條件的點(diǎn)僅有一個;②若是拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn),則的最小值為;③無論過點(diǎn)的直線在什么位置,總有;④若點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則三點(diǎn)在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.47.在中,為邊上的中線,為的中點(diǎn),且,,則()A. B. C. D.8.已知(),i為虛數(shù)單位,則()A. B.3 C.1 D.59.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù),,則()A. B. C. D.11.如圖,平面與平面相交于,,,點(diǎn),點(diǎn),則下列敘述錯誤的是()A.直線與異面B.過只有唯一平面與平行C.過點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D.過一定能作一平面與垂直12.用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動生成一個實(shí)數(shù),且每次生成每個實(shí)數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個實(shí)數(shù),則這3個實(shí)數(shù)都小于的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.四面體中,底面,,,則四面體的外接球的表面積為______14.若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動點(diǎn)Q,已知Q到底面的距離與Q到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,且動點(diǎn)Q的軌跡是拋物線,則當(dāng)二面角平面角的大小為時,k的值為______.15.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則____16.根據(jù)如圖所示的偽代碼,若輸出的的值為,則輸入的的值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,直線過橢圓的右焦點(diǎn),過的直線交橢圓于兩點(diǎn)(均異于左、右頂點(diǎn)).(1)求橢圓的方程;(2)已知直線,為橢圓的右頂點(diǎn).若直線交于點(diǎn),直線交于點(diǎn),試判斷是否為定值,若是,求出定值;若不是,說明理由.18.(12分)如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面與側(cè)面都是菱形,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.(12分)在中,角,,的對邊分別為,,,已知.(1)若,,成等差數(shù)列,求的值;(2)是否存在滿足為直角?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.20.(12分)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,判斷直線為參數(shù))與圓的位置關(guān)系.21.(12分)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:對于任意的n∈N*,都有Tn<.22.(10分)某商場以分期付款方式銷售某種商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為:2340.4其中,(Ⅰ)求購買該商品的3位顧客中,恰有2位選擇分2期付款的概率;(Ⅱ)商場銷售一件該商品,若顧客選擇分2期付款,則商場獲得利潤l00元,若顧客選擇分3期付款,則商場獲得利潤150元,若顧客選擇分4期付款,則商場獲得利潤200元.商場銷售兩件該商品所獲的利潤記為(單位:元)(?。┣蟮姆植剂?;(ⅱ)若,求的數(shù)學(xué)期望的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
利用正弦定理將邊化角,再由,化簡可得,最后分類討論可得;【詳解】解:因?yàn)樗运运运运援?dāng)時,為直角三角形;當(dāng)時即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=3.B【解析】
直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.4.C【解析】
根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點(diǎn)如圖,過A,M作準(zhǔn)線的垂直,垂足分別為C,D,過M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點(diǎn),所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率,常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.5.A【解析】
本題采用排除法:由排除選項(xiàng)D;根據(jù)特殊值排除選項(xiàng)C;由,且無限接近于0時,排除選項(xiàng)B;【詳解】對于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項(xiàng)D排除;對于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;對于選項(xiàng)B:當(dāng),且無限接近于0時,接近于,,此時.故選項(xiàng)B排除;故選項(xiàng):A本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.6.C【解析】
①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標(biāo);②:做關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為,通過分析可知當(dāng)三點(diǎn)共線時取最小值,由兩點(diǎn)間的距離公式,可求此時最小值;③:設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進(jìn)而可判斷三點(diǎn)在同一條直線上.【詳解】解:對于①,設(shè),由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點(diǎn)有二個,故①不正確;對于②,不妨設(shè),則關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為,故,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立,故②正確;對于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補(bǔ),所以,故③正確.對于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點(diǎn)在同一條直線上,故④正確.故選:C.本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了拋物線的性質(zhì),考查了直線方程,考查了兩點(diǎn)的斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個命題,結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.7.A【解析】
根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得,利用及,計算即可.【詳解】因?yàn)?所以,所以,故選:A本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量數(shù)量積的性質(zhì),屬于中檔題.8.C【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡得答案.【詳解】由,得,解得.故選:C.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.9.B【解析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時乘以,化簡整理得詳解:,故選B點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的??紗栴},屬于得分題,主要考查的方面有:復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,在運(yùn)算時注意符號的正、負(fù)問題.11.D【解析】
根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì),結(jié)合線面垂直的關(guān)系,對選項(xiàng)中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過只有唯一平面與平行,故正確.C.根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過不一定能作一平面與垂直,故錯誤.故選:D本題主要考查異面直線的定義,性質(zhì)以及線面關(guān)系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.12.C【解析】
由幾何概型的概率計算,知每次生成一個實(shí)數(shù)小于1的概率為,結(jié)合獨(dú)立事件發(fā)生的概率計算即可.【詳解】∵每次生成一個實(shí)數(shù)小于1的概率為.∴這3個實(shí)數(shù)都小于1的概率為.故選:C.本題考查獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率,考查學(xué)生基本的計算能力,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由題意畫出圖形,補(bǔ)形為長方體,求其對角線長,可得四面體外接球的半徑,則表面積可求.【詳解】解:如圖,在四面體中,底面,,,可得,補(bǔ)形為長方體,則過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為1,1,,則長方體的對角線長為,則三棱錐的外接球的半徑為1.其表面積為.故答案為:.本題考查多面體外接球表面積的求法,補(bǔ)形是關(guān)鍵,屬于中檔題.14.【解析】
二面角平面角為,點(diǎn)Q到底面的距離為,點(diǎn)Q到定直線得距離為d,則.再由點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,可得,由此可得,則由可求k值.【詳解】解:如圖,設(shè)二面角平面角為,點(diǎn)Q到底面的距離為,點(diǎn)Q到定直線的距離為d,則,即.∵點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,∴,則,∵動點(diǎn)Q的軌跡是拋物線,∴,即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得:().故答案為:.本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值,屬于中檔題.15.【解析】
當(dāng)時,由,解得,當(dāng)時,,兩式相減可得,即,可得數(shù)列是等比數(shù)列再求通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,兩式相減可得,即,即,故數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以.故答案為:本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系,還考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
算法的功能是求的值,根據(jù)輸出的值,分別求出當(dāng)時和當(dāng)時的值即可得解.【詳解】解:由程序語句知:算法的功能是求的值,當(dāng)時,,可得:,或(舍去);當(dāng)時,,可得:(舍去).綜上的值為:.故答案為:.本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序語句,根據(jù)語句判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)定值為0.【解析】
(1)根據(jù)直線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),即得c,再根據(jù)離心率得,(2)先設(shè)直線方程以及各點(diǎn)坐標(biāo),化簡,再聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入化簡得結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)橹本€過橢圓的右焦點(diǎn),所以,因?yàn)殡x心率為,所以,(2),設(shè)直線,則因此由得,所以,因此即本題考查橢圓方程以及直線與橢圓位置關(guān)系,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.18.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)取中點(diǎn),連,,由等邊三角形三邊合一可知,,即證.(2)以,,為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值.試題解析:(Ⅰ)證明:連,,則和皆為正三角形.取中點(diǎn),連,,則,,則平面,則(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,所以.如圖所示,分別以,,為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)椋?,所以取面的法向量取,則,平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.見解析【解析】
(1)因?yàn)椋?,成等差?shù)列,所以,由余弦定理可得,因?yàn)?,所以,即,所以.?)若B為直角,則,,由及正弦定理可得,所以,即,上式兩邊同時平方,可得,所以(*).又,所以,,所以,與(*)矛盾,所以不存在滿足為直角.20.直線與圓C相切.【解析】
首先把直線和圓轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程,進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用求出直線和圓的位置關(guān)系.【詳解】直線為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.圓轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為,轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式為,所以圓心到直線,的距離.直線與圓C相切.本題考查的知識要點(diǎn):參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,直線與圓的位置關(guān)系式的應(yīng)用,點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.21.(1)(2)見解析【解析】
(1)因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足:,所以當(dāng)時,,即解得或,因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng),所以,因?yàn)?,所以,解得或,因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng),所以,當(dāng)時,有,所以,解得,當(dāng)時,,符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式,;(2)因?yàn)?,所以,所以?shù)列的前項(xiàng)和為:,當(dāng)時,有,所以,所以對于任意,數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(Ⅰ)0.288(Ⅱ)(?。┮娊馕觯áⅲ?shù)學(xué)期望的最大值為280【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意,設(shè)購買該商品的3位顧客中,選擇分2期付款的人數(shù)為,由獨(dú)立重復(fù)事件的特點(diǎn)得出,利用二項(xiàng)分布的概率公式,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)(ⅰ)依題意,的取值為200,250,300,350
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