2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊學(xué)案：14.4.2用樣本估計總體的離散程度參數(shù)

14.4.2用樣本估計總體的離散程度參數(shù)

課程1.結(jié)合實例?能用樣本估it總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方不、極差).

標(biāo)準(zhǔn)2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.

區(qū)基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)砥

概念認(rèn)知

1,一組數(shù)據(jù)的極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差

⑴一組數(shù)據(jù)的極差

我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差.

(2)樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差

2

設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)X],X2，…，xn,其平均數(shù)為7，則稱S=

￥擊一方為這個樣本的方差?其算術(shù)平方根S=

為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別簡稱樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

(3)一個方差的計算公式

一般地，若取值為X],X2,,Xn的頻率分別為Pl,P2,…，Pn,則

222

其方差為P1(X1—X)+p2(X2-X)+...+pn(Xn-X).

2.分層抽樣數(shù)據(jù)的方差

一般地，如果總體分為k層，第j層抽取的樣本為Xji,Xj2,,xjn.

第j層的樣本量為n.j,樣本平均數(shù)為x」,樣本方差為s；J=1,2，…，

k.記=n那么所有數(shù)據(jù)的樣本方差為葭=ItZ(X,-x)*12=

j=inj=ii=i

-Xnj[s；+(Xj—x)2].

nj=i

自我小測

1.某校為了豐富校園文化，舉行初中生書法大賽，決賽設(shè)置了6個

獲獎名額，共有11名選手進入決賽，選手決賽得分均不相同.若知

道某位選手的決賽的得分，要判斷他是否獲獎，只需知道這11名學(xué)

生決賽得分的()

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.眾數(shù)D.方差

選A.由中位數(shù)的概念，即最中間一個或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)；可知11

人成績的中位數(shù)是第6名的得分.根據(jù)題意可得：參賽選手要想知道

自己是否能進入前6名，只需要了解自己的得分以及全部得分的中位

數(shù)，比較即可.

2.在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下：9089

9095939493

去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為

()

A.92,2B.92,2.8

C.93,2D.93,2.8

選B.去掉一個最高分95與一個最低分89后，所得的5個數(shù)分別為

90,90,93,94,93,

__90+90+93+94+93

所以x==92,

2x(90-92)2+2x(93-92)2+(94-92)2騏

S-5-5-28

3.(教材練習(xí)改編)已知數(shù)據(jù)Xi,X2,X3，…，Xn是上海普通職工n(nN3,

n￡N*)個人的年收入，設(shè)這n個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,平均數(shù)為y,方

差為z,如果再加上世界首富的年收入小+1,則這n+1個數(shù)據(jù)中，

下列說法正確的是()

A.年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變

B.年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大

C.年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變

D.年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變

選B插入大的極端值，平均數(shù)增加，中位數(shù)可能不變，方差也因為

數(shù)據(jù)更加分散而變大.

4.從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如表，則這100

人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為.

分?jǐn)?shù)54321

人數(shù)2010303010

因為這100人成績的平均數(shù)

—20x5+10x4+30x3+30x2+10x1100+40+90+60+10

x=W0=100=

3,

所以這100人成績的方差s2x[20x22+10x12+30x02+30x12+

所以標(biāo)準(zhǔn)差$=乎.

今案?如匝

口木?5

5.甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從

中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

⑴分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；

⑵根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.

—1

⑴甲的平均數(shù)X甲=4(99+100+98+100+100+103)=100z

—I

乙的平均數(shù)X乙=不(99+100+102+99+100+100)=100.

s言［(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-

7

100)2+(103-100)2]=1,

=1[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-

100)2+(100-100)2]=1.

⑵兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，

又暗＞s%，所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.

》學(xué)情診斷?課時測評④

基礎(chǔ)全面練

一、單選題

1.下列說法正確的是()

A.在兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)較大的一組極差較大

B.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差反映數(shù)據(jù)波動的大小

C.方差的求法是求出各個數(shù)據(jù)與平均值的差的平方后再求和

D.在記錄兩個人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中，方差大說明射擊水平穩(wěn)定

選B.平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，平均數(shù)的大小并不能說明該

111_

組數(shù)據(jù)極差的大小，所以A錯誤；方差公式s2=-X(x-i)2，所

以C錯誤；方差大說明射擊水平不穩(wěn)定，所以D錯誤.

2.已知數(shù)據(jù)X1，X2，…，Xn的平均數(shù)為7,方差為S2,則2X1+3,

2X2+3,…，2xn+3的平均數(shù)和方差分別為()

A.X和S?B.2x+3和4s2

C.2x+3和s2D.2x+3和4s2+12s+9

2

選B.因為數(shù)據(jù)x—X2，…，xn的平均數(shù)為x,方差為s,所以2X1

+3,2X2+3,…，2xn+3的平均數(shù)和方差分別為27+3和4s2.

3.現(xiàn)有10個數(shù)，其平均數(shù)為3,且這10個數(shù)的平方和是100,那么

這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是()

A.1B.2C.3D.4

選A.由s2=；(X；+x：+…+x：)-x2,得=*xlOO-32=1,

即標(biāo)準(zhǔn)差s=l.

4.下列各組數(shù)中方差最小的是()

A.1,2,3,4,5B.2,2,2,4,5

C.3,3,3,3,3D.2,3,2,3,2

選C.對于選項A：平均數(shù)為，(1+2+3+4+5)=3,方差為s2=1[(1

-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2；對于選項B：平均數(shù)

為:(2+2+2+4+5)=3,方差為s2=g[(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2

+(4-3)2+(5-3溝=1.6；

對于選項C：平均數(shù)為!(3+3+3+3+3)=3,方差為s2=|[(3-3)2

+(3-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(3-3)2]=0；

對于選項D：平均數(shù)為g(2+3+2+3+2)=2.4；

2222

方差為s=|[(2-2.4)2+(3-2.4)2+(2,2.4)+(3-2.4)+(2-2.4)]

=0.24.

因為0＜0.24＜1,6＜2,所以選項C中的數(shù)據(jù)方差最小.

5.甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，甲、乙兩組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)分別為丁甲，7乙，標(biāo)準(zhǔn)差分別為s甲，s乙，則（）

30.............................................

0123456考試次序

A.x甲＜x乙，s甲＜s乙B.x甲＜x乙，s甲＞5乙

C.X甲〉X乙，S甲＜S乙D.X甲〉X乙，S甲＞5乙

選C.由題圖知，甲同學(xué)除第二次考試成績略低于乙同學(xué)外，其他考

試成績都遠高于乙同學(xué)，可知7甲＞7乙.題圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學(xué)的

成績比乙同學(xué)穩(wěn)定，所以S甲＜s乙.

二、多選題

6.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7,標(biāo)準(zhǔn)差是s,將這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)

都乘以2,所得到的一組新數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別是（）

A.xB.2xC.sD.2s

選BD.設(shè)該組數(shù)據(jù)為XI,X2,Xn,都乘以2后的新數(shù)據(jù)為2X1,

2x2，???/2Xr).

一Xi+X2+...+Xn2X|+2X2+…+2Xn—

由題意知X=—————，貝!k---------------=2x.

222

(Xi-X)+(X2-X)+...+(Xn-X)

n，

I(2xi-2x)2+(2x?-2x)2+...+(2x-2x)2

所以V-----------------------K----------------n--------

7.如圖為某市2020年國慶節(jié)7天假期的樓房認(rèn)購量與成交量的折線

圖，小明同學(xué)根據(jù)折線圖對這7天的認(rèn)購量（單位:套）與成交量（單位：

套）作出如下判斷，則判斷錯誤的為（）

A.日成交量的中位數(shù)是16

B.日成交量超過日平均成交量的有2天

C.10月7日認(rèn)購量的增幅大于10月7日成交量的增幅

D.日認(rèn)購量的方差大于日成交量的方差

選ABC.7天假期的樓房認(rèn)購量為:91,100,105,107,112,223,

276；

成交量為：8,13,16,26,32,38,166.

對于A,日成交量的中位數(shù)是26,故A錯誤；

8+13+16+26+32+38+166299

對于，因為日平均成交量為

B77

日成交量超過日平均成交量的只有10月7日1天，故B錯誤;

_276-112_

對于C,10月7日認(rèn)購量的增幅為一"146%,10月7日成交

166-38_

量的增幅為38”337%，即10月7日認(rèn)購量的增幅小于10月7

日成交量的增幅，故C錯誤；

對于D,因為日認(rèn)購量的數(shù)據(jù)分布較分散些，方差大些，故D正確.

三、填空題

8.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,2,2,x,5,10,其中存5,

3

已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的之倍，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為

2+x3

由題意，可得該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2，所以亍x2=3,解得x=4,

1+2+2+4+5+10

故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為----------------=今

所以該組數(shù)據(jù)的方差為上x[(l-4)2*9+(2-4)2+(2-守+(4-守+(5

-4)2+(10-4)2]=9,即標(biāo)準(zhǔn)差為3.

答案：3

9.對一個做直線運動的質(zhì)點的運動過程觀測了8次，得到如表所示

的數(shù)據(jù).

觀測序號i12345678

觀測數(shù)據(jù)44041434344464748

上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的平均數(shù)是_______方差是______.

上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的平均數(shù)=1x(40+41+43+43+44+46+47+48)=

O

44,

方差=|x[(40-44)2+(41-44)2+(43-44)2+(43-44)2+(44-44)2

O

+(46-44)2+(47-44)2+(48-44)2]=7.

答案：447

四、解答題

10.某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生320人，女生180人.有人

為了獲得該校全體高中學(xué)生的身高信息,采用分層抽樣的方法抽取樣

本，并觀測樣本的指標(biāo)值(單位：cm),計算得男生樣本的平均數(shù)為

173.5cm,方差為17cm2,女生樣本的平均數(shù)為163.83cm,方差為

30.03cm2.

⑴根據(jù)以上信息，能夠計算出總樣本的平均數(shù)和方差嗎？為什么？

⑵如果已知男、女樣本量按比例分配，你能計算出總樣本的平均數(shù)

和方差各為多少嗎？

⑶如果已知男、女的樣本量都是25，你能計算出總樣本的平均數(shù)和

方差各為多少嗎？它們分別作為總體平均數(shù)和方差的估計合適嗎？

為什么？

(1)不能，因為本題沒有給出男、女生的樣本量，或者男、女生樣本

量的比例，故無法計算出總樣本的平均數(shù)和方差.

3201QQ

(2)總樣本的平均數(shù)為麗X173.5+麗xl63.83~170.02(cm).

320ig0

總樣本的方差為而x[17+(173.5-170.02)2]+而x[30.03+(163.83

-170.02)2卜43.24(cm2).

2525

⑶總樣本的平均數(shù)為百X173.5+在xl63.83~168.67(cm).

2525

總樣本的方差為京x[17+(173.5-168.67)2]+京x

[30.03+(163.83-168.67)2]~46.89(cm2).

不能作為總體平均數(shù)和方差的估計，因為此分層抽樣中，每個個體被

抽到的可能性不完全相同，因而樣本的代表性差.

11.某校高二年級在一次數(shù)學(xué)選拔賽中，由于甲、乙兩人的競賽成績

相同，從而決定根據(jù)平時在相同條件下進行的六次測試確定出最佳人

選，這六次測試的成績數(shù)據(jù)如下：

甲127138130137135131

乙133129138134128136

求兩人比賽成績的平均數(shù)以及方差，并且分析成績的穩(wěn)定性，從中選

出一位參加數(shù)學(xué)競賽.

--1

貝+

甲

X乙X=-

設(shè)甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為丁甲306

—1

3+8+0+7+5+1)=133,x乙=130+%(3-1+8+4-2+6)=

1471

133,s言[(-6)2+52+(-3)2+42+22+(-2)2]=y,s%[02

+(-守+52+12+(-5)2+34=苧.因此，甲與乙的平均數(shù)相同，由

于乙的方差較小，所以乙的成績比甲的成績穩(wěn)定，應(yīng)該選乙參加競賽

比較合適.

綜合突破練

一、選擇題

1,已知一組數(shù)據(jù)X],X2,X3的平均數(shù)是5,方差是4,則由2x,+1,

2X2+1,2X3+1,11這4個數(shù)據(jù)組成的新的一組數(shù)據(jù)的方差是()

A.16B.14C.12D.8

222

選C.由已知得Xi+x2+x3=15,(xi-5)+(x2-5)+(x3-5)=12,

則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為((2xi+1+2X2+1+2X3+1+

2(X1+X2+X3)+3+11

11)--------4--------=11,

22

所以方差為:[(2xi+1-ll)+(2x2+l-ll)+(2x3+l-11)2+(11-

2222

H)]=7[4(xi-5)+4(X2-5)2+4(X3-5>]=(xi-5)+(x2-5)+(x3

-5）2=12.

2.已知樣本數(shù)據(jù)為XI,X2,X3,X4,X5,該樣本平均數(shù)為5,方差為

2,現(xiàn)加入一個數(shù)5,得到新樣本的平均數(shù)為7,方差為s2，則（）

A.x>5,s2>2B.x=5,s2<2

C.x<5,s2<2D.x=5,s2>2

選B.因為X],X2,X3,X4,X5的平均數(shù)為5,方差為2,

_——1

則加入5后平均數(shù)為：X=4x（5x5+5）=5,

方差為：s2=115x2+（5-5）2]=|<2.

3.若某同學(xué)連續(xù)3次考試的名次（3次考試均沒有出現(xiàn)并列名次的情

況）不超過3,則稱該同學(xué)為班級的尖子生.根據(jù)甲、乙、丙、丁四位

同學(xué)過去連續(xù)3次考試名次的數(shù)據(jù)，推斷一定是尖子生的是（）

A.甲同學(xué)：平均數(shù)為2,眾數(shù)為1

B.乙同學(xué)：平均數(shù)為2,方差小于1

C.丙同學(xué)：中位數(shù)為2,眾數(shù)為2

D.丁同學(xué)：眾數(shù)為2,方差大于1

選B.甲同學(xué)：若平均數(shù)為2,眾數(shù)為1,則有一次名次應(yīng)為4,故排

除A；乙同學(xué)：平均數(shù)為2,設(shè)乙同學(xué)3次考試的名次分別為Xi,X2,

X3,則方差s2=|[（X1-2）2+（X2-2）2+（X3-2）2]<1,則（X1-2）2+（X2

2

-2）2+（x3-2）<3,所以X1,X2,X3均不大于3,符合題意；丙同學(xué)：

中位數(shù)為2,眾數(shù)為2,有可能是2,2,4,不符合題意；丁同學(xué)：

有可能是2,2,6,不符合題意.

4.（多選）如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本

平均數(shù)分別為TA和7B,樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為SA和SB,則（）

A.XA>XBB.XA<XB

C.SA>SBD.SA<SB

——1

選BC.xA1(2.5+10+5+7.5+2.5+10)=6.25,

—135

XB=d(15+10+12.5+10+12.5+10)=y-11.67.

22

si=1[(2.5-6.25)+(10-6.25)2+(5_625)2+(7.5-6.25)+(2.5-

6.25)2+(10-6.25)2卜9.90,

=1[(15-11.67)2+(10-11.67)2+(12.5-11.67)2+(10-11.67)2+

(12.5-11.67)2+(10-11.67)2卜3.47.

故xA<xB,sA>sB.

二、填空題

5.有一筆統(tǒng)計資料，共有11個數(shù)據(jù)如下（不完全以大小排列）：2,4,

4,5,5,6,7,8,9,11,3,已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,則這組

數(shù)據(jù)的方差為.

因為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=(2+4+4+5+5+6+7+84-9+11+a)

(61+a)=6,

42+22+22+I2+I2+02+I2+22+32+52+I2

所以a=5.方差s2=---------------------------------=6.

答案：6

-—1

2

6.已知一組數(shù)據(jù)X|,X2,x3,x4,X5的平均數(shù)X=2,方差S=,

那么另一組數(shù)據(jù)3x,-2,3x2-2,3X3-2,3X4-2,3x5-2的平均數(shù)

為,方差為.

——1

平均數(shù)為x'=3x-2=3x2-2=4,方差為S〃=9S2=9XQ=3.

答案：43

7.已知ki,k2,...,k的方差為5,貝(]3(k-4),3(k2-4),...,3(kn

-4)的方差為.

設(shè)ki,k2...h的平均數(shù)為N,貝(]3(ki-4),3(k2-4)....3(kn

-4)的平均數(shù)為3(工-4),

所以s2=-^[3(k-4)-3(k-4)]2=-^[3(^-k)]2=

nM?

1n-

9x-Y(k「k)2=9x5=45.

答案:45

8.某醫(yī)院急救中心隨機抽取20位病人等待急診的時間記錄如表：

等待時間/分鐘[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

頻數(shù)48521

用上述分組資料計算出病人平均等待時間的估計值x=

病人等待時間方差的估計值s2=.

—1

X=布x(2.5x4+7.5x8+12?5x5+17?5x2+22.5X1)=9.5(分鐘)，s2

4x[(2.5-95)2x4+(7.5-9.5)2x8+(12.5-9.5)2x5+(17.5-9.5)2x2

+(22.5-9.5)2xl]=28.5(分鐘2).

答案：9.5分鐘28.5分鐘2

三、解答題

9.某班40人隨機分成兩組，第1組15人，第2組25人，兩組學(xué)生

一次數(shù)學(xué)考試的成績(單位：分)情況如表：

組別平均分標(biāo)準(zhǔn)差

第1組846

第2組804

求全班學(xué)生這次數(shù)學(xué)考試的平均成績和方差.

由題意，知第1組這次數(shù)學(xué)考試的平均分x產(chǎn)84(分)，方差J=62

=36（分2）,

第2組這次數(shù)學(xué)考試的平均分72=80（分），方差s；=42=16（分與,

故全班學(xué)生這次數(shù)學(xué)考試的平均成績—x=第15X84+備25義80=

81.5（分）,

1525

方差$2=擊x[36+（84-81.5）2]+而x[16+（80-81.5）2]=27.25（分2）.

10.甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如

圖所示：

（1）填寫下表：

平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上

甲71.21

乙5.43

⑵請從四個不同的角度對