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文檔簡介
初中經(jīng)典幾何模型鑒賞
初中經(jīng)典幾何模型鑒賞
中點(diǎn)模型
【模型1】倍長
1、倍長中線;2、倍長類中線;3、中點(diǎn)遇平行
延長相交
【模型2】遇多個(gè)中點(diǎn),構(gòu)造中位線
1、直接連接中點(diǎn);2、連對(duì)角線取中點(diǎn)再相連
2
【例1】在菱形力笈CD和正三角形BE廠中,Z
力BC=60。,G是。尸的中點(diǎn),連接GC、GE.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在6C邊上時(shí),若45=10,
BF=4,求GE的長;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在46的延長線上時(shí),線
段GC、GE有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系,寫出你
的猜想;并給予證明;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在C5的延長線上時(shí),(2)
問中關(guān)系還成立嗎?寫出你的猜想,并給予證
明.
【例2】如圖,在菱形45CD中,點(diǎn)£、尸分別
是BC、CD上一點(diǎn),連接OE、EF,KAE=AF,
^DAE=NBAF,
(1)求證:CE=CF;
3
4
⑵若ZABC^nQPf點(diǎn)G是線段Ab的中點(diǎn),連接
DG,EG,求證:DG±GE.
【例3】如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,
E、F分別為BC、AD中點(diǎn),BA交EF延長線
于G,CD交EF于H.求證:ZBGE=ZCHE.
角平分線模型
5
【模型1】構(gòu)造軸對(duì)稱
【模型2】角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形
【例4】如圖,平行四邊形A3CD中,AE平分
ZBAD交BC邊于E,EF±AE交CD邊于F,
交40邊于延長R4到點(diǎn)G,使AG=CF,
連接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,則GF
的長為.
6
手拉手模型
【條件】OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD
結(jié)論]
OAC^08D4助=/。48=/。。。(即都是旋轉(zhuǎn)角);OE平分ZAED;
巨石毋.3向
【例5】如圖,正方形A4CD的邊長為6,點(diǎn)。
是對(duì)角線4C、笈。的交點(diǎn),點(diǎn)E在。。上,且
7
DEVICE,過點(diǎn)。作CF_LBE,垂足為人連接
OF,則。方的長為.
[例6]如圖,ABC中,ZBAC=90°9AB=ACfAD
LBC于點(diǎn)。,點(diǎn)E在AC邊上,連結(jié)KE,AG
L8E于尸,交BC于點(diǎn)G,求“FG
【例7】如圖,在邊長為6g的正方形ABCD中,
£是A5邊上一點(diǎn),G是4D延長線上一點(diǎn),BE
8
=DGf連接EG,_LEG于點(diǎn)交AD于點(diǎn)
F,連接CE、BHO若BH=8,貝!IFG=.
SL鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ)模型
【模型1】
【條件】如圖,四邊形ABCD中,AB=ADf
NBAD+NBCD=ZABC+ZADC=180。
【結(jié)論】AC平分/BCD
9
【模型2】
【條件】如圖,四邊形ABCD中,AB=ADf
/BAD=/BCD=90°
【結(jié)論】?ZACB=ZACD=45°②BC+CD=血AC
【例8】如圖,矩形AKCD中,AB=6,40=5,
G為CD中點(diǎn),DE=DG,FGA
為.
10
【例9】如圖,正方形A3c。的邊長為3,延長
Q5至點(diǎn)M,使笈環(huán)=1,連接AM,過點(diǎn)笈作BN_LAM,
垂足為N,0是對(duì)角線AC.BD的交點(diǎn),連接
ON,則ON的長為.
11
【例10]如圖,正方形A3a)的面積為64,BCE
是等邊三角形,尸是CE的中點(diǎn),AE、BF交于
點(diǎn)G,則0G的長為.
【模型1】
【條件】如圖,四邊形ABCD中,AB=ADf
ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,
/£4/=工/84。,點(diǎn)£:在直線5。上,
2
【結(jié)論】BE、DF、稗滿足截長補(bǔ)短關(guān)系
【模型2】
【條件】在正方形A3CD中,已知E、尸分別是
邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足NEA尸=45。,AE.
4方分別與對(duì)角線笈。交于點(diǎn)M、N.
【結(jié)論】
(1)BE+DF=EF;Q)SXABE+SXADF=SXAEF;(3)
AH=AB;(4)C^ECF=2AB;
⑸BW+DN^MN2;
(6)AANMsADNFs/\BEMs/\AEFS/\
BNA^ADAM;
(由AO:AH=AO:AB=1:也可得至(JAANM和
△AEb的相似比為1:0);
(7)S4AMN=S四邊形MNbE;(8)^AOM^AADF,
AAON^AABE;
⑼AAEN為等腰直角三角形,NAEN=45。;
△AbM為等腰直角三角形,ZAFM=45°.
(1.ZEAF=45°;2.AE:AN=1:五);
(10)A>M、F.Z)四點(diǎn)共圓,A、B、E、N四點(diǎn)
13
共圓,M、N、F,C、E五點(diǎn)共圓.
【模型2變型】
【條件】在正方形A3co中,已知E、廠分別是
邊。3、。。延長線上的點(diǎn),且滿
【結(jié)論】BE+EF=DF
14
【模型2變型】
【條件】在正方形"CD中,已知昆尸分別是
邊Q?、DC延長線上的點(diǎn),
【結(jié)論】DF+EF=BE
【例11]如圖,MBC和SEE是兩個(gè)全等的等腰直
角三角形,/BAC=ZEDF=90°,NDEF的頂點(diǎn)E與AABC的
斜邊3C的中點(diǎn)重合.將AD"繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)
過程中,線段OE與線段A3相交于點(diǎn)P,射線
EF與線段AB相交于點(diǎn)G,與射線CA相交于
點(diǎn)。.若AQ=12,BP=3,貝!|PG=______.
D
BC
15
【例12]如圖,在菱形A3CD中,AB=BDf點(diǎn)
£、F分另U在AB.AD上,且連接BF
與OE交于點(diǎn)G,連接CG與小遂王點(diǎn)號(hào)‘若
則S四邊形BCOG=
一線三等角模型
【條件】NEDF=NB=NC,且DE=DF
【結(jié)論】BDE=CFD
16
【例13]如圖,正方形4BCD中,點(diǎn)、E、F、G
分別為A5、BC、CD邊上的點(diǎn),EB=3,GC=4,
連接用F、FG、GE恰好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,
則正方形的邊長為.
17
弦圖模型
【條件】正方形內(nèi)或外互相垂直的四條線段
【結(jié)論】新構(gòu)成了同心的正方形
【例14]如圖,點(diǎn)后為正方形邊A3上
一點(diǎn),點(diǎn)方在OE的延長線上,AF=ABfAC與
FD交于點(diǎn)G,NE4b的平分線交哲7
過點(diǎn)D作HA的垂線交HA的好納可.若
E
47=34,FH=2y/2f貝!|Z>G=
B
18
【例15]如圖,ABC中,ABAC=9019AB=ACfAD
J_笈。于點(diǎn)Z),點(diǎn)E是AC重點(diǎn),連結(jié)KE,作
AG_L3£于后交BC于點(diǎn)G,連接EG,求證:
AG+EG=BE.
最短路徑模型
19
【兩點(diǎn)之間線段最短】
1、將軍飲馬
2、費(fèi)馬點(diǎn)
【垂線段最短】
20
【兩邊之差小于第三邊】
【例16]
如圖,矩形他8是一個(gè)長為1000米,寬為600
米的貨場,入、。是入口.現(xiàn)擬在貨場內(nèi)建一個(gè)
收費(fèi)站P,在鐵路線火段上建一個(gè)發(fā)貨站臺(tái)“,
設(shè)鋪設(shè)公路轉(zhuǎn)、加以及叨之長度和為/.求/的最
小值.
21
【例17】
如圖,E、方是正方形A4CZ)的邊AZ)上兩個(gè)動(dòng)
點(diǎn),滿足AE=O后連接Cb交加9
于G,連接8E交AG于點(diǎn)若正
方形的邊長為2,則線段DH長度的
最小值是.
【例18】
E是
如圖所示,在矩形ABCD中,AB=4,AO=4及f
沿
線段A3的中點(diǎn),尸是線段8C上的動(dòng)點(diǎn),的
直線EF翻折到她石尸,連接陽,加最短為
22
23
【例19]如圖1,oA3CZ)中,AELBC^E,
AE=ADfEGLABG,延長G£、Z>C交于點(diǎn)
F,連接4足
(1)^BE=2ECfAB”,求AD的長;
(2)求證:EG=BG+FC;
(3)如圖2,若AF=5^9EF=2,點(diǎn)M是線段AG
上的一'個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接ME,將AGME沿ME翻折得AG'ME,
連接DG,試求當(dāng)DG取得最小值時(shí)GM的長.
24
課后練習(xí)題
【練習(xí)11如圖,以正方形的邊43為斜邊在正方
形內(nèi)作直角二角形ABE,ZAEB=90°,弋BD交衣。
、
已知AEBE的長分別為3cm>5cmf的
面積.
DA
【練習(xí)2】
問題1:如圖1,在等腰梯形ABCD中,AD//
BC,AB=BC=CD,點(diǎn)、M,N分另U在AO,CD±,
ZMBN=^ZABC,試探究線段MN,AM,CN
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