人教版專(zhuān) 題 5.2誘導(dǎo)公式及三角恒等變換

專(zhuān)題5.2誘導(dǎo)公式及三角恒等變換

【題型目錄】

題型一利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值

題型二利用互余互補(bǔ)關(guān)系進(jìn)行求值

題型三三角恒等變換的簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)與求值

題型四輔助角公式的應(yīng)用

題型五給角求值型

題型六給值求值型

題型七給值求角型

題型八三角恒等式的證明

【典型例題】

題型一利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值

例1.（2023春?安徽六安?高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谥校┮阎猼and=-2,

則12JI'的值為（）

cos（兀一8）+sin（2兀-6）

A.—5B.5C.一7D.—

33

例2.（2023秋?江蘇揚(yáng)州,高一校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角2的頂點(diǎn)

為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,2）.

（1）求sinatana的值；

-sin（a+）|-cos|77rtan（2i-a）-.

⑵求（2）I2J<）的值.

sin（2^*-a）tan（一a）

舉一反三

練習(xí)1.（2023春?貴州遵義?高三遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí)）cos390=（）

A.B.-也C.—D.7

2222

練習(xí)2.（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知仁即且滿(mǎn)足

tanatan（夕+［）=1,則（）

A.a-p=-B.a+p=-C.?+/?=-D.2a+j3=-

4422

3

練習(xí)3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知口€(0垓,sina=g,則

sin（a+等）+sin（a+8兀）

sin（當(dāng)+a）+sin（7兀+a）

練習(xí)4.(2023春?貴州遵義?高三遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知角。的頂點(diǎn)

與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與X軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)尸(1,2).

⑴求tana的值；

2sin(7t+a)+cos(2n+a)

⑵求(71Y.f71'的值.

I2)12)

練習(xí)5.(2023春?北京懷柔?高三北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？计谥?已知點(diǎn)尸(6,-8)

是角a終邊上一點(diǎn)，則sinC+a)=()

A.qB.*c.-|D.|

題型二利用互余互補(bǔ)關(guān)系進(jìn)行求值

例3.(2023春?安徽六安?高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谥?已知

=則sin(a+T)=.

例4.(2023春?貴州遵義?高三遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí))若sin(a+F)=E，

7T

則COS——a

3

舉一反三

練習(xí)6.（2021?高三課時(shí)練習(xí)）已知sin（a+方卜;，則sin（a-g）=（）

D.不

練習(xí)7.（2023春?浙江寧波?高三?？茧A段練習(xí)）已知

等于（）

A.|B.乎C.

TTI

練習(xí)8.（2023春?浙江杭州?高三?？计谥校?）已知]<￡<兀，sina=-,求sin2c

的值；

（2）已知sin傳-91=：,求sinf?cos償⑷的值.

練習(xí)9.(2023?廣西南寧.南寧三中?？寄M預(yù)測(cè))已知向量。=(sin(a+*,l),

.-47r

fo=(4,4coscr->/3),若〃_1》，則sin(a+§)等于()

A.-立B.--

44

C.3D.1

44

練習(xí)10.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知sin傳-a）=gcos（a+部則tan[a+[

的值為.

題型三三角恒等變換的簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)與求值

例5.（2023春?浙江杭州?高三校考期中）下列各式中，值為g的是（）

-27i.97itan22.5°

A.—(cosl50-sinl5°)B.cos-----snr—C.---------己--------

12121-tan222.5°

D.sinl50cosl5°

例6.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若tan（a+￡|=（,則tanc=（）

舉一反三

練習(xí)11.（2023春?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）

已知sin(a+；『苴巴

154<”彳，則的值為（)

A..巫3MC,巫D,巫

B

10101010

練習(xí)12.（2023春?江蘇泰州?高三江蘇省口岸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）

sin400°cos20°—cos40°cos110。=（）

A.；B.BC.D.-此

2222

練習(xí)13.（2023?遼寧撫順?校聯(lián)考二模）如圖，三個(gè)相同的正方形相接，則

tanNFAD=.

練習(xí)14.（2023春?北京?高三北京八中?？计谥校?+tan7）（l+tan38）的值為

15.（甘肅省頂級(jí)名校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）

上+，=（）

cos190cos8（）

A.-4B.4C.-2D.2

題型四輔助角公式的應(yīng)用

例7.（2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）sin3+cos3的值所在的范圍是（）

A.B.（-坐，。］C.fo,爭(zhēng)D.（-立-1）

22

I2）I）IJ'）

例8.（2023春?山東青島?高三校考期中）函數(shù)〃x）=cos2x-&cos6+2x）的最大

值為?

舉一反三

練習(xí)16.（2023春?廣東深圳?高三深圳中學(xué)校考期中）函數(shù)〃x）=￥sin2尤+gcos2x

的最小正周期和振幅分別是（）

A.兀，1B.兀，2C.2兀，1D.2兀,2

練習(xí)17.（2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)

fM=（cosX-sinx）cos（'-x）的最小正周期是.

練習(xí)18.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知Zsin^+al-Gsin（與-4=：,則

練習(xí)19.（2023?北京?高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)"x）=coM-Asinr（A>0）的最大值為2,

則A=,/（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.

練習(xí)20.（2021春?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)校考期中）已知函數(shù)f（x）=shu-cosx.

⑴求的周期和最大值；

⑵若/（x）=；,求sinxcosx的值.

題型五給角求值型

例9.（2022春?高三課時(shí)練習(xí)）求sin20Osin50o（G+tanl0o）=.

例10.（2023春?山東淄博?高三山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）下列

各式中值為3的是（）

A.1-2COS275B.sin135cosl5-cos45cos75

「cos35Vl-sin20、“?2”

C.----7=---------D.tan204-tan25+tan20tan25

V2cos20

舉一反三

練習(xí)21.（2022?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）sinl8cos36的值為（）

12

A.—B.-C.D.1

424

練習(xí)22.（2022.陜西西安?西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若4sinl60+tan20=6則實(shí)

數(shù)4的值為（）

A.4B.4也C.2上D.走

3

練習(xí)23.（2022春.江蘇淮安.高三淮陰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）下列式子成立

的是（）

14-cos30°

A.tan15°=B.tan170+tan43°+百tan17°tan43°=6

sin30°

-anl5、Qc1-tan215°G

L).-----------;------=------

1+tan15°1+tan21502

練習(xí)24.（2023春?湖北武漢?高三湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算:

r-sin40-sin80/、

V2------------------=（）

cos40+cos60

練習(xí)25.（2023春?重慶銅梁?高三銅梁中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（多選）下列計(jì)算正

確的是（）

tan22.53

A.B.sin275+cos2105+sin75cos105

1-tan222.524

Dtan20+tan40-tan60

C.l-2sin275=—=-6

2tan20tan40

題型六給值求值型

例11.（2023春?河南南陽(yáng)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知sin（a+賓=47則

5

sinf+)

24247

A.B.D.

252525

例12.（2023春.江蘇鎮(zhèn)江?高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知a,4都是

53

銳角，cos（a+￡）=^,sin（a-〃）=g.

（1）求8s2c的值；

（2）求cos?的值.

舉一反三

練習(xí)26.（2023春?福建三明?高三永安市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）若

1+sinacosa-cos-a

------------------=2-,則mi,txan|(：兀-2.a)|=

cos2a------------14)

練習(xí)27.(2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三統(tǒng)考期末)已知sin|^-x)=；,且0<x苫,

那cos年+X)=.

練習(xí)28.(2023春?四川成都?高三成都七中統(tǒng)考階段練習(xí))若

2sin/sin(a-]]=sin[a-p+]),則tan(cr+/7)=()

A.-1B.1C.-2D.2

練習(xí)29.(2023春?湖南長(zhǎng)沙?高三雅禮中學(xué)?？计谥?若0<a<?。<?苦，

3sin—外5則cos[a+：)=(

cos(a+/?)=-,TP)

AV2c3-5636

A.—B.—C.—D.

226565

練習(xí)30.(2023?河南平頂山?葉縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若sin(a+H，

方則sin2a+sin?a=()

.16

A-石B-?D-

題型七給值求角型

例13.(2023春?江蘇泰州?高二江蘇省口岸中學(xué)校考階段練習(xí))已知a,尸建芻,

63

Flcos(a-—)=>sin(^+—)=^-.

61035

⑴求sina的值；

(2)求a-6的值.

例14.(2023春?遼寧?高一校聯(lián)考期中)已知tan［：-a)=；,

(1)求sin2a-2sin2a的值；

⑵若/€(og),且sin1與+￡

求a+力的值.

舉一反三

練習(xí)31.(2022秋.四川.高三四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中)寫(xiě)出一

a.a

cos-sin—

——^-+―J=2成立的a的值為

個(gè)使等式,a兀、..a兀、

cos(——F—)sin(—+—)

2626

練習(xí)32.(2022秋.湖北襄陽(yáng).高三襄陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí))已知%

3元4B

n</3<^,sin2a=-,cos(a+/?)=-^—,則夕一a=()

、兀33兀兀

A.丁或丁B.

444

5K

C.D.

4T

練習(xí)33.已知tan(a-￡)=；,tan￡=-；,且a■，兀

(1)求tana的值；

⑵求2a-￡的值.

練習(xí)34.(2023春?江蘇南京?高二南京市中華中學(xué)?？计谥?已知0＜。＜5，

—sina=l-2sin2—.

22

⑴求lan2a的值；

jr

(2)若0＜夕J，tan/-2tan夕-3=0,求。+尸的值.

練習(xí)35.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考期中)已知且

亞2

sina=----,tan(/?-a)=---.

10v711

⑴求cos（2a+aJ；

⑵求角。+2￡的大小.

題型八三角恒等式的證明

例15.證明下列恒等式.

/1、(AU。n\cos6+sin6

(1)tan45+0=----------

''cossin

八、/、/、tan2x-t?an2y

(2)tan(x+y)tan(x-y)=-----z----F-

1-tan^xtany

例16.(2022?高一課時(shí)練習(xí))證明下列恒等式.

(1)2sin(〃+a)cos(7T-a)=sin2a；

(2)cos4--sin4—=cosx；

一22

(3)l+2cos2夕一cos28=2.

舉一反三

練習(xí)36.求證：-2sincr+cos2asina=

cos-acos-a

練習(xí)37.（2023春?湖北荊州?高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求證:

1+sin20-cos201+sin2<9+cos202Gli,」

--------+---------=---e工一,左￡z

1+sin20+cos201+sin26-cos20sin2。(2

練習(xí)38.(2023春?上海浦東新?高三?？茧A段練習(xí))求證:

八、sin2acos2a,.

(1)------+-------=1-smacosa；

1+cota1+tana

(2)在非直角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

練習(xí)39.證明下列各恒等式:

2sin（：+a卜n=cos2a?

H，

sin20cos70+sin10sin50=—

4

1

sin15sin30sin75——

8

882

練習(xí)40.證明：（1）求證：cos/l-sinA=cos2/l（l-lsin2A）;

（2）求證:sin50（1+^tan10）=1

參考答案與試題解析

專(zhuān)題5.2誘導(dǎo)公式及三角恒等變換

【題型目錄】

題型一利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值

題型二利用互余互補(bǔ)關(guān)系進(jìn)行求值

題型三三角恒等變換的簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)與求值

題型四輔助角公式的應(yīng)用

題型五給角求值型

題型六給值求值型

題型七給值求角型

題型八三角恒等式的證明

【典型例題】

題型一利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值

例1.（2023春?安徽六安?高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谥校┮阎猼and=-2,

行.sin（二+g]+2sin（兀+8）/乙

則（2JI'的值為（）

cos（7r-。）+sin（2九一

A.—5B.5C.——D.—

33

【答案】B

【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)商數(shù)公式弦化切即可得答案.

sin—+〃+2sin（兀+〃八?.八一2"八》

［詳解］12J.=cose—2sin，_cos。cos。二「2tane=1+4小

cos（兀-0）+sin（2兀-6）—cos，-sin8_cos0_sin0-1-tan^-1+2

cos。cos6

故選：B.

例2.（2023秋?江蘇揚(yáng)州?高一校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角。的頂點(diǎn)

為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-L2）.

（1）求sincrtana的值;

,sin（e+色I(xiàn)cosf衛(wèi)-a）.tan（21-a）一，「

⑵求I2）12J）的值.

sin（2^-cr）-tan（-a）

【答案】（1）-竽

⑵-手

【分析】（1）根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.

【詳解】（1）由題知角a終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（」2）,則「=曲手M-S

tana=U,

rV55x-1

故sina?tana=-----.

(2)由(1)知cosa=

一sinIcr4--|-cos|--erj-tan(27i-a)(.、(、

故I2)(2J'7_cosa.(-sina)(-tan?)_Jfr

sin(27C-tz)-tan(-a)(一sine)(-tana)5

舉一反三

練習(xí)1.（2023春?貴州遵義?高三遵義市南白中學(xué)校考階段練習(xí)）cos390=（）

A.B.-也C.—D.1

2222

【答案】C

【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值.

【詳解】cos390=cos(360+30)=cos30=—^~.

故選：c.

練習(xí)2.(2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知%即(%)，且滿(mǎn)足

tanatan(p+5)=l,則()

A.a-B=工B./=公C.a+0=3D.2a+4=]

【答案】B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合誘導(dǎo)公式分析判斷.

n1

【詳解】因?yàn)槌?,可得tanatan

tana

結(jié)合12110^11（4+：兀）=1,可得tan（夕+；

4

兀兀

又因?yàn)?。，鞏o,卦則:一叼0專(zhuān)”+1

22444

所以臺(tái)整理得a+4弋.

故選：B.

練習(xí)3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知ae(0,71?,sina=|,則

2

sin（a++sin（a+8兀）

sin（萼+a）+sin（7兀+a）

【答案】7

【分析】由已知條件利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出cose,從而得出tana,再利

用誘導(dǎo)公式，弦化切即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閟ina=1,月.a€（0，S，

所以cosa=Vl-sin2a--,

sina3

所以tana

cosa4

sina+電+sin（a+8兀）

I2

所以

5nA.、

sin—+?l+Sm（/7C+6Z）

一

cosa+sina_1+tana

_4=7.

cosa-sini1-tantzi-3

4

故答案為：7.

練習(xí)4.（2023春?貴州遵義?高三遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角。的頂點(diǎn)

與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)「（1,2）.

（1）求tana的值；

2sin（7i+a）+cos（27i+a）

⑵求（兀}.■］的值.

cosl+czl+sinl—+aI

【答案】⑴tana=2

⑵-1

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求得tana的值；

（2）方法：1：由（1）知tana=2,結(jié)合誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化

為齊次式，代入，即可求解；

21

方法2：利用三角函數(shù)的定義求得sina=不,cosa=不，結(jié)合誘導(dǎo)公式，代入即

可求解.

【詳解】（1）解：因?yàn)榻莂的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，

終邊過(guò)點(diǎn)尸（1,2）,

由三角函數(shù)的定義，可得tana=2.

（2）解:方法1：由（1）知tana=2,

2sin（n+a）+cos（2n+a）_-2sincr+cosa_-2tana+1_-2x2+1_）

則（n.（n\sina+cosatana+12+1

cosI--2--}-a）+sin12—+a）

21

方法2：由角a終邊過(guò)點(diǎn)P（L2）,可得則sina=店，cosa=不，

2sin（7t+a）+cos（27t+a）_-2sina+cosa_1

所以8$卜尹可+">q―sina+cosa―.

練習(xí)5.（2023春?北京懷柔?高三北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)26,-8）

是角a終邊上一點(diǎn)，則sin（5+a卜（）

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到cosa=搟，再根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算得到答案.

63

【詳解】點(diǎn)尸（6,-8）是角a終邊上一點(diǎn)，故c°sa=/；二，

.（it]3

sin—+a=cosa=—

（2）5

故選：D

題型二利用互余互補(bǔ)關(guān)系進(jìn)行求值

例3.（2023春?安徽六安?高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谥校┮阎?/p>

cos住=則sin（a+：）=_____________.

<6）53

【答案】

【分析】由a+T=T+再結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.

3216；

【詳解】因?yàn)?/p>

.,n..(兀兀).

sm(a+—)=sm1cz+—-—I=sin

3

故答案為：，-

例4.（2023春.貴州遵義?高三遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若sin（a+￡|=g,

【答案】1/0.2

【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可求解.

故答案為：

舉一反三

練習(xí)6.（2021?高三課時(shí)練習(xí)）已知sin（a+"=g,則sin|a-與）=（）

【答案】B

【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式，求得要求式子的值.

【詳解】?.?sin（a+'）=g,

故選：B.

練習(xí)7.（2023春.浙江寧波.高三校考階段練習(xí)）已知cos（A）=-|,則cos愕+x]

等于（）

A.\B.亞C.--D.一直

3333

【答案】A

【分析】通過(guò)8$（9+"=85卜-|^-:||,利用誘導(dǎo)公式變形計(jì)算.

故選：A.

練習(xí)8.（2023春?浙江杭州?高三?？计谥校?）已知會(huì)。<兀，sina=g,求sin2a

的值；

（2）已知sin（*）=g,求sin管+可*（浮可的值.

【答案】（1）—孥；（2）

【分析】（1）因?yàn)?<a<兀，所以cosa<0,再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合

二倍角公式可求出答案；

（2）由誘導(dǎo)公式可將所求表達(dá)式化簡(jiǎn)為2/（1-可，即可得出答案.

【詳解】（1）因?yàn)樗詂osa<0,因?yàn)閟ina=g,

2⑶逑

所以sin2a=2sinacosa=2x-x-

(2)sin(1+e]=sin(7r_n1+e)_cos(]71+]n一。

323

(7TC兀兀八

=sin7i-——0-cos—+——0

323

兀兀2

=sin--6>+sin--0=2sin--0

3333,

練習(xí)9.（2023?廣西南寧?南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=（sin（a+g）,l）,

0

_47r

Z?=(4,4cosa—百)，若。_Lb,則sin(a+丁)等于()

A.一由B

4-4

c,昱D

4-1

【答案】B

【分由皿，則小。，可求得s皿嗚）=）,然后利用誘導(dǎo)公式求解即可.

【詳解】因?yàn)椤╛Lb,

所以a/?=4sin(a+2)+4cosa-6=0,

6

即2gsina+6cos<7-5/3=4百sin(a+—)--^=0,則sin(a+—)=—,

334

471

所以sin(a+3-)=sin兀+(a+§)=-sin(a+—)=--.

34

故選：B.

練習(xí)10.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知Sin愕-'=打cos(a+聿,則tan(a+.

的值為.

【答案】上

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角關(guān)系即可求解.

【詳解】由si喑一+6cos1+才可得

sinn-(點(diǎn)+a)]=V3cos(a+=>sin(裝+acos(cz+tan(a+二,

故答案為：&

題型三三角恒等變換的簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)與求值

例5.（2023春?浙江杭州?高三?？计谥校┫铝懈魇街?，值為g的是（）

「、?！谷?tan22.5°

A.；(cos15。-sin15。)B.cos----sin'-C.-----%-----

12121-tan222.5°

D.sin15°cos15°

【答案】c

【分析】利用和差角公式、二倍角公式化簡(jiǎn)各選項(xiàng)，計(jì)算判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,-(cos150-sin15°)=—cos(45°+15°)=cos60°=—,A不符合;

2224

對(duì)于B,cos2--sin2—=cos—=—>B不符合；

121262

tan22.5°12tan22.5°1,,1八廿八

對(duì)于C,----------=-x------；----=-tan45°o=-,C符合；

1-tan222.5°21-tan222.5022

對(duì)于D,sinl50cosl50=^sin300=^-,D不符合.

故選：C

例6.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若tan（a+；）=；,則tana=（）

A.-|-B.|C.D.；

【答案】A

【分析】利用正切函數(shù)的和差公式即可得解.

【詳解】因?yàn)閠an（a+：）=E，

-/、"——1

所以tana=tan|——=——,

故選：A.

舉一反三

練習(xí)11.（2023春?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）

已知sinjc+二］=@二＜。＜里，貝l"osa的值為（）

（4J544

Viop3^Vio3＞/io

AA?------D.--------------V/?----nU?-----

10101010

【答案】A

【分析】確定g<a+J<兀得到cosja+f]=-攣，cosa=cos(a+9兒展開(kāi)計(jì)

2414J5k44；

算得到答案.

【詳解】7<<z<V,g<a+g<兀，sin[a+°]=在，

4424I4；5

(兀兀、

(兀、71.(兀、.兀

cosa=cos。+----=cosa+—cos—+sina+—sin—

I44JI4；4I4；4

“述4+旦正一畫(huà)

525210

故選：A

練習(xí)12.（2023春?江蘇泰州.高三江蘇省口岸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）

sin400°cos200-cos40°cos110°=()

A.|B.在C.D.-B

2222

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式求解.

【詳解】sin400°cos200-cos40°cos110°=sin(40°+360°)cos200-cos40°cos(20°+90°)

A

=sin40°cos200+cos40°sin20°=sin(40°+20°)=sin600=.

故選：B.

練習(xí)13.(2023?遼寧撫順?校聯(lián)考二模)如圖，三個(gè)相同的正方形相接，則

tanZFAD=.

【答案】~/0.75

4

【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，利用差角的正切求解作答.

【詳解】依題意，tanNQAC=^=：,tanNFA8=『=2,

AC2AD

2」

tan/FAB-tanND4C3

所以tanZFAD=tan(/FAB-NDAC)=____2

1+tan/FAB-tanZDAC14-2x14

2

故答案為：I

練習(xí)14.(2023春?北京?高三北京八中?？计谥?0+tan7)(l+tan38)的值為

【答案】2

【分析】由tan(7+38)=:n7：tan3：變形求解

【詳解】解：因?yàn)閠an(7+38)=:n7：tan3：

')l-tan7tan38

所以tan7+tan38=tan^7+38)(l-tan7-tan38),

所以(l+tan7)(1+tan38)

=1+tan7+tan38+tan7-tan38

=l+tan(7+38)(l—tan7?tan38)+tan7-tan38

=2.

故答案為：2

15.(甘肅省頂級(jí)名校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題)

*-+」-=()

cos190cos80

A.—4B.4C.—2D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式和二倍角的正弦公式可求出結(jié)果.

1>/3

【詳解】

cos80cos10

cos10->/3cos80_sin80-\/3cos80

cos80cos10sin10cos10

2sin(80-6。)_2sin20

-sin20-sin20

22

故選：B

題型四輔助角公式的應(yīng)用

例7.(2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))sin3+cos3的值所在的范圍是()

A.；1,一日B.一冬0)C(。書(shū)D.(-V2-1)

【答案】A

【分析】利用輔助角公式變形，再探討角所在區(qū)間即可判斷作答.

【詳解】sin3+cos3=&sin(3+；),而當(dāng)<3<兀，則?<3+；<乎，即有

412644

<sin(3+-)<--,

242

所以sin3+cos3的值所在的范圍是

故選：A

例8.(2023春?山東青島?高三?？计谥?函數(shù)〃x)=cos2x-拒cos(5+2x)的最大

值為.

【答案】V3

【分析】利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為〃x)=6sin(2x+e),可得最大值.

［詳解］/(x)=cos2x-5/2cos+2x^=coslx+\/2sin2x=>/3sin(2x+^?),

其中tan°=4，所以/*)的最大值為百.

故答案為：6

舉一反三

練習(xí)16.(2023春?廣東深圳?高三深圳中學(xué)?？计谥?函數(shù)〃x)=#sin2x+gcos2x

的最小正周期和振幅分別是()

A.兀/B.兀,2C.2兀/D.2兀,2

【答案】A

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得〃“=豆?2》+弓)，結(jié)合最小正周期和振幅的

概念即可求解.

A/3.C1c.c71

【詳解】〃x)=——sin2x+—cos2x=sin2x+一

22I6

所以最小正周期為7=同=無(wú)，振幅為1.

故選：A.

練習(xí)17.(2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))函數(shù)

/(x)=(cosX-sinx)cose-x)的最小正周期是.

【答案】兀

【分析】根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)〃x)=￥sin(2x+：卜g,即可由周

期公式求解.

【詳解】

/(x)=(cosx-sinx)cos一x)=(cosx-sinx)sinx=gsin2x--~~*sin(2x+：)-g

所以最小正周期為1=兀，

故答案為：71

練習(xí)18.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知2sin(5+a)-6sin1等-“=則

C57

8-D.8-

【答案】A

【分析】先利用誘導(dǎo)公式和三角恒等變換化簡(jiǎn)2sin[]+a卜Gsin(?-“=；,得

到c心+再對(duì)2。+葛進(jìn)行配湊，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解即可.

【詳解】

△cosa-與強(qiáng)=8八+3」

22V3j4

7

所以sin2a+萬(wàn)、=加2方,

Tj

故選：A

練習(xí)19.（2023?北京?高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=cosr-Asinr（A>0）的最大值為2,

則A=，/（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.

【答案】G（答案不唯一）

【分析】根據(jù)輔助角公式求出A,再由余弦型函數(shù)求出對(duì)稱(chēng)中心.

【詳解】由f（x）=cosx-Asinx=Jl+A?cos（x+°）矢口,J1+*=2（A>°）,

解得囚=百,

所以/（x）=cosx-yfisinx=2cos（x+y）,

令無(wú)+工=女兀+二，&wZ,可得工=女兀+二，AwZ,

326

即函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（E+聿,0）?eZ,

則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)如信°）,黑，。）等都可以.

故答案為：6；信。）（答案不唯一）

練習(xí)20.（2021春?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)〃x）=sinr-cosx.

⑴求〃x）的周期和最大值；

（2）若/（x）=g,求sinrcosx的值.

【答案】（1）7=2兀，最大值五

【分析】（1）將/*）化為一般式，求周期與最大值；

（2）將sinx-cosx=g兩邊平方可求sinxcoM的值.

【詳解】（1）/（x）=sin_r-cosx=0sin[x-：）,

周期T