2022年天津市武清區(qū)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達(dá)目的地,請(qǐng)問第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里2.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,若,則()A. B. C. D.3.已知底面為邊長為的正方形,側(cè)棱長為的直四棱柱中,是上底面上的動(dòng)點(diǎn).給出以下四個(gè)結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)是()①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成一條曲線,則該曲線的長度是;②若面,則與面所成角的正切值取值范圍是;③若,則在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長度之和的最大值為.A. B. C. D.4.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.05.拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,,是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.6.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8,則球的體積為()A.1605π3 B.6427.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.78.將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再將圖像向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為()A. B. C. D.9.若函數(shù)()的圖象過點(diǎn),則()A.函數(shù)的值域是 B.點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)的最小正周期是 D.直線是的一條對(duì)稱軸10.命題:的否定為A. B.C. D.11.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.12.若不等式對(duì)于一切恒成立,則的最小值是()A.0 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),,若點(diǎn)B(x,y)滿足,則的最大值是__________.14.已知函數(shù)是偶函數(shù),直線與函數(shù)的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)A,B,C,D.若AB=BC,則實(shí)數(shù)t的值為_________.15.的展開式中,x5的系數(shù)是_________.(用數(shù)字填寫答案)16.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn),則該雙曲線的離心率為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線:,點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),焦點(diǎn)到直線的距離為,焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,且.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若軸上存在點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),且為定值,求點(diǎn)的坐標(biāo).18.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點(diǎn),圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請(qǐng)說明理由.19.(12分)如圖,在中,角的對(duì)邊分別為,且滿足,線段的中點(diǎn)為.(Ⅰ)求角的大?。唬á颍┮阎蟮拇笮?20.(12分)已知函數(shù).(1)若,求證:.(2)討論函數(shù)的極值;(3)是否存在實(shí)數(shù),使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;(2)已知射線與曲線交于兩點(diǎn),射線與直線交于點(diǎn),若的面積為1,求的值和弦長.22.(10分)已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若在R上單調(diào)遞增,求正數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(3)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)于任意,若,則直線與曲線有唯一公共點(diǎn)(注:當(dāng)時(shí),直線與曲線的交點(diǎn)在y軸兩側(cè)).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,計(jì)算,代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,則,解得,從而可得,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.2.D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得:,整理可得:,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】

①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心,半徑為的圓弧,利用弧長公式,可得結(jié)論;②當(dāng)在(或時(shí),與面所成角(或的正切值為最小,當(dāng)在時(shí),與面所成角的正切值為最大,可得正切值取值范圍是;③設(shè),,,則,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影長,即可求出六個(gè)面上的正投影長度之和.【詳解】如圖:①錯(cuò)誤,因?yàn)椋c點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心,半徑為的圓弧,長度為;②正確,因?yàn)槊婷?,所以點(diǎn)必須在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)在(或)時(shí),與面所成角(或)的正切值為最?。橄碌酌婷鎸?duì)角線的交點(diǎn)),當(dāng)在時(shí),與面所成角的正切值為最大,所以正切值取值范圍是;③正確,設(shè),則,即,在前后、左右、上下面上的正投影長分別為,,,所以六個(gè)面上的正投影長度之,當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)取等號(hào).故選:.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體,考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),屬于難題.4.D【解析】分析:因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值,要求的值,故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解:由題設(shè)有,故有,所以,從而,故選D.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時(shí)注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.5.B【解析】

試題分析:設(shè)在直線上的投影分別是,則,,又是中點(diǎn),所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點(diǎn):拋物線的性質(zhì).【名師點(diǎn)晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中,涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,焦點(diǎn)弦長,拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線平行的直線)的距離時(shí),常??紤]用拋物線的定義進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化.象本題弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,從而與弦長之間可通過余弦定理建立關(guān)系.6.A【解析】

設(shè)球心為O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1,該圓與邊B【詳解】如圖,設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O,則由球的幾何知識(shí)得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A.【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問題,解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè):(1)構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形,并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,這是解決與球有關(guān)的問題時(shí)常用的方法.(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c7.B【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,故選:D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì),基礎(chǔ)題.9.A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點(diǎn),求出,可得,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)()的圖象過點(diǎn),可得,即,,,故,對(duì)于A,由,則,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤;故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),需熟記性質(zhì)與公式,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】

命題為全稱命題,它的否定為特稱命題,將全稱量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.11.D【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵,∴,,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】

試題分析:將參數(shù)a與變量x分離,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,即可得到結(jié)論.解:不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈(0,]成立,等價(jià)于a≥-x-對(duì)于一切成立,∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C.考點(diǎn):不等式的應(yīng)用點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】,可行域如圖,直線與圓相切時(shí)取最大值,由14.【解析】

由是偶函數(shù)可得時(shí)恒有,根據(jù)該恒等式即可求得,,的值,從而得到,令,可解得,,三點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)可列關(guān)于的方程,解出即可.【詳解】解:因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以時(shí)恒有,即,所以,所以,解得,,;所以;由,即,解得;故,.由,即,解得.故,.因?yàn)?,所以,即,解得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬中檔題.15.-189【解析】由二項(xiàng)式定理得,令r=5得x5的系數(shù)是.16.【解析】

根據(jù)雙曲線方程,可得漸近線方程,結(jié)合題意可表示,再由雙曲線a,b,c關(guān)系表示,最后結(jié)合雙曲線離心率公式計(jì)算得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線為,所以該雙曲線的漸近線方程為.又因?yàn)槠湟粭l漸近線經(jīng)過點(diǎn),即,則,由此可得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進(jìn)而求離心率,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】

(1)先分別表示出,然后根據(jù)求解出的值,則的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(2)設(shè)出直線的方程并聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理形式,然后根據(jù)距離公式表示出并代入韋達(dá)定理形式,由此判斷出為定值時(shí)的坐標(biāo).【詳解】(1)由題意可得,焦點(diǎn),,則,,∴解得.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè),設(shè)點(diǎn),,顯然直線的斜率不為0.設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程,整理可得,,∴,∴要使為定值,必有,解得,∴為定值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解以及拋物線中的定值問題,難度一般.(1)處理直線與拋物線相交對(duì)應(yīng)的定值問題,聯(lián)立直線方程借助韋達(dá)定理形式是常用方法;(2)直線與圓錐曲線的問題中,直線方程的設(shè)法有時(shí)能很大程度上起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。18.(1);(2)見解析.【解析】

(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計(jì)算A的坐標(biāo),計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,計(jì)算參數(shù),即可.(II)分切線斜率存在與不存在討論,設(shè)出M,N的坐標(biāo),設(shè)出切線方程,結(jié)合圓心到切線距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得,∴點(diǎn)在橢圓上,∴,解得,∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí),不妨設(shè)切線方程為,由(Ⅰ)知,,,∴.當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí),可設(shè)切線的方程為,,∴,即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得,∴,得.∵,∴,,∴.綜上所述,圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),都有.在中,由與相似得,為定值.【點(diǎn)睛】本道題考查了橢圓方程的求解,考查了直線與橢圓位置關(guān)系,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,難度偏難.19.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由正弦定理邊化角,再結(jié)合轉(zhuǎn)化即可求解;(Ⅱ)可設(shè),由,再由余弦定理解得,對(duì)中,由余弦定理有,通過勾股定理逆定理可得,進(jìn)而得解【詳解】(Ⅰ)由正弦定理得.而.由以上兩式得,即.由于,所以,又由于,得.(Ⅱ)設(shè),在中,由正弦定理有.由余弦定理有,整理得,由于,所以.在中,由余弦定理有.所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用,屬于中檔題20.(1)證明見解析;(2)見解析;(3)存在,1.【解析】

(1),求出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出,即可證明結(jié)論;(2)對(duì)(或)是否恒成立分類討論,若恒成立,沒有極值點(diǎn),若不恒成立,求出的解,即可求出結(jié)論;(3)令,可證恒成立,而,由(2)得,在為減函數(shù),在上單調(diào)遞減,在都存在,不滿足,當(dāng)時(shí),設(shè),且,只需求出在單調(diào)遞增時(shí)的取值范圍即可.【詳解】(1),,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴,故.(2)由題知,,,①當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,沒有極值;②當(dāng)時(shí),,得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.故在處取得極小值,無極大值.(3)不妨令,設(shè)在恒成立,在單調(diào)遞增,,在恒成立,所以,當(dāng)時(shí),,由(2)知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,恒成立;所以不等式在上恒成立,只能.當(dāng)時(shí),,由(1)知在上單調(diào)遞減,所以,不滿足題意.當(dāng)時(shí),設(shè),因?yàn)椋?,,即,所以在上單調(diào)遞增,又,所以時(shí),恒成立,即恒成立,故存在,使得不等式在上恒成立,此時(shí)的最小值是1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、不等

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