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文檔簡介
7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征夯實基夯實基礎(chǔ)黑發(fā)不知勤學(xué)早,白首方悔讀書遲。一、選擇題(共10小題)1.已知某一離散型隨機(jī)變量x的分布列如下,且E(X)=6.3,則a的值為()XA.5 B.6 C.7 D.82.若隨機(jī)變量X的分布列為X則X的數(shù)學(xué)期望E(X)是(??)A.1/4 B.1/2 C.1 D.3/23.設(shè)一隨機(jī)試驗的結(jié)果只有A和A,P(A)=p,令隨機(jī)變量X=1,A出現(xiàn),0,A不出現(xiàn),則A.p B.2p(1?p) C.?p(1?p) D.p(1?p)4.已知一個口袋中裝有3個紅球和2個白球,從中有放回地連續(xù)摸三次,每次摸出兩個球,若兩個球顏色不同則中獎,否則不中獎,設(shè)三次摸球中(每次摸球后放回)中獎的次數(shù)為ξ,則ξ的期望為()A.95 B.185 C.655.設(shè)0<p<1,隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P1?p1p則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時,()A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大 D.D(ξ)先增大后減小6.隨機(jī)變量X的分布列如表,若E(X)=76,則XA.712 B.1736 C.767.隨機(jī)變量ξ的分布列為:ξ012Pabb其中ab≠0,下列說法不正確的是()A.a(chǎn)+b=1 B.E(ξ)=C.D(ξ)隨b的增大而減小 D.D(ξ)有最大值8.已知p>0,q>0,隨機(jī)變量ξ的分布列如下:ξpqPqpA.49 B.12 C.59.甲、乙兩人通過雅思考試的概率分別為0.5,0.8,兩人考試時相互獨立互不影響,記X表示兩人中通過雅思考試的人數(shù),則X的方差為(??)A.0.41 B.0.42 C.0.45 D.0.4610.某班舉行了一次“心有靈犀”的活動,教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學(xué),這個同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué).若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是0.4,同學(xué)乙猜對成語的概率是0.5,且規(guī)定猜對得1分,猜不對得0分,則這兩個同學(xué)各猜1次,得分之和X(單位:分)的均值為(??)A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1鞏固積鞏固積厚寶劍鋒從磨礪出,梅花香自苦寒來。二、填空題(共5小題)11.某射擊手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下:ξ78910Px0.10.3y12.有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取兩件,若X表示取得次品的件數(shù),則P(X<2)=,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.13.一個口袋里裝有大小相同的5個小球,其中紅色兩個,其余3個顏色各不相同.現(xiàn)從中任意取出3個小球,其中恰有2個小球顏色相同的概率是;若變量X為取出的三個小球中紅球的個數(shù),則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.14.某批產(chǎn)品共10件,其中含有2件次品,若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件,則取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為;取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)x的期望是.15.某公司有500萬元資金用于投資開發(fā)項目,如果成功,一年后可獲收益12%;如果失敗,一年后將喪失全部資金的50%.下表是去年200例類似項目開發(fā)的實施結(jié)果.投資成功試估計該公司一年后可獲收益為萬元.優(yōu)尖拔優(yōu)尖拔高書山有路勤為徑,學(xué)海無涯苦作舟。三、解答題(共5小題)16.請回答下列問題:(1)如果隨機(jī)變量的概率分布律由下表給出:x求ξ的數(shù)學(xué)期望與方差.設(shè)η=cosξ,其中ξ的概率分布律同第1題,求Eη,D17.高中必修課程結(jié)束之后,學(xué)生需要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治六科中選擇三科,繼續(xù)學(xué)習(xí)選擇性必修課程,某地記者為了了解本地區(qū)高一學(xué)生的選擇意向,隨機(jī)采訪了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行情況調(diào)研,得到下表:組別(1)從樣本中隨機(jī)選1名學(xué)生,求該學(xué)生選擇了化學(xué)的概率;(2)從第8組、第9組、第10組中,隨機(jī)選2名學(xué)生,記其中選擇政治的人數(shù)為X,求X的分布列和期望;(3)如果這個地區(qū)一名高一學(xué)生選擇了地理,則在其它五科中,他同時選擇哪一科的可能性最大?并說明理由.18.從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設(shè)各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為12,13,(1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.19.某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式.(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理如表所示.日需求量n以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(i)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求X的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差.(ii)若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝?請說明理由.20.2013年2月,中國跳水隊在2013年度國際跳水大獎賽馬德里站的比賽中取得優(yōu)異的成績,為積極準(zhǔn)備下一站的比賽,在著名的海濱城市青島舉行了一場選拔賽,其中甲、乙運動員為爭奪最后一個參賽名額進(jìn)行了七輪激烈的爭奪,甲、乙兩名選手七輪比賽的得分如圖所示,現(xiàn)從兩名運動員每輪不低于80,不高于90的得分中任選.(1)若任選三個,求甲的三個得分與其每輪平均得分的差的絕對值都不超過2的概率;(2)求甲、乙兩名運動員得分之差的絕對值ξ的分布列及其期望.
答案與解析答案與解析1.答案:C解析:解:由題意得4×0.5+0.1×a+9×b=6.30.5+0.1+b=1?a=7b=0.4,2.答案:C解析:解:E(X)=0×14+1×分析:由分布列,代入期望公式計算即可.3.答案:D解析:解:隨機(jī)變量X的分布列為X01P1-PP所以隨機(jī)變量X服從參數(shù)為P的兩點分布,
所以D(X)=P(1-P).
故選:D分析:隨機(jī)變量X服從兩點分布,根據(jù)兩點分布的方差公式得結(jié)果.4.答案:A解析:解:由題意可知,每次摸球中中獎的概率P=1?C32+C22C5分析:計算出每次摸球中中獎的概率,可知ξ~B3,5.答案:D解析:詳解:∵E(ξ)=0×1?p∴D(ξ)=1?p∵12∈(0,1),故答案為:D.分析:求出隨機(jī)變量ξ的分布列與方差,再討論D(ξ)的單調(diào)情況.解題的關(guān)鍵是掌握離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差.6.答案:B解析:解:由題意得0×16+a+2b=7616分析:先根據(jù)分布列的性質(zhì)列出方程組,求得a,b,再代入方差公式求解即可.7.答案:C解析:根據(jù)分布列的性質(zhì)得a+b2+b2根據(jù)期望公式得E(ξ)=0×a+1×b2+2×根據(jù)方差公式得D(ξ)=(0?3b2)2因為0<b<1,所以b=59時,D(ξ)取得最大值2536,故C故答案為:C分析:根據(jù)分布列的性質(zhì)得A符合題意;根據(jù)期望公式和方差公式計算期望和方差,根據(jù)結(jié)果分析可得答案.8.答案:C解析:解:由題意得p+q=1pq+pq=49,
則p分析:由分布列的性質(zhì)求解即可.9.答案:A解析:通過雅思考試人數(shù)的分布列為:X即E(X)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,所以D(X)=(0?1.3)2×0.1+(1?1.3)故答案為:A.分析:根據(jù)題意得到通過雅思考試的人數(shù)X的可能取值和相應(yīng)的概率,得出分布列,結(jié)合期望和方差的公式,即可求解.10.答案:A解析:由題意得X=0,1,2,則P(X=0)=0.6×0.5=0.3,P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2,所以E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9.故答案為:A分析:由題意得到隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,結(jié)合獨立事件的概率公式,即可求解.11.答案:0.4解析:解:由題意得7x+0.8+2.7+10y=8.9x+0.1+0.3+y=1?x=0.2分析:由分布列的性質(zhì)列出方程組,求解得x,y即可.12.答案:1415;解析:易知X服從超幾何分布,所以P(X<2)=CE(X)=0×C分析:根據(jù)題意,得到隨機(jī)變量X服從超幾何分布,結(jié)合超幾何分布的概率公式和期望公式,即可求解.13.答案:310;解析:解:一個口袋里裝有大小相同的5個小球,其中紅色兩個,其余3個顏色各不相同.現(xiàn)從中任意取出3個小球,基本事件總數(shù)n=C其中恰有2個小球顏色相同包含的基本事件個數(shù)m=C∴其中恰有2個小球顏色相同的概率是p=m若變量X為取出的三個小球中紅球的個數(shù),則X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C∴數(shù)學(xué)期望E(X)=0×1故答案為:310,6分析:求出基本事件總數(shù)及恰有2個小球顏色相同包含的基本事件個數(shù),可得所求概率;再求變量X的概率分布,可得X的數(shù)學(xué)期望.14.答案:715;解析:(1)從10件產(chǎn)品中,抽取3件,有C10若取出的3件中恰有1件是次品,有C8故滿足題意的概率P=56(2)根據(jù)題意,x=0,P(x=0)=C83120=故E(x)=7故答案為:715;3
分析:(1)先計算所有抽取產(chǎn)品的可能,再計算3件產(chǎn)品中且有一件次品的可能,用古典概型的概率計算公式即可求得;
(2)先求得x的分布列,再求其期望即可.15.答案:47.6解析:應(yīng)先求出投資成功與失販的概率,再計算其收益.設(shè)可獲收益為x萬元,如果成功,x的取值為500×12%,如果失敗,x的取值為?500×50%.由題表可得,一年后該公司投資成功的概率約為192200,失敗的概率約為8所以估計該公司一年后可獲收益為500×12%×192分析:設(shè)可獲收益為x萬元,如果成功和失敗時x的取值,結(jié)合題表中的數(shù)據(jù)的相依的概率,利用期望的公式,即可求解.16.答案:(1)解:數(shù)學(xué)期望為π2,方差為(2)解:數(shù)學(xué)期望為0,方差為1解析:(1)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列的期望和方差的公式,即可求解;
(2)根據(jù)η=cosξ,結(jié)合分布列的期望和方差的公式,即可求解.17.答案:(1)解:設(shè)A=“從樣本中隨機(jī)選1人,該學(xué)生選擇了化學(xué)”,則P(A)=17+12+10+7+4所以,從樣本中隨機(jī)選1人,該學(xué)生選擇了化學(xué)的概率為12(2)解:第8,9,10組共有11人,其中選擇政治的有6人,所以X的所有可能取值為0,1,2,P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C所以X的分布列為X故X的期望E(X)=0×2(3)解:選擇地理的總?cè)藬?shù)為:20+14+12+10+9+7+5+2=79,所以P("同時選擇生物")=14+12+9+2P("同時選擇化學(xué)")=12+10+7P("同時選擇政治")=20+2P("同時選擇物理")=10+9+5P("同時選擇歷史")=20+14+7+5因為4679所以一個學(xué)生選擇了地理,同時選擇歷史的可能性最大解析:(1)設(shè)A=“從樣本中隨機(jī)選1人,該學(xué)生選擇了化學(xué)”,結(jié)合題設(shè)中的熟記,結(jié)合古典摡型的概率計算公式,即可求解;
(2)第8,9,10組共有11人中選擇政治的有6人,得出X的所有可能取值為0,1,2,求得相應(yīng)的概率,得出分布列,利用期望的公式,即可求解;
(3)求得選擇地理的總?cè)藬?shù)為79人分別求得同時選生物、化學(xué)、政治、物理和歷史的概率,進(jìn)而得到結(jié)論.18.答案:(1)解:隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=(1?12P(X=1)=12×(1?P(X=2)=(1?12)×P(X=3)=1所以,隨機(jī)變量X的分布列為X隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為:E(X)=0×1(2)解:設(shè)y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù),則所求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)?P(Z=1)+P(Y=1)?P(Z=0)=14×所以,這2輛車共遇到1個紅燈的概率為1148解析:(1)得到隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,求得相應(yīng)的概率,得出分布列,利用期望的公式,即可求解.
(2)設(shè)y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù),結(jié)合互斥之間的概率公式,即可求解所求事件的概率.19.答案:(1)解:當(dāng)日需求量n≥16時,利潤y=80.當(dāng)日需求量n<16時,利潤y=10n?80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y=(2)解:(i)X可能的取值為60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列如表所示:X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差為D(X)=(60?76)2(ii)答案一:花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,y表示當(dāng)天的利潤(單位:元),那么y的分布列如表所示:Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.y的方差為D(Y)=(55?76.4)2由以上的計算結(jié)果可以看出,D(X)<D(Y),即購進(jìn)16枝玫瑰花時利潤波動相對較小.另外,雖然E(X)<E(Y),但兩者相差不大.故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.答案二:花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,y表示當(dāng)天的利潤(單位:元),那么y的分布列如表所示:Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的計算結(jié)果可以看出,E(X)<E(Y),即購進(jìn)17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進(jìn)16枝時的平均利潤.故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花解析:(1)分別求得日需求量n≥16和n<16的利潤,進(jìn)而求得以y關(guān)于n的函數(shù)解析式;
(2)(i)X可能的取值為60,70,80,求得相依的概率,得出X的分布列,利用公式期望和方差的公式,即可求解;
(ii)答案一:若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,y表示當(dāng)天的利潤(單位:元),得出y的分布列,利用期望和方差的公式,比較得出結(jié)論;答案二:若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,y表示當(dāng)天的利潤,得出y的分布列,利用期望和方差的公式,比較得出結(jié)論.20.答案:(1)解:由莖葉圖,可知甲、乙兩名運動員七輪比賽的得分分別為甲:78
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